平面几何的学与思 63 ——等腰三角形三线合一的应用

luyuanhong

平面几何的学与思 63 ——等腰三角形三线合一的应用

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 08 月 31 日 21:00  广东

前面做了几道等腰直角三角形的几何题，接下来聊聊一般等腰三角形的解题思路。等腰三角形的重要性质是底边的三线合一，即：底边的中线、高，顶角角平分线合一，这意味着，内心、重心、外心、垂心都在同一直线上，这些性质对解等腰三角形的题目是必不可少的。

题 63 ：

在 ΔABC 中，AB＝BC ，D 为 AC 中点，过 D 作 DE⊥BC 于 E ，连结 AE ，F 是 DE 中点，连结 BF ，求证： AE⊥BF 。

                                             
                原图

      等腰三角形的重要性质是底边的三线合一，即：底边的中线、高，顶角角平分线合一，这意味着，内心、重心、外心、垂心都在同一直线上，这些性质对解等腰三角形的题目是必不可少的。


             解题图

证：

设 AE 交 BF 于 G ，连结 BD、DG 。

AB＝BC ，D 为 AC 中点，则 BD⊥AC 。

∵ DE⊥BC ，DE 是 RtΔBDC 斜边上的高。

∴ ΔBDE ∽ΔDCE 。

∴ (BD / DE)＝(CD / CE) 。

∵ F 是 DE 中点，DF＝DE / 2 。

∴ (BD / DE)＝(2BD / DE)＝(2DC / CE)＝(AC / CE) 。

  而 ∠C＝∠BDE ，

∴ ΔBDF～ΔACE

∴ ∠DBF＝∠CAE

∴ A、D、G、B 四点共圆。

∴ ∠AGB＝∠ADB＝90° 。

即：AE⊥BF 。

PS：通过证明两次三角形相似得到角相等，再运用几何神技-四点共圆得出所证结论，尽显平面几何的简洁明晰。

太阳元素