这些著名文献证明“√2不是有理数”的第一句话都错了

yangls728

这些著名文献证明“√2不是有理数”的第一句话都错了
杨六省
yangls728@163.com
①“设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为 α:β 并设这个比已表达成最小整数之比。”
（参见[美]M.克莱因.古今数学思想（第四册）[M]. 北京大学数学系数学史翻译组译，上海:上海科学技术出 版社，1981：37）
②“为了证明，试假定其反面：设有分数 p/q，其平方为（p/q）2=2.我们可以假设 p/q是既约分数，即p和q是没有公约数的.”
（参见[前苏联]菲赫金尔茨.微积分学教程（第一卷，第8版）[M].杨弢亮、叶彦谦译.北京：高等教育出版社，2006年第3版：第1页）
③“如果√2是有理数，那么由事实1可知，√2可以写成一个化简后的分数，……”。
（参见[美]拉菲·格林贝格.普林斯顿数学分析读本[M].李馨译.北京：人民邮电出版社，2020年第1版：11.）
④“假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得√2=p/q，……”。
（参见薛彬/主编.义务教育教科书数学（七年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2012年第1版:58.）
上述文献第一句话的前半句是对的（指假设√2是有理数，即假设√2=p/q（p，q 都是整数）），但后半句是错的（指假设的√2是有理数可以化成最简分数，即指由假设的√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出√2=p/q（p，q互质））。理由是“如果论证的前提不真（这里指反论题虚假——笔者注），那么就不能确立其结论的真，即使从前提到结论的推理是正确的。”（转引自欧文·M·柯匹、卡尔·科恩.逻辑学导论（第11版）[M].张建军，潘天群译.北京：中国人民大学出版社，2007年：161.）
由于证明中的第一句话是错误的，所以，这个方向性的错误就注定了论证的无效性。理由是，就算否定了√2=p/q中的p和q互质（注：事实上，这是做不到的），也不能说明√2=p/q中的p和q不都是整数（注：依据无理数的定义，这才是真正要证明的事项）。
为了帮助理解，不妨打个比方。某人从未打过父亲。为了应用反证法证明这一事实，我们可以假设“某人打过父亲”（注：这个反论题是没有问题的）。但是，下面的推理是不允许的：既然假设了“某人打过父亲”，所以，他要么已经停止打父亲，要么尚未停止打父亲，因而，可以用后者中的其中一个代替原来的反论题——“某人打过父亲”。这样一来，原本要否定“某人打过父亲”，就变成了要否定“某人已经停止打父亲”或“某人尚未停止打父亲”。问题是，不论否定后者中的哪一个，都表明另一个成立，都表明“某人打过父亲”，而不是“某人从未打过父亲”。
需要谨慎注意的是，一定要把应用反论题进行推理（注：反论题的表述不发生改变）与对反论题本身进行推理（注：这个推理结果将取代原反论题）区别开来，前者是在合理应用反证法，后者则不是。