在a1,a2,a3,...,an,an=n^2或an=n*(n+1)的n个连续数列中必然存在各一个素数.

小草 · 发表于 2025-10-3 08:21

在a1,a2,a3,...,an,an=n^2或an=n*(n+1)的n个连续数列中必然存在各一个素数.

文/施承忠

对于整数
n≥2，定义：
数列A_n：
首项为 n(n−1)+1，末项为 n^ 2，共 n个连续自然数，即
A1={n(n−1)+1,n(n−1)+2,?n^2}
数列B_n：
首项为 n^2+1，末项为 n(n+1)，共 n个连续自然数，即
A 2={n^2+1,n^2+2,…,n(n+1)}

求证：
A_n和B_n中至少各存在一个素数.
证明过程

步骤 1：运用引理1证明A_n中至少存在一个素数.
证明B_n内必有一个素数：
引理 1： n≥2，
一、素数定理推论的理论基础
素数定理表明，当x→∞时，素数计数函数π(x)∼ x/lnx，其推论 “区间 [x,x+√x]内存在素数” 的严格成立范围，
根据 Baker-Harman-Pintz 定理（2001 年），证明了对足够大的x，区间[x,x+x^0.525]内必有素数，而当x进一步增大时，区间可缩小至[x,x+√x]。
但具体到 [x,x+√x]的严格 “足够大” 范围，目前数论中常用的界定如下：
二、“x足够大” 的具体数值范围理论界定通过对素数定理误差项的估计，当x≥x0时，[x,x+√x]内存在素数，其中x0的经典估为：
x0=10^10（基于早期素数分布误差分析的保守估计）。
更精确的结果显示，当x≥25时，区间[x,x+√x]内存在素数，但需结合小值验证排除例外。
小值验证补充
对x<25的情况，直接枚举验证：x,[x,x+√x]素数存在性
1
[1,2]
素数 2 存在
2
[2,3.414]
素数 2,3 存在
3
[3,4.732]
素数 3 存在
4
[4,6]
素数 5 存在
B_2=[5,6]
素数 5 存在
5
[5,7.236]
素数 5,7 存在
6
[6,8.449]
素数 7 存在
7
[7,9.645]
素数 7 存在
8
[8,10.828]
素数不存在
9
[9,12]
素数 11 存在
B_3=[10,12]
素数 11 存在
10
[10,13.162]
素数 11,13 存在
11
[11,14.317]
素数 11,13 存在
12
[12,15.464]
素数 13 存在
13
[13,16.606]
素数 13 存在
14
[14,17.742]
素数 17 存在
15
[15,18.873]
素数 17 存在
16
[16,20]
素数 17,19 存在
B_4[17,20]
素数 17,19 存在
17
[17,21.123]
素数 17,19 存在
18
[18,22.243]
素数 19 存在
19
[19,23.359]
素数 19,23 存在
20
[20,24.472]
素数 23 存在
21
[21,25.583]
素数 23 存在
22
[22,26.690]
素数 23 存在
23
[23,27.796]
素数 23 存在
24
[24,28.899]
素数不存在
25
[25,30]
素数 29 存在
B_5=[26,30]
素数 29 存在

发现例外：
当x=8时，[8,10.828]内无素数,x=8不满足条件；x=24时，[24,28.899]素数不存在，但都不属于B_n.

