辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用
1 引言
二维平面图的着色问题是图论中的经典难题，四色定理指出任何平面图都能用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过把任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现着色过程的规范与简化。新图和原图在结构与功能上的等价性确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统方法。辐边总和数=新单中心轮辐边数=环上节点数。
2 辐边总和公式与图结构转换
2.1 辐边总和公式
在二维平面图中，除外围节点外，每个内部节点均可视为轮构型中心，且节点与边可共享，轮构型存在部分或完全叠加的可能。辐边总和公式作为纯代数公式，与传统图论欧拉公式分属不同体系，其定义如下：
基础公式：
w = 6(n - m - 1)+ (m - d)
其中， n 为节点总数（n≥4)， m 为外围节点数(m ≥2)， d 为第二层环节点数(d≥ 2 ）， w 为辐边数（ w ≥ 6 ）。系数6源于最小解情况：当 n = 4 ， m = d = 2 时， w = 6 ；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。
特殊情形下：
若 m = d ，则 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1)) ；
若 m = d = 3 ，则 w = 6(n - 4) 。
2.2 普适公式与虚拟环构建
针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：
w = 6(n - 4)
其中，k为二维平面图（原始图）的节点个数（ k ≥0 ）； 6为两层虚拟环的节点个数， n = k+ 6 为添加虚拟环后新图的节点总数。
双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。
2.3 原图与新图的结构转换
2.3.1 原图分解至新图的转换步骤
1.将原图分解，若原图围内有 N个节点就能分解出 N个变形轮构型，并记录其几何形状；
2.通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3.选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；
4.将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。
2.3.2 新图还原至原图的转换步骤
1.从新图环上标记节点分解出 n 个扇形；
2.将各扇形两端连接，还原为标准轮构型；
3.按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。
3 单中心轮图的最优着色问题
单中心轮图的着色规则由环上节点数 n 的奇偶性决定：
当 n = 2m + 1 （奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 2 + 1 + 1 = 4 ；
当 n = 2m （偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 2 + 1 = 3 。
4 原图与新图的功能等价性
4.1 原图到新图的功能保持
原图分解为 n 个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。具体操作如下：
原图
新图轮构型1：中心节点颜色由原图的3改为1；环上原本颜色为1的节点，颜色改为3（实现中心与环上对应节点颜色互换）；
新图轮构型2：中心节点颜色为1；环上节点颜色沿用原图轮构型2中环上节点的颜色；
新图轮构型3：中心节点颜色由原图的2改为1；环上原本颜色为1的节点，颜色改为2（实现中心与环上对应节点颜色互换）。
4.2 新图到原图的颜色一致性映射
新图分解为 n 个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。具体操作如下：
新图
1.原图轮构型1：
中心节点颜色：由新图的颜色1调整为3；
环上节点颜色：原本为颜色3的节点，调整为1；
核心逻辑：中心节点与环上颜色为3的节点实现颜色互换。
2.原图轮构型2：
中心节点颜色：固定为1；
环上节点颜色：直接沿用新图轮构型2中环上节点的颜色（无修改）。
3.原图轮构型3：
中心节点颜色：由新图的颜色1调整为2；
环上节点颜色：原本为颜色2的节点，调整为1；
核心逻辑：中心节点与环上颜色为2的节点实现颜色互换。
4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制
在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行颜色替换，简化着色流程。
原图转换为新图时的无冲突替换：若原图中心节点颜色为4，环上节点颜色为2、3交替，且新颜色1未使用，则直接将中心节点颜色替换为1。
新图还原为原图时的无冲突替换：若新图中心节点颜色为1，环上节点颜色为2、3交替，且目标颜色4未使用，则直接将中心节点颜色替换为4。
核心逻辑：无冲突场景下的直接替换无需调整环上节点颜色，仅通过中心节点颜色的单一修改即可实现双向转换，且不破坏图的着色规则（相邻节点颜色不同），进一步验证了新图与原图功能等价性的稳定性与高效性。
5 结论
本文提出的辐边总和公式通过虚拟环包裹与轮构型转换，将复杂二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图的着色特性实现了四色以内的有效着色方案。研究明确了原图与新图的双向结构转换方法，验证了二者在功能上的等价性，包括颜色互换与无冲突场景下的直接替换机制，确保着色结果可准确映射。无冲突直接替换机制的提出，进一步提升了着色过程的效率，为平面图着色问题提供了兼具理论性与可操作性的解决方案。未来可进一步拓展该方法在高维图着色问题中的应用。
辐边总和公式通过双层虚拟环的拓扑封装机制，将所有二维拓扑结构（含孔洞、亏格曲面、多面体等）统一转化为标准化轮图，仅以节点数为唯一输入，通过奇偶环判断与代数操作即可确定着色数；其核心在于用离散节点计数消解传统拓扑复杂性，实现从几何驱动到代数驱动的范式转变，为图论与量子拓扑计算提供了普适性的代数化解决方案
参考文献（略）

