素数阶乘(Primorial)p#前后的间隙

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 05:38

素数阶乘(Primorial)p#前后的间隙

众所周知素数阶乘p#±1不能被p及p前所有素数整除，
素数阶乘p#±2,3,4，……(q-1)都不是素数，这里的q是p后紧邻的素数，
素数阶乘p#±q不能被q及q前所有素数整除；

然而p#±1，p#±q都不一定是素数，它们自身可能是一个素数，也可能是含有比p或q大的素因子的合数，
如5#+1=31、5#-1=29、5#+7=37、5#-7=23都是素数，
7#+1=211、7#-1=209=11*19、7#+11=221=13*17、7#-11=199中既有素数也有含大素因子的合数。

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 05:39

素数阶乘p#±1前后的间隙不小于q-1；
但p#±1、p#±q可能不是素数，因此p#前后的间隙可能是2、q+1、2q或者更大。
经计算和网上检索得到
p#-1是素数的见A057705
p#+1是素数的见A018239
p#-q是素数的见A096649
p#+q是素数的见A035345
比p#小的最大素数见A007014
比p#大的最小素数见A038710
p#到其前最大素数的间隙见A060270
p#到其后最小素数的间隙见A038711
p#±1前后的间隙见A058044

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 05:47

p#-1是素数的见A057705
1 5
2 29
3 2309
4 30029
5 304250263527209
6 23768741896345550770650537601358309
7 19361386640700823163471425054312320082662897612571563761906962414215012369856637179096947335243680669607531475629148240284399976569

p#+1是素数的见A018239
1 2
2 3
3 7
4 31
5 211
6 2311
7 200560490131
8 1719620105458406433483340568317543019584575635895742560438771105058321655238562613083979651479555788009994557822024565226932906295208262756822275663694111
9 20404068993016374194542464172774607695659797117423121913227131032339026169175929902244453757410468728842929862271605567818821685490676661985389839958622802465986881376139404138376153096103140834665563646740160279755212317501356863003638612390661668406235422311783742390510526587257026500302696834793248526734305801634165948702506367176701233298064616663553716975429048751575597150417381063934255689124486029492908966644747931
10 20832554441869718052627855920402874457268652856889007473404900784018145718728624430191587286316088572148631389379309284743016940885980871887083026597753881317772605885038331625282052311121306792193540483321703645630071776168885357126715023250865563442766366180331200980711247645589424056809053468323906745795726223468483433625259000887411959197323973613488345031913058775358684690576146066276875058596100236112260054944287636531

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 05:49

p#-q是素数的见A096649
2 3
3 23
4 199
5 2297
6 30013
7 510481
8 9699667
9 223092827
10 6469693189
11 200560490057
12 7420738134751
13 304250263527163
14 13082761331669941
15 614889782588491343
16 32589158477190044657
17 117288381359406970983181

p#+q是素数的见A035345
1 5
2 11
3 37
4 223
5 2333
6 30047
7 510529
8 9699713
9 223092907
10 6469693291
11 200560490197
12 7420738134871
13 304250263527281
14 13082761331670077
15 614889782588491517
16 32589158477190044789
17 1922760350154212639131

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 05:52

比p#小的最大素数见A007014
1 2
2 5
3 29
4 199
5 2309
6 30029
7 510481
8 9699667
9 223092827
10 6469693189
11 200560490057
12 7420738134751
13 304250263527209
14 13082761331669941
15 614889782588491343
16 32589158477190044657
17 1922760350154212638963
18 117288381359406970983181
19 7858321551080267055878989
20 557940830126698960967415263
……
350 ……

比p#大的最小素数见A038710
1 3
2 7
3 31
4 211
5 2311
6 30047
7 510529
8 9699713
9 223092907
10 6469693291
11 200560490131
12 7420738134871
13 304250263527281
14 13082761331670077
15 614889782588491517
16 32589158477190044789
17 1922760350154212639131
18 117288381359406970983379
19 7858321551080267055879179
20 557940830126698960967415493
……
350 ……

