已知 x+y+z=1 ，且 x＞0，y＞0，z＞0 ，求 12／x+8／y^2+9／z^3 的最小值

波斯猫猫

基本不等式与待定系数法一题 (本论坛数学期刊2025-7-17 00:31)        

原创  广州65中神探金金 唯数是萌 2025年 07月14日 09:38  广东

题：已知x+y+z=1，且x＞0，y＞0，z＞0，求12/x+8/y^2+9/z^3

的最小值  (并注该帖被加分).

思路：由x+y+z=1，有1=x+y/2+y/2+z/3+z/3+z/3

≥6(xy^2z^3/108)^(1/6),    (按目标拆分，一步到位)

即xy^2z^3≤1/432 (仅当x=1/6,y=1/3,z=1/2时，取等号).

∴ 12/x+8/y^2+9/z^3≥3[864/(xy^2z^3)]^(1/3)

≥3[864x432]^(1/3)=216 (仅当x=1/6,y=1/3,z=1/2时，取等号).

∴ (12/x+8/y^2+9/z^3)min=216.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

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方程 (12x)^(1/2)+(16x)^(1/3)+(27x)^(1/4)=1 ，
即(12/a)^(1/2)+(16/a)^(1/3)+(27/a)^(1/4)=1就
是基本不等式与待定系数法一题解答过程中需解的
方程，遗憾的是没有过程，只给出了解a=16×27
(a是待定系数). 这是有点难啊！