辐边总和公式，
适用于由外向内两层及以上环+中心区域结构的标准二维平面图，计算时每轮构型辐边独立计算后相加。二维平面图中，除外围节点外，围内每节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。公式目的是将其转换为单中心轮图简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。
①标准二维平面图，
设n为节点数(n≥4)，m为外围节点数(m≥2)，d为第二层环节点数(d≥2)，w为辐边数(w≥6)。
基础公式：w=6(n-m-1)+(m-d)
若m=d，则w=6(n-m-1)=6(n-(m+1))
若m=d=3，则w=6(n-4)。
②一，非标准二维平面图(含孔洞)，
两层及以上环+中心结构，孔洞为边数≥4的多边形。
修正项：外围孔洞z=N外-3v外(N为边数和，v为个数)，围内孔洞z=2(N内-3v内)(N为边数和，v为个数)。
公式：w=6(n-m-1)+(m-d)-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)]
二，单层外围环+中心区域结构(含孔洞)，
以三边形为模，理论值e=2d-3(d为围内节点数，a为实际连接边数)。
修正项z：e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0。
公式：6(n-m-1)+(m-d)±z-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)]
三，多面体：经展开、剪面、透视、三角剖分转为二维平面图。
双环+中心：用基础公式；单层环+中心：用基础公式±修正项z；无环结构作为子结构均涵盖。
四，标准和非标准二维平面图，均可添加双层虚拟环(总节点6，每层3个)，以覆盖所有平面图并简化计算。
普适公式w=6(n-4)
五，单层或多层外环+中心区结构(含孔洞)，
公式简化为：w=n+3d-4±z-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)](d为围内节点数)。
以树型为模，理论值e=d-1(d为围内节点数，a为实际连接边数)。
修正项z：e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0。

