猜想：[√(ab)]^2 - ab 的值为完全平方数

朱容仟

- 核心猜想：[√(ab)]^2 - ab 的值为完全平方数。
- 条件1：[√(ab)] 为向上取整。
- 条件2：a 与 b 为奇数。
- 条件3：|n - √(4ab)| < 2，其中 a + b = n。
举例
10479+10205=20684
20684-√(4×10479×10205)≈1.8149<2
［√(10479×10205)］≈10341.09向上取整为10342
√(10342^2-10479×10205)=137

朱容仟

而且这个完全平方数是(a-b)/2。
（10479-10205)÷2=137

yangchuanju

朱容仟 发表于 2025-9-25 02:46
而且这个完全平方数是(a-b)/2。
（10479-10205)÷2=137

对于平方差公式(x+y)*(x-y)=x^2-y^2，
开平方得[(x+y)*(x-y)]^0.5=(x^2-y^2)^0.5，
当y相对于x很小时有[(x+y)*(x-y)]^0.5≈x，
[(x+y)*(x-y)]^0.5一般不是整数，可以向上取整，在y相对于x很小时认为它就是x。
朱容仟猜想[√(ab)]^2 - ab 的值为完全平方数，
在这里可以取定a=x+y,  b=x-y，若认为取整式的平方等于x^2，又ab=(x+y)*Ix-y)=x^2-y^2，
则有[√(ab)]^2 - ab=x^2-(x^2-y^2)=y^2，
在这里y相对于x必须是较小的数。

yangchuanju

令x=10，y=1,2,3,4,5有(x+y)*(x-y)=99,96,91,84,75；对于99,96,91,84开平方并向上取整得10，对于75开平方再向上取整不再等于10；14/6=2.333；
令x=100，y=1,2,…14有(x+y)*(x-y)=9999,9996,…9804,开平方并向上取整得100，对于y=15,(x+y)*(x-y)=9775开平方再向上取整不再等于100；114/86=1.326；
令x=1000，y=1,2,…44有(x+y)*(x-y)=999999,999996,…998064,开平方并向上取整得1000，对于y=45,(x+y)*(x-y)=997975开平方再向上取整不再等于1000，1044/956=1.092；…
改令x=20,30,40,…90时y最大可取至6,7,8,9,10,11,12,13；26/14,37/23,48/32,…103/77=1.857,1.609,1.5,…1.338；
随着x的增大，允许的比值越来越小，最终比值趋近于1！

x        10        20        30        40        50        60        70        80        90        100        1000        10000
x+y        14        26        37        48        59        70        81        92        103        114        1044        10141
x-y        6        14        23        32        41        50        59        68        77        86        956        9859
(x+y)/(x-y)        2.333         1.857         1.609         1.500         1.439         1.400         1.373         1.353         1.338         1.326         1.092         1.029

朱容仟

杨老师，我这个猜想是成立的吧？

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2025-9-26 06:41
令x=10，y=1,2,3,4,5有(x+y)*(x-y)=99,96,91,84,75；对于99,96,91,84开平方并向上取整得10，对于75开平方再 ...

接4楼
y\x        10        20        100        1000        10000
1        9.95         19.97         99.99         1000.00         10000.00
2        9.80         19.90         99.98         1000.00         10000.00
3        9.54         19.77         99.95         1000.00         10000.00
4        9.17         19.60         99.92         999.99         10000.00
5        8.66         19.36         99.87         999.99         10000.00
6        8.00         19.08         99.82         999.98         10000.00
7        7.14         18.73         99.75         999.98         10000.00
8        6.00         18.33         99.68         999.97         10000.00
9        4.36         17.86         99.59         999.96         10000.00
10        0.00         17.32         99.50         999.95         9999.99
11        #NUM!        16.70         99.39         999.94         9999.99
12        #NUM!        16.00         99.28         999.93         9999.99
13        #NUM!        15.20         99.15         999.92         9999.99
14        #NUM!        14.28         99.02         999.90         9999.99
15        #NUM!        13.23         98.87         999.89         9999.99
44        #NUM!        #NUM!        89.80         999.03         9999.90
45        #NUM!        #NUM!        89.30         998.99         9999.90
140        #NUM!        #NUM!        #NUM!        990.15         9999.02
141        #NUM!        #NUM!        #NUM!        990.01         9999.01
142        #NUM!        #NUM!        #NUM!        989.87         9998.99

