平面几何的学与思 63 ——等腰三角形三线合一的应用（续）

luyuanhong

平面几何的学与思 63 ——等腰三角形三线合一的应用（续）

原创  太阳元素  太阳元素  2025 年 09 月 01 日 19:52  广东

前面做了几道等腰直角三角形的几何题，接下来聊聊一般等腰三角形的解题思路。等腰三角形的重要性质是底边的三线合一，即：底边的中线、高，顶角角平分线合一，这意味着，内心、重心、外心、垂心都在同一直线上，这些性质对解等腰三角形的题目是必不可少的。

题 63 ：

在 ΔABC 中，AB＝BC ，D 为 AC 中点，过 D 作 DE⊥BC 于 E ，连结 AE ，F 是 DE 中点，连结 BF ，求证：AE⊥BF 。

                                             
     原图


    解题图

   F 是 DE 中点，考虑中点的应用场景，作一个平行四边形。

证：

延长 BF 到 H ，使 BF＝FH ，连结 EH、DH ，于是得平行四边形 BEHD 。

∠C＝∠CDH 。

RtΔBCD ，DE 是斜边 BC上 的高，

∴ ∠C＝∠BDE＝∠CDH 。

∴ ∠BDE + ∠ADB ＝∠CDH + ∠BDC ，即：∠ADE＝∠BDH 。

∵ tan∠C＝tan∠BDE 。

∴ (BD / CD)＝(BE / DE) 。

∵ BE＝DH，AD＝DC 。

∴ (BD / AD)＝(DH / DE)  。

∴ ΔBDH ∽ΔADE 。

∴ ∠AED＝∠BHD＝∠EBF 。

∵ DE⊥BC 。

∴ ∠AED(∠GEF) + ∠BFE ＝∠EBF + ∠BFE＝90° 。

∴ AE⊥BF 。

PS：这里又一次用相似三角形证明角相等。

太阳元素