朱明君

本帖最后由 朱明君 于 2025-9-4 07:00 编辑

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用 1 引言 二维平面图的着色问题是图论中的经典难题，四色定理指出任何平面图都能用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过把任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现着色过程的规范与简化。新图和原图在结构与功能上的等价性确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统方法。辐边总和数=新单中心轮辐边数=环上节点数=新图环边数。 2 辐边总和公式与图结构转换 2.1 辐边总和公式 在二维平面图中，除外围节点外，每个内部节点均可视为轮构型中心，且节点与边可共享，轮构型存在部分或完全叠加的可能。辐边总和公式作为纯代数公式，与传统图论欧拉公式分属不同体系，其定义如下： 基础公式： w= 6(n - m - 1)+ (m - d) 其中，n 为节点总数（n≥4)， m 为外围节点数(m ≥2)， d 为第二层环节点数(d≥ 2 ）， w 为辐边数（ w ≥ 6 ）。系数6源于最小解情况：当 n = 4 ， m = d = 2 时， w = 6 ；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。 特殊情形下： 若 m= d ，则 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1)) ； 若 m= d = 3 ，则 w = 6(n - 4) 。 2.2 普适公式与虚拟环构建 针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式： w= 6(n - 4) 其中，k为二维平面图（原始图）的节点个数（k ≥0 ）； 6为两层虚拟环的节点个数， n = k+ 6 为添加虚拟环后新图的节点总数。 双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。 2.3 原图与新图的结构转换 2.3.1 原图分解至新图的转换步骤 1.将原图分解，若原图围内有 N个节点就能分解出 N个变形轮构型，并记录其几何形状； 2.通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型； 3.选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端； 4.将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。 2.3.2 新图还原至原图的转换步骤 1.从新图环上标记节点分解出 n 个扇形； 2.将各扇形两端连接，还原为标准轮构型； 3.按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。 3 单中心轮图的最优着色问题 单中心轮图的着色规则由环上节点数 n 的奇偶性决定： 当 n= 2m + 1 （奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 2 + 1 + 1 = 4 ； 当 n= 2m （偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 2 + 1 = 3 。 4 原图与新图的功能等价性 4.1 原图到新图的功能保持 原图分解为 n 个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。具体操作如下： 原图 新图轮构型1：中心节点颜色由原图的3改为1；环上原本颜色为1的节点，颜色改为3（实现中心与环上对应节点颜色互换）； 新图轮构型2：中心节点颜色为1；环上节点颜色沿用原图轮构型2中环上节点的颜色； 新图轮构型3：中心节点颜色由原图的2改为1；环上原本颜色为1的节点，颜色改为2（实现中心与环上对应节点颜色互换）。 4.2 新图到原图的颜色一致性映射 新图分解为 n 个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。具体操作如下： 新图 1.原图轮构型1： 中心节点颜色：由新图的颜色1调整为3； 环上节点颜色：原本为颜色3的节点，调整为1； 核心逻辑：中心节点与环上颜色为3的节点实现颜色互换。 2.原图轮构型2： 中心节点颜色：固定为1； 环上节点颜色：直接沿用新图轮构型2中环上节点的颜色（无修改）。 3.原图轮构型3： 中心节点颜色：由新图的颜色1调整为2； 环上节点颜色：原本为颜色2的节点，调整为1； 核心逻辑：中心节点与环上颜色为2的节点实现颜色互换。 4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制 在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行颜色替换，简化着色流程。 原图转换为新图时的无冲突替换：若原图中心节点颜色为4，环上节点颜色为2、3交替，且新颜色1未使用，则直接将中心节点颜色替换为1。 新图还原为原图时的无冲突替换：若新图中心节点颜色为1，环上节点颜色为2、3交替，且目标颜色4未使用，则直接将中心节点颜色替换为4。 核心逻辑：无冲突场景下的直接替换无需调整环上节点颜色，仅通过中心节点颜色的单一修改即可实现双向转换，且不破坏图的着色规则（相邻节点颜色不同），进一步验证了新图与原图功能等价性的稳定性与高效性。 5 结论 本文提出的辐边总和公式通过虚拟环包裹与轮构型转换，将复杂二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图的着色特性实现了四色以内的有效着色方案。研究明确了原图与新图的双向结构转换方法，验证了二者在功能上的等价性，包括颜色互换与无冲突场景下的直接替换机制，确保着色结果可准确映射。无冲突直接替换机制的提出，进一步提升了着色过程的效率，为平面图着色问题提供了兼具理论性与可操作性的解决方案。未来可进一步拓展该方法在高维图着色问题中的应用。 辐边总和公式通过双层虚拟环的拓扑封装机制，将所有二维拓扑结构（含孔洞、亏格曲面、多面体等）统一转化为标准化轮图，仅以节点数为唯一输入，通过奇偶环判断与代数操作即可确定着色数；其核心在于用离散节点计数消解传统拓扑复杂性，实现从几何驱动到代数驱动的范式转变，为图论与量子拓扑计算提供了普适性的代数化解决方案 参考文献（略）