因此B_n结合理论与枚举，当x≥25时，可确保[x,x+√x]内存在素数，而x<25时验证了B_n内都存在素数。
结論1
B_n中至少存在一个素数。

证明A_n内必有一个素数
对A_n，使用反方向的素数分布定理：
对于区间[x− √x,x]（x足够大），利用素数定理的对称性质，可证明当 x足够大时，该区间内也存在素数。
当x≥25时，区间[x-√x,x]内存在素数，但需结合小值验证排除例外。
小值验证补充
对x<25的情况，直接枚举验证：x,[x-√x]素数存在性
1
[0,1]
素数不存在
2
[0.586,2]
素数 2 存在
3
[1.268,3]
素数 2,3 存在
4
[2,4]
素数 2,3 存在
A_2=[3,4]
素数 3 存在
5
[2.764,5]
素数 3,5 存在
6
[3.551,6]
素数 5 存在
7
[4.354,7]
素数 5,7 存在
8
[5.172,8]
素数 7 存在
9
[6,9]
素数 7 存在
A_3=[7,9]
素数 7 存在
10
[6.838,10]
素数 7 存在
11
[7.683,11]
素数 11 存在
12
[8.536,12]
素数 11 存在
13
[9.394,13]
素数 11,13 存在
14
[10.258,14]
素数 11,13 存在
15
[11.127,15]
素数 13 存在
16
[12,16]
素数 13 存在
A_4=[13,16]
素数 13 存在
17
[12.877,17]
素数 13,17 存在
18
[13.757,18]
素数 17 存在
19
[14.641,19]
素数 17,19 存在
20
[15.528,20]
素数 17,19 存在
21
[16.417,21]
素数 17,19 存在
22
[17.310,22]
素数 19 存在
23
[18.204,23]
素数 19,23 存在
24
[19.101,23]
素数 23 存在
25
[20,25]
素数 23 存在
A_5=[21,25]
素数 23 存在

因此A_n结合理论与枚举，当x≥25时，可确保[x-√x,x]内存在素数，而x<25时验证A_n内都存在素数。
结論1
A_n中至少存在一个素数。

步骤 2：综合结论
由引理 1 可知，对于任意n≥2，数列 A_n和 B_n中分别至少存在一个素数。
证毕。

小草 · 发表于 2025-10-4 07:53

本帖最后由小草于 2025-10-6 07:48 编辑

加【】的为至少有一对孪生素数
π(A_1)=[1]=0
π(B_1)=[2]=1
π(A_2)=[3]=1
π(B_2)=[5]=1
π(A_3)=[7]=1
π(B_3)=[11]=1
π(A_4)=[13]=1
π(B_4)=[17,19]=2【】
π(A_5)=[23]=1
π(B_5)=[29]=1
π(A_6)=[31]=1
π(B_6)=[37,41]=2
π(A_7)=[43,47]=2
π(B_7)=[53]=1
π(A_8)=[59,61]=2【】
π(B_8)=[67,71]=2
π(A_9)=[73,79]=2
π(B_9)=[83,89]=2
π(A_10)=[97]=1
π(B_10)=[101,103,107,109]=4【】
π(A_11)=[113]=1
π(B_11)=[127,131]=2
π(A_12)=[137,139]=2【】
π(B_12)=[149,151]=2【】
π(A_13)=[157,163,167]=3
π(B_13)=[173,179,181]=3【】
π(A_14)=[191,193]=2【】
π(B_14)=[197,199]=2【】
π(A_15)=[223]=1
π(B_15)=[227,229,233,239]=4【】
π(A_16)=[241,251]=2
π(B_16)=[257,263,269,271]=4【】
π(A_17)=[277,281,283]=3【】
π(B_17)=[293]=1
π(A_18)=[307,311,313,317]=4【】
π(B_18)=[331,337]=2
π(A_19)=[347,349,353,359]=4【】
π(B_19)=[367,373,379]=3
π(A_20)=[383,389,397]=3
π(B_20)=[401,409,419]=3
π(A_21)=[421,431,433,439]=4【】
π(B_21)=[443,449,457,461]=4
π(A_22)=[463,467,479]=3
π(B_22)=[487,491,499,503]=4
π(A_23)=[509,521,523]=3【】
π(B_23)=[541,547]=2
π(A_24)=[557,563,569,571]=4【】
π(B_24)=[577,587,593,599]=4
π(A_25)=[601,607,613,617,619]=5【】
π(B_25)=[631,641,643,647]=4【】
π(A_26)=[653,659,661,673]=4【】
π(B_26)=[677,683,691,701]=4
π(A_27)=[709,719,727]=3
π(B_27)=[733,739,743,751]=4
π(A_28)=[757,761,769,773]=4
π(B_28)=[787,797,809,811]=4【】
π(A_29)=[821,823,827,829,839]=5【】
π(B_29)=[853,857,859,863]=4【】
π(A_30)=[877,881,883,887]=4【】
π(B_30)=[907,911,919,929]=4
π(A_31)=[937,941,947,953]=4
π(B_31)=[967,971,977,983,991]=5