yangchuanju

差值计算表
(ROUNDUP((ab)^0.5,0))^2-ab                                                                               
a\b        11        21        31        41        51        61        71        81        91        101
1        5        4        5        8        13        3        10        0        9        20
3        3        1        7        21        16        13        12        13        16        21
5        9        16        14        20        1        19        6        36        29        24
7        4        22        8        2        4        14        32        9        39        22
9        1        7        10        31        25        27        37        0        22        52
11        0        25        20        33        15        5        3        9        23        45
13        1        16        38        43        13        48        38        36        42        56
15        4        9        19        10        19        46        24        10        4        6
17        9        4        2        32        33        52        18        67        53        47
19        16        1        36        5        55        66        20        61        35        17
21        25        0        25        39        18        15        30        63        25        88
23        3        1        16        18        52        41        48        73        23        78
25        14        4        9        64        21        75        74        0        29        76
27        27        9        4        49        67        34        19        22        43        82
29        5        16        1        36        42        80        57        52        65        96
31        20        25        0        25        19        45        8        90        95        5
33        37        36        1        16        81        12        58        31        22        31
35        15        49        4        9        64        74        15        81        64        65
37        34        7        9        4        49        47        77        28        114        107
39        12        22        16        1        36        22        40        90        51        30
41        33        39        25        0        25        100        5        43        113        84
43        11        58        36        1        16        81        83        117        56        13
45        34        16        49        4        9        64        54        76        1        79
47        12        37        64        9        4        49        27        37        79        14
49        37        60        2        16        1        36        2        0        30        92
51        15        18        19        25        0        25        100        94        120        33
53        42        43        38        36        1        16        81        63        77        123
55        20        1        59        49        4        9        64        34        36        70
57        49        28        82        64        9        4        49        7        142        19
59        27        57        20        81        16        1        36        121        107        125
61        5        15        45        100        25        0        25        100        74        80
63        36        46        72        18        36        1        16        81        43        37
65        14        4        10        39        49        4        9        64        14        159
67        47        37        39        62        64        9        4        49        144        122
69        25        72        70        87        81        16        1        36        121        87
71        3        30        8        5        100        25        0        25        100        54
73        38        67        41        32        121        36        1        16        81        23
75        16        25        76        61        19        49        4        9        64        169
77        53        64        14        92        42        64        9        4        49        144
79        31        22        51        10        67        81        16        1        36        121
81        9        63        90        43        94        100        25        0        25        100
83        48        21        28        78        123        121        36        1        16        81
85        26        64        69        115        21        144        49        4        9        64
87        4        22        7        33        52        22        64        9        4        49
89        45        67        50        72        85        47        81        16        1        36
91        23        25        95        113        120        74        100        25        0        25
93        1        72        33        31        18        103        121        36        1        16
95        44        30        80        74        55        134        144        49        4        9
97        22        79        18        119        94        12        2        64        9        4
99        0        37        67        37        135        45        27        81        16        1
101        45        88        5        84        33        80        54        100        25        0
103        23        46        56        2        76        117        83        121        36        1
105        1        4        109        51        121        156        114        144        49        4
107        48        57        47        102        19        34        147        169        64        9
109        26        15        102        20        66        75        5        7        81        16
111        4        70        40        73        115        118        40        34        100        25
113        53        28        97        128        13        163        77        63        121        36
115        31        85        35        46        64        41        116        94        144        49
117        9        43        94        103        117        88        157        127        169        64
119        60        1        32        21        15        137        15        162        196        81
121        38        60        93        80        70        15        58        0        14        100
123        16        18        31        141        127        66        103        37        43        121
125        69        79        94        59        25        119        150        76        74        144
127        47        37        32        122        84        174        8        117        107        169
129        25        100        97        40        145        52        57        160        142        196
131        3        58        35        105        43        109        108        205        179        225
133        58        16        102        23        106        168        161        43        218        23
135        36        81        40        90        4        46        19        90        36        54
137        14        39        109        8        69        107        74        139        77        87
139        71        106        47        77        136        170        131        190        120        122

yangchuanju

令b=11， a=5-21时差是平方数9,4,1,0,1,4,9,16,25；当a=b时差等于0，向前、向后渐增，且后部比前部多两个；
令b=21， a=11-35时差是平方数25,16,9,4,1,0,1,4,9,16,25,36,49；当a=b时差等于0，向前、向后渐增，且后部比前部多两个；
……
令b=101， a=75-131时差是平方数169,…25,16,9,4,1,0,1,4,9,16,25,36,49,…225；当a=b时差等于0，向前、向后渐增，且后部比前部多两个；
令b=1001,10001,…平方数个数见下表——
当a和b都较小时，b/a最小和a最大/b都在1.3至2之间；当a和b逐渐增大后，两个比值到越来越小，并逐渐向1趋近！

b        a最小        a最大        a最小差        a最大差        b/a最小        a最大/b
11        5        21        9        25        2.2000         1.9091
21        11        35        25        49        1.9091         1.6667
31        19        47        36        64        1.6316         1.5161
41        25        61        64        100        1.6400         1.4878
51        33        73        81        121        1.5455         1.4314
61        41        85        100        144        1.4878         1.3934
71        51        95        100        144        1.3922         1.3380
81        59        107        121        169        1.3729         1.3210
91        67        119        144        196        1.3582         1.3077
101        75        133        169        225        1.3467         1.3168
1001        915        1091        43^2        45^2        1.0940         1.0899
10001        9721        10285        140^2        142^2        1.0288         1.0284
100001        99109        100897        446^2        448^2        1.0090         1.0090
1000001        997175        1002831        1413^2        1415^2        1.0028         1.0028
10000001        9991059        10008947        4471^2        4473^2        1.0009         1.0009
100000001        99971719        100028287        14141^2        14143^2        1.0003         1.0003

朱容仟

yangchuanju 发表于 2025-9-26 20:38
令b=11， a=5-21时差是平方数9,4,1,0,1,4,9,16,25；当a=b时差等于0，向前、向后渐增，且后部比前部多两个； ...

杨老师，a最小与a最大，在含有5尾数除外时，其中必有一个为质数，或两个都是质数，或其中一个能被3整除。
也就是说可以根据此猜想，在只进行排除整除3与5时，可以寻找一个大的质数

朱容仟

结论错误