什么是泛函

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什么是泛函

原创  CC 计算随笔  2025 年 08 月 28 日 21:16  北京

数学之所以难学，很大程度上是因为数学是符号体系，而错误地理解这些符号会导致失败。而不恰当地翻译和简化是导致失败的主要原因。

数学术语表

● 泛函：Functional

● 算子：Operator

● 变换：Transformation

● 函数：Function

● 映射：Mapping

函数（Function）是一种特殊的映射，要求定义域中的每一个元素都对应值域中的唯一一个元素。在现代数学中，函数和映射常常被视为同义词，可以互换使用。

泛函（Functional）是一种特殊的函数，其定义域是一个函数空间（即元素是函数），值域是数域（实数或复数）。

算子（Operator）是一种特殊的函数或映射，其定义域和值域通常都是函数空间。

变换（Transformation）这个词的含义非常广泛，通常指同一个空间内的映射，或者指一种具体的映射过程或操作。 它常常可以与映射和算子互换使用，但更强调“改变”或“转换”的动作本身。

以上都容易理解，除了泛函，因为中文语境里是这么解释泛函的：

简单说：泛函是“函数的函数”，其结果是一个数。



泛函应该怎么理解



一个简单的泛函



求泛函的极值



边界条件











并且在图中做了一个小实验，即将终点随机选择为曲线上任意一点，再估计参数。实验结果表明新的曲线与原曲线重合。这表明从指定起点开始的一条摆线曲线，它达到曲线上任意点所需的时间都是最短的。这间接证明了本文推导的正确性。

参考资料

[1] Mathematics:  https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics

[2] Dependent and independent variables: https://en.wikipedia.org/wiki/Dependent_and_independent_variables

[3] System:  https://en.wikipedia.org/wiki/System

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