小草 · 发表于 2025-10-8 09:27

【】表示孪生素数对数

【1】
π(A_2)=[3]=1
π(B_2)=[5]=1
【2】
π(B_2)=[5]=1
π(A_3)=[7]=1
【3】
π(B_3)=[11]=1
π(A_4)=[13]=1
【4】
π(A_4)=[13]=1
π(B_4)=[17,19]=2
【5】
π(B_5)=[29]=1
π(A_6)=[31]=1
【6】
π(B_6)=[37,41]=2
π(A_7)=[43,47]=2
【7】
π(B_7)=[53]=1
π(A_8)=[59,61]=2
【8】
π(B_8)=[67,71]=2
π(A_9)=[73,79]=2
【9】【10】
π(B_9)=[83,89]=2
π(A_10)=[97]=1
π(B_10)=[101,103,107,109]=4
【11】
π(A_11)=[113]=1
π(B_11)=[127,131]=2
π(A_12)=[137,139]=2
【12】
π(B_12)=[149,151]=2
【13】
π(A_13)=[157,163,167]=3
π(B_13)=[173,179,181]=3
【14】
π(A_14)=[191,193]=2
【15】
π(B_14)=[197,199]=2
【16】【17】
π(A_15)=[223]=1
π(B_15)=[227,229,233,239]=4
π(A_16)=[241,251]=2
【18】
π(B_16)=[257,263,269,271]=4
【19】
π(A_17)=[277,281,283]=3
【20】
π(B_17)=[293]=1
π(A_18)=[307,311,313,317]=4
【21】
π(B_18)=[331,337]=2
π(A_19)=[347,349,353,359]=4
【22】【23】
π(B_19)=[367,373,379]=3
π(A_20)=[383,389,397]=3
π(B_20)=[401,409,419]=3
π(A_21)=[421,431,433,439]=4
【24】
π(B_21)=[443,449,457,461]=4
π(A_22)=[463,467,479]=3
【25】
π(B_22)=[487,491,499,503]=4
π(A_23)=[509,521,523]=3
【26】
π(B_23)=[541,547]=2
π(A_24)=[557,563,569,571]=4
【27】【28】
π(B_24)=[577,587,593,599]=4
π(A_25)=[601,607,613,617,619]=5
【29】
π(B_25)=[631,641,643,647]=4
【30】
π(A_26)=[653,659,661,673]=4
【31】
π(B_26)=[677,683,691,701]=4
π(A_27)=[709,719,727]=3
π(B_27)=[733,739,743,751]=4
π(A_28)=[757,761,769,773]=4
π(B_28)=[787,797,809,811]=4
【32】【33】
π(A_29)=[821,823,827,829,839]=5
【34】
π(B_29)=[853,857,859,863]=4
【35】
π(A_30)=[877,881,883,887]=4

小草 · 发表于 2025-10-21 07:44

在a1,a2,a3,...,an,an=n^2或an=n*(n+1)的n个连续数列中必然存在各一个素数.

文、施承忠

证：
我们有这样两列数列；
数列(1)1,2,3,...,n.
数列(2)a1,a2,a3,...,an,an=n^2或an=n*(n+1).
它们都是连续自然数.
因为π(x)与x的根号中的素数有关，所以数列(2)中任一个数的最小素因子一定存在于数列(1)中的某一个数中.
我们将数列(2)中的每一个数进行移位整理，使得数列(2)中每一个数的最小素因子都与数列(1)中的每一个数一一对应.因为数列(2)中的合数素因子最多只能有n-1个可对应，必然有一个要与1对应，而这个数的最小素因子只能是1，所以它必然是素数，当素数个数大于1时必然要与大于1的数对应.
证毕.

小草 · 发表于 2025-10-22 08:32

π(x)表不大于x的素数个数，则π(x^2)≥2x-2.

证：
因为n^2=(2∑(1,n)n)-1,有2n-1列，其中1不是素数，所以至少有2n-2个素数.
证毕.

小草 · 发表于 2025-10-22 08:33

π(x)=(c1)x/lnx.

证：
根据定理2，π(x^2)≥2x-2，令π(a^2)=ca,
令c=(c1)a/ln(a^2),π(a^2)=(c1)a^2/ln(a^2).令a^2=x,即得.
证毕.

