在 ΔABC 中，BC=a，CA=b，AB=c，b^2=ac，D 在 AC 上，BD=AC，AD=3CD，求 cos∠ABC

wintex · 发表于 2025-9-9 14:24

本帖最后由 wintex 于 2025-12-17 19:01 编辑

tmduser · 发表于 2025-12-15 21:57

本帖最后由 tmduser 于 2025-12-15 22:48 编辑

过程见附图

luyuanhong · 发表于 2025-12-16 02:40

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波斯猫猫 · 发表于 2026-1-24 08:17

题：在 ΔABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,b^2=ac,D在
AC 上,BD=AC,AD=3CD,求cos∠ABC.
,
如图，取CD=1, 则a^2=17+8cosα, 且c^2=25-24cosα，

∴ 3a^2+c^2=76. 又b^2=ac=16，

∴ 3a^2+(16/a)^2=76, 即3a^4-76a^2+(16)^2=0.

解得2a^2=8，或2a^2=128/3. 由余弦定理有

2accosθ =3a^2+c^2-b^2-2a^2，

∴32cosθ =76-16-8=52 ,即cosθ =13/8(舍去)，

或32cosθ =76-16-128/3=52/3, 即cosθ =13/24.

luyuanhong · 发表于 2026-1-24 10:01

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在 ΔABC 中，BC=a，CA=b，AB=c，b^2=ac，D 在 AC 上，BD=AC，AD=3CD，求 cos∠ABC

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