辐边总和公式， 适用于由外向内两层及以上环+中心区域结构的标准二维平面图，计算时每轮构型辐边独立计算后相加。二维平面图中，除外围节点外，围内每节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。公式目的是将其转换为单中心轮图简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。 ①标准二维平面图， 设n为节点数(n≥4)，m为外围节点数(m≥2)，d为第二层环节点数(d≥2)，w为辐边数(w≥6)。 基础公式：w=6(n-m-1)+(m-d) 若m=d，则w=6(n-m-1)=6(n-(m+1)) 若m=d=3，则w=6(n-4)。 ②一，非标准二维平面图(含孔洞)， 两层及以上环+中心结构，孔洞为边数≥4的多边形。 修正项：外围孔洞z=N外-3v外(N为边数和，v为个数)，围内孔洞z=2(N内-3v内)(N为边数和，v为个数)。 公式：w=6(n-m-1)+(m-d)-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)] 二，单层外围环+中心区域结构(含孔洞)， 以三边形为模，理论值e=2d-3(d为围内节点数，a为实际连接边数)。 修正项z：e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0。 公式：6(n-m-1)+(m-d)±z-[(N外-3v外)+2(N内-3v内)] 三，多面体：经展开、剪面、透视、三角剖分转为二维平面图。 双环+中心：用基础公式；单层环+中心：用基础公式±修正项z；无环结构作为子结构均涵盖。 四，标准和非标准二维平面图，均可添加双层虚拟环(总节点6，每层3个)，以覆盖所有平面图并简化计算。 普适公式w=6(n-4) 五，单层或多层外环+中心区结构(含孔洞)， 公式简化为：w=n+3d-4±z-(N外-3v外)+2(N内-3v内)。 以树型为模，理论值e=d-1(d为围内节点数，a为实际连接边数)。 修正项z：e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0。

朱明君

轮构型“开-合”特性补充说明（整合版）

轮构型作为原图与新图转换的核心单元，具备“可开可合”的动态特性，该特性是实现结构分解与拼接的关键，具体定义与作用如下：

1 轮构型“开-合”的核心定义

- “合”状态：即轮构型模块，是轮构型的基础形态。表现为以一个内部节点为中心，若干节点围绕形成环，中心与环上节点通过辐边连接，整体呈“轮状”拓扑结构（含标准轮构型与变形轮构型），对应原图中可直接识别的轮状子结构。
- “开”状态：即扇形模块，是轮构型“合”状态的拆解形态。通过断开轮构型环上一个节点的单侧边连接，经“皮筋伸缩”操作，将轮状结构展开为扇形——中心节点呈点片状（扇柄），环上节点与边沿扇形半径方向分布，两端分别形成“节点端”（含环上一个节点）与“边端”（含断开的边）。

2 “开-合”特性在结构转换中的作用

轮构型的“开-合”动态切换，直接支撑原图与新图的双向转换，解决了复杂结构的标准化拆解与重组问题：

2.1 原图→新图：“合→开→拼接”

1.“合”状态识别与分解：先在原图中识别所有“合”状态的变形轮构型（围内有N个内部节点则分解为N个），记录各轮构型的几何变形特征；
2.“合→开”转换：将每个变形轮构型先还原为标准轮构型（仍为“合”状态），再断开环上节点侧边、伸缩为“开”状态的扇形模块；
3.扇形拼接为新图：利用扇形模块“节点端-边端”的可对接性，依次拼接所有扇形，点片状扇柄叠加形成单中心，最终组合为“合”状态的单中心轮图（新图）。

2.2 新图→原图：“合→开→还原”

1.“合→开”拆解：将“合”状态的新图（单中心轮图）环上标记节点，拆解为与原图轮构型数量一致的“开”状态扇形模块；
2.“开→合”还原：将每个扇形模块的“节点端-边端”重新连接，转换为“合”状态的标准轮构型；
3.“合”状态变形匹配：按原图初始结构，对标准轮构型进行部分/全部点边叠加，恢复为变形轮构型（“合”状态），最终还原原图拓扑。

3 “开-合”特性的核心价值

- 结构兼容性：“合”状态适配原图中不同形态的轮状子结构，“开”状态通过统一的扇形接口消除拓扑差异，实现不同变形轮构型的标准化拼接；
- 操作可逆性：“开-合”转换无结构信息丢失（如节点、边的数量与连接关系保持不变），确保新图与原图的拓扑等价性，为着色结果精准映射提供结构基础。