小草 · 发表于 2025-10-22 08:34

π(x)=c(x-2)

π(1^2)=(2-2)=0
π(2^2)=(4-2)=2
π(3^2)=(6-2)=4
π(4^2)=(8-2)=6
π(5^2)=1.125*(10-2)=9
π(6^2)=1.1*(12-2)=11
π(7^2)=1.25*(14-2)=15
π(8^2)=1.285 714 286*(16-2)=18
π(9^2)=1.375(18-2)*=22
π(10^2)=1.388 888 889*(20-2)=25
π(11^2)=1.5*(22-2)=30
π(12^2)=1.545 454 545*(24-2)=34
π(13^2)=1.625*(26-2)=39
π(14^2)=1.692 307 692*(28-2)=44
π(15^2)=1.714 285 714*(30-2)=48
π(16^2)=1.8*(32-2)=54
π(17^2)=1.906 25*(34-2)=61
π(18^2)=1.941 176 471*(36-2)=66
π(19^2)=2*(38-2)=72
π(20^2)=2.052 631 579*(40-2)=78

小草 · 发表于 2025-10-23 13:07

π(100^2)=6.207 070 707*(200-2)=1229
π(1000^2)=39.288 288 29*(2000-2)=78498
π(10000^2)=288.101 560 2*(20000-2)=5761455

小草 · 发表于 2025-10-23 13:08

π(pk)=c*(pk)^(1/2)=(c1)pk/lnpk
c=(c1)a/lna^2

π(3)=1.154 700 538*1.732 050 808=2
0.732 408 19*1.732 050 808=1.268 568 2
1.268 568 2/1.098 612 289=1.154 70
π(5)=1.341 640 79*2.236 067 977=3
0.965 663*2.236 067 977=2.159 29
2.159 29/1.609 437 912=1.341 64
π(7)=1.511 857 892*2.645 751 311=4
1.111 948 7*2.645 751 311=2.941 940
2.941 940/1.945 910 149=1.511 858
π(11)=1.507 556 723*3.316 624 790=5
1.089 952 4*3.316 624 790=3.614 963
3.614 963/2.397 895 273=1.507 56
π(13)=1.664 100 589*3.605 551 275=6
1.183 822 8*3.605 551 275=4.268 334
4.268 334/2.564 949 357=1.664 10
π(17)=1.697 749 375*4.123 105 626=7
1.166 617 26*4.123 105 626=4.810 086 2
4.810 086 2/2.833 213 344=1.697 749 4
π(19)=1.835 325 871*4.358 898 944=8
1.239 763 8*4.358 898 944=5.404 005
5.404 005/2.944 438 979=1.835 326
π(23)=1.876 629 73*4.795 831 523=9
1.226 932 5*4.795 831 523=5.884 16
5.884 16/3.135 494 216=1.876 63
π(29)=1.856 953 382*5.385 164 807=10
1.161 136 49*5.385 164 807=6.252 911
6.252 911/3.367 295 830=1.856 953

小草 · 发表于 2025-10-24 08:36

数列a1,a2,a3,...,an,an=n^2或an=n*(n+1).(孪生素数)

[1]
[2]
【3】[4]
【5】[6]
【7】[8][9]
【】
[10]【11】[12]
【13】[14][15][16]
【】
【17】[18]【19】[20]
[21][22][23][24][25]
【】
[26][27][28]【29】[30]
【31】[32][33][34][35][36]
【】
[37][38][39][40]【41】[42]
【43】[43][44][45][46][47][48][49]
【】
[50][51][52][53][54][55][56]
[57][58]【59】[60]【61】[62][63][64]
【】
[65][66][67][68][69][70]【71】[72]
【73】[74][75][76][77][78][79][80][81]
【】
[82][83][84][85][86][87][88][89][90]
[91][92][93][94][95][96][97][98][99][100]
【】
【101】[102]【103】[104][105][106]【107】[108]【109】[110]
[111][112][113][114][115][116][117][118][119][120][121]
【】
[122][123][124][125][127][128][129][130][131][132]
[133][134][135][136]【127】[138]【139】[140][141][142][143][144]
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