这道清华考研题，据说能拦住 99% 的数学系学生！

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这道清华考研题，据说能拦住 99% 的数学系学生！

原创  泽华考研竞赛数学  泽华学长  2025 年 09 月 10 日 10:01  陕西

前言

当微分方程遇见无穷远：一道清华考研题的奇幻之旅！

你知道吗？在数学的宇宙中，有些问题看似平淡无奇，却隐藏着令人惊叹的深层结构。今天我们要探讨的这道题，来自清华大学数学系研究生入学考试，它不仅是一道考题，更是一扇通往分析学奥秘的窗口。

这道题的特殊之处在于：它要求我们探究一个函数在无穷远处的渐近行为，但给出的条件既不是常规的极限存在也不是简单的单调性，而是一个精巧的微分关系。就像侦探通过蛛丝马迹还原案情真相，我们需要从这个微分方程中解读出函数 f(x) 的终极命运。

更令人着迷的是，这道题背后蕴含着深刻的物理直觉—它描述了某种「力场」中粒子的运动轨迹，其中 f(x)+x 可以理解为粒子的某种「总能量」。当粒子奔向无穷远时，这个总能量是否会爆炸式增长？题目要求我们证明的正是这一惊人的结论。

清华大学之所以选择这样的题目，绝非偶然。它考察的不仅是计算技巧，更是数学洞察力、创造性思维和对分析学本质的理解。能够破解这道题的人，往往也具备了解决实际科学问题的关键能力—从复杂关系中提取本质规律的本领。

准备好了吗？让我们一起踏上这段从有限到无穷的数学之旅，揭开这道清华考研题的神秘面纱！

题目



分析



解析



点评

本题解答展示了数学分析中常见的技巧——通过构造辅助函数将复杂问题转化为更易处理的形式。证明过程中综合运用了微分中值定理、函数单调性、反证法等多种分析方法，体现了数学证明的多样性。

● 极限处理

通过比较点列极限和函数极限的不同行为发现矛盾，这是处理函数渐近行为问题的有效手段。此类问题可以推广到更一般的微分方程渐近行为分析，如下。

推广

考虑将原题中的函数关系推广为更一般的形式。

题目



解析



这一推广表明原题中的函数关系具有一定的稳定性，参数的具体数值并不改变极限行为的本质。

泽华学长