用微积分求所有自然数之和 0+1+2+...

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用微积分求所有自然数之和 0+1+2+...

原创 马小扁  Ampligence 数学  2025 年 09 月 16 日 22:27  广东

马小扁带你用数学家的眼睛看世界



Q.E.D.

你看到的这个“所有自然数之和 = -1/12”的证明，本质上就是在玩“先求和再取极限”与“先取极限再求和”这两种顺序交换的技巧。下面我给你用通俗的方式解释一下：

1.  直接求和的结果

我们都知道：

1 + 2 + 3 + 4 + …

这个级数是发散的，越加越大，没有上限。所以如果你直接算它的和，结果就是无穷大。

2. 引入一个“调和器”

为了让这个发散的级数变得可控，我们引入一个收敛的“调和器”，比如在 Mathematica 里写的：

M = m * exp(-m/N) * cos(m/N)

这个式子相当于把每个项 m 稍微“压缩”了一点点（用指数衰减和余弦震荡来调节），让原本发散的和暂时变得收敛。

● 当 N 很大时，这个调节几乎没什么影响（因为 exp(-m/N) → 1，cos(m/N) → 1）。

● 所以 M 在极限下还是趋近于 m 。

换句话说，我们引入了一个工具：它暂时让无穷和有意义。

3.  两种不同的顺序

● 如果你先取极限再求和：

        lim (N→∞) M = m

然后再对 m 求和：

        Σ m = ∞

——这就是常规思路，当然发散。

● 如果你先对 M 求和，再取极限：

  先算 Σ M（在 N 有限时，这个和是收敛的！）

然后再让 N → ∞

  结果竟然是： -1/12

4.  核心思想

也就是说：

交换极限和求和的顺序，得到了完全不同的答案。

这并不是数学错误，而是一个重新定义发散和的方式。在解析延拓、物理正则化里，我们经常这么干：

● “天真”算法：无穷大发散。

● “天才”算法：得到一个有限值（比如 -1/12）。

在弦论、量子场论里，这个 -1/12 真的会出现，并且有物理意义。

5.  通俗总结

所以，所谓“1+2+3+…=-1/12”的证明，其实是：

我们给这个发散和穿了一件“正则化的外套”，这样它在某个意义下变得有限。

马小扁  Ampligence 数学