从古希腊到 GPU ：完美数与梅森素数的寻宝之旅

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从古希腊到 GPU ：完美数与梅森素数的寻宝之旅

原创  南方 Er  南方 Er  2025 年 10 月 05 日 10:12  广东

2024 年 10 月，一位前英伟达工程师卢克·杜兰特通过“互联网梅森素数大搜索”项目，发现了迄今为止人类已知最大的素数—— 2^136279841-1 。



这个数字庞大到令人难以想象，它有 41024320 位十进制数字，比之前纪录的素数长了 1600 万位。如果以正常字号将它打印出来，纸张连起来足以从北京延伸到上海。这一发现标志着寻找梅森素数的新纪元——首次完全依靠 GPU 而非传统个人电脑完成，堪称计算数学的一座里程碑。



01 古希腊的数字相亲大会

故事始于 2600 多年前的古希腊。一个叫毕达哥拉斯的数学天团，在摆弄数字时，偶然玩起了“数字相亲”游戏：把一个数字的所有“真因数”（不包括它自己）凑在一起，看它们相加能不能“修成正果”——等于它自己。

第一个成功“配对”的是数字 6 ：1+2+3=6 。

“太完美了！”毕达哥拉斯学派惊呼。他们觉得 6 是“完满的婚姻”，因为 2（女性）和 3（男性）相乘得到了它。他们甚至给数字赋予了人格：偶数是阴柔的女性，奇数是阳刚的男性。

紧接着，28 也成功牵手：1+2+4+7+14=28 。

这下古人们彻底着迷了，给这种“自己等于自己因数之和”的数字起了个霸气的名字——完美数。他们还发现，6 和 28 都有一个美妙的性质：它们的数字根分别是 6 和 1 ，仿佛在呼应着某种宇宙的韵律。



     趣闻时间

     有人说，上帝用 6 天创造世界，不是因为累了，而是因为 6 是完美数，必须的！就连月亮绕地球公转的周期也接近 28 天，这难道是巧合？

     秦始皇是“6”的狂热粉丝，统一车轨、文字啥的都爱用“六”作标准。而天上的“二十八星宿”，也悄悄对应着另一个完美数 28 。古代建筑中，这个数字更是频频现身——天坛祈年殿的 28 根立柱，不就是最好的例证？

02 数学大神们的寻宝工具

完美数实在太难找了，古人用尽洪荒之力也只找到 4 个（6, 28, 496, 8128）。直到一位叫欧几里得的大神，在《几何原本》中他发明了一个“寻宝地图”：

     欧几里得公式：如果找到一个形如 2^p - 1 的素数（这种素数后来被命名为“梅森素数”），那么用这个公式 2^(p-1)*(2^p-1) 就能造出一个偶完美数！



举个栗子：

     当 p=2 时，2^2 - 1 = 3（是素数），那么完美数 = 2^(2-1) * (2^2-1) = 2 * 3 = 6 ，成功了！

后来，数学大神欧拉（就是心算能力堪比计算机的那位）证明了：所有的偶完美数，都长欧几里得公式说的这个样子！这个证明如此优美，就像为完美数宇宙画下了一条基本法。



这就好比，欧几里得画出了藏宝图，而欧拉证明了：“没错，所有宝藏都埋在这张图标记的地方！”从此，寻找完美数的征途，变成了一场寻找特殊素数的冒险。

03 现代寻宝：全民参与的计算盛宴



找完美数的关键，就变成了寻找一种更稀有的宝藏——梅森素数（即 2^p - 1 是素数）。这活儿在计算机发明前，简直能让人算到白头。

最传奇的是欧拉，他在双目失明后，全靠心算，找到了当时最大的梅森素数 2^31 - 1（一个 10 位的天文数字）。这操作，堪称数学界的“闭眼倒车入库”！要知道，这个数字是 2147483647 ，直到 1867 年前都无人能超越。



转折点来了！——计算机与互联网

1996 年，一个叫 GIMPS（互联网梅森素数大搜索）的项目诞生了，它发动全球网友“人海战术”，用你家电脑的闲散算力，一起寻找梅森素数。这个项目的精妙之处在于，它将庞大的计算任务分解成无数个小块，分发给世界各地志愿者的电脑。



成果如何？

2024 年的最新纪录是 2^136279841 - 1，这个数字有 41024320 位！如果把它完整写下来，能印满好几本《新华字典》！更令人惊叹的是，这个数字的二进制表示是 136279841 个 1 连在一起，简洁得令人窒息。



卢克·杜兰特，这位发现最新梅森素数的前英伟达员工，动用了分布在 17 个国家、24 个数据中心的数千个服务器 GPU ，组建了一台“云超级计算机”。这些 GPU 并行计算的能力，让传统 CPU 望尘莫及——完成了一个需要计算 1100 万亿次的艰巨任务。

他希望通过这一发现证明：GPU 不仅能用于 AI 领域，也非常适合基础数学和科学研究。这一发现不仅刷新了数学纪录，更开创了分布式科学计算的新模式。

这就像全世界的数学爱好者，组成了一支“数字复仇者联盟”，共同挖掘数学宇宙中的宝藏。而每个参与者，哪怕只是用个人笔记本电脑贡献了一点点算力，都成为了这个伟大发现的一部分。



04 完美数，远不只是数学游戏！

你可能会问，研究这些几千万位的天文数字，有啥实际用处吗？

还真有！ 它们正在悄悄走进我们的生活：

在工业自动化领域，工程师们会把“寻找完美数”作为学习 ST 语言（一种工业编程语言）的经典练习题。你能写出一个找出完美数的程序，就证明你已经掌握了循环、判断等核心技巧。这可是把古老数学用在了现代科技上！而且，寻找梅森素数的算法，还催生了一些新型错误检测码，在保证数据传输准确性方面发挥着作用。

在济南的一所小学，老师们用生动有趣的视频和故事给孩子们讲完美数，把抽象的数学变成了探险故事。孩子们听得两眼放光，原来数学不是枯燥的公式，而是充满奇迹的寻宝游戏！一个学生课后兴奋地说：“我要找出第三个完美数 496 ！”这种点燃求知欲的价值，远比知识本身更重要。

数学家们（比如南京师范大学的陈永高教授）仍在深入研究与完美数相关的复杂理论。这些研究如同在打造更精密的“望远镜”，帮助我们看清数字宇宙更深层的奥秘。他们在探索：完美数是否总是以 6 或 8 结尾？它们的数字根有什么规律？这些问题虽然抽象，却在推动着整个数论领域的发展。

05 留给未来的终极谜题

尽管我们已经取得了巨大进展，但关于完美数，还有几个史诗级的未解之谜：

所以，这个故事还远未结束。 也许，下一个通过 GIMPS 项目发现全新梅森素数的“平民英雄”，就是正在读这篇文章的你呢！毕竟，现在你只需要下载一个软件，就能加入这场横跨全球的数学寻宝之旅。



后记：就在卢克·杜兰特发现纪录性的梅森素数后，他因为这一成就获得了 3000 美元的研究发现奖金。而他却做了一个温暖的决定——将这笔奖金全部捐赠给阿拉巴马州数学与科学学院的数学系。

这个举动仿佛一个完美的循环，就像那些完美数一样，将知识的火种传递给下一代，孕育着新的完美。他说：“我希望这笔捐款能激励下一代数学家，就像我当年被数学的美妙所吸引一样。”在这个数字与公式构成的世界里，最动人的始终是那份传承不息的好奇与热情。



南方 Er

ysr

数列2^n的个位数的规律是2，4，8，6循环的，由于梅森素数的n必须是奇素数，所以其个位数不会是4和6 ，一定是2和8 ，而从第47个到第52个梅森素数看其指数p的末尾两位数字都是4x+1型的，也就是其指数p就是4x+1型的，就是末尾是个2，减1就是个1了。例如第52个梅森素数的指数p=136279841，末尾两位是41，显然是4x+1型的，这个巨大的梅森素数的个位数一定是1.

ysr

而2^127-1也是一个素数，但127是4x+3型的数，所以指数p也可以是4x+3型的数，但是很少。2^127-1=170141183460469231731687303715884105727经验证是素数。

ysr

168291997是一个素数，其末尾两位数97是4x+1型的。
那么问题来了，请问：2^168291997-1是不是素数？、

谁能快速判断出来？本论坛有没有这样的高手呢？

ysr

综前所述，梅森素数的个位数一定是1或7，而1最多，其指数p是4x+1型或4x+3型的，而且4x+1型的最多。

ysr

2^2-1=3也是素数，也可以算梅森素数，但这是个位数为3的唯一特例，其他的都是个位数为1或7的。
2^3-1=7，
2^5-1=31，
2^7-1=127，
2^13-1=8191，
2^17-1=131071,
2^19-1=524287,
2^31-1=2147483647,
2^61-1=2305843009213693951
2^89-1=618970019642690137449562111
……………………………………

ysr

ysr 发表于 2025-10-7 17:30
168291997是一个素数，其末尾两位数97是4