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 05:56

p#到其前最大素数的间隙见A060270
p#到其后最小素数的间隙见A038711
p#±1前后的间隙见A058044
A060270 A038711 A058044
2    1 2 1 2 2——7-5=2
3    1 3 1 3 2——31-29=2
4    11 4 1 4 12——211-199=12
5    1 5 1 5 2——2311-2309=2
6    1 6 17 6 18
7    29 7 19 7 48
8    23 8 23 8 46
9    43 9 37 9 80
  10    41 10 61 10 102
  11    73 11 1 11 74
  12    59 12 61 12 120
  13    1 13 71 13 72
  14    89 14 47 14 136
  15    67 15 107 15 174
  16    73 16 59 16 132
  17 107 17 61 17 168
  18    89 18 109 18 198
  19 101 19 89 19 190
  20 127 20 103 20 230
  21    97 21 79 21 176
  22    83 22 151 22 234
  23    89 23 197 23 286
  24    1 24 101 24 102
  25 251 25 103 25 354
  26 131 26 233 26 364
  27 113 27 223 27 336
  28 151 28 127 28 278
  29 263 29 223 29 486
  30 251 30 191 30 442
  31 223 31 163 31 386
  32 179 32 229 32 408
  33 389 33 643 33 1032
  34 281 34 239 34 520
  35 151 35 157 35 308
  36 197 36 167 36 364
  37 173 37 439 37 612
  38 239 38 239 38 478
  39 233 39 199 39 432
  40 191 40 191 40 382
  41 223 41 199 41 422
  42 223 42 383 42 606
  43 293 43 233 43 526
  44 593 44 751 44 1344
  45 293 45 313 45 606
  46 457 46 773 46 1230
  47 227 47 607 47 834
  48 311 48 313 48 624
  49 373 49 383 49 756
  50 257 50 293 50 550
  51 307 51 443 51 750
  52 313 52 331 52 644
  53 607 53 283 53 890
  54 347 54 277 54 624
  55 317 55 271 55 588
  56 307 56 401 56 708
  57 677 57 307 57 984
  58 467 58 331 58 798
  59 317 59 379 59 696
  60 431 60 491 60 922
  61 479 61 331 61 810
  62 509 62 311 62 820
  63 601 63 397 63 998
  64 331 64 331 64 662
  65 379 65 353 65 732
  66    1 66 419 66 420
  67 449 67 421 67 870
  68    1 68 883 68 884
  69 1163 69 547 69 1710
  70 449 70 1381 70 1830
  71 443 71 457 71 900
  72 499 72 457 72 956
  73 373 73 373 73 746
  74 467 74 421 74 888
  75 619 75 1 75 620
  76 599 76 1061 76 1660
  77 691 77 523 77 1214
  78 443 78 499 78 942
  79 449 79 619 79 1068
  80 1123 80 727 80 1850
  81 439 81 457 81 896
  82 677 82 509 82 1186
  83 433 83 439 83 872
  84 599 84 911 84 1510
  85 881 85 461 85 1342
  86 593 86 823 86 1416
  87 661 87 613 87 1274
  88 1583 88 617 88 2200
  89 1021 89 1021 89 2042
  90 521 90 523 90 1044
  91 677 91 941 91 1618
  92 509 92 653 92 1162
  93 863 93 601 93 1464
  94 677 94 877 94 1554
  95 587 95 607 95 1194
  96 659 96 631 96 1290
  97 541 97 733 97 1274
  98 619 98 757 98 1376
  99 773 99 877 99 1650
100 1013 100 641 100 1654
……

白新岭 · 发表于 2025-10-1 05:59

值得研究

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 06:15

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-10-1 18:17 编辑

第100号素数是541，541#等于
4711930799906184953162487834760260422020574773409675520188634839616415335845034221205289256705544681972439104097777157991804380284218315038719444943990492579030720635990538452312528339864352999310398481791730017201031090——220位
前后素数的间隙及总间隙分别是1013，641，1654；

第350号素数是2357，
前后素数的间隙及总间隙分别是4153，3313，7466；

第1000号素数是7919，
前后素数的间隙及总间隙分别是9377，8719，18096。

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 18:02

素数阶乘前后孪生素数对及间隙（间距）
素数p p# 大于p#的孪生小素数小于p#的孪生小素数 p#后间隙 p#前间隙总间隙
2 2 3 —— 1 —— ——
3 6 11 3 5 3 8
5 30 41 17 11 13 24
7 210 227 197 17 13 30
11 2310 2339 2267 29 43 72
13 30030 30089 30011 59 19 78
17 510510 510551 510449 41 61 102
19 9699690 9699731 9699647 41 43 84
23 223092870 223093511 223092671 641 199 840
29 6469693230 6469693331 6469693079 101 151 252
31 200560490130 200560490549 200560489859 419 271 690
37 7420738134810 7420738134911 7420738134527 101 283 384
41 304250263527210 304250263527479 304250263524671 269 2539 2808
43 13082761331670030 13082761331670209 13082761331669681 179 349 528
47 614889782588491410 614889782588491517 614889782588490947 107 463 570

yangchuanju · 发表于 2025-10-1 18:12

A035345-17 A096649-17
大于p#+1的最小素数小于p#-1的最大素数
1 5——大于3的最小素数是5 ——
2 11——大于7的最小素数是11 2 3——小于3#-1=5的最小素数是3
3 37——大于31的最小素数是37 3 23——小于5#-1=29的最大素数是23
4 223 4 199
5 2333 5 2297
6 30047 6 30013
7 510529 7 510481
8 9699713 8 9699667
9 223092907 9 223092827
10 6469693291 10 6469693189
11 200560490197 11 200560490057
12 7420738134871 12 7420738134751
13 304250263527281 13 304250263527163
14 13082761331670077 14 13082761331669941
15 614889782588491517 15 614889782588491343
16 32589158477190044789 16 32589158477190044657
17 1922760350154212639131 17 117288381359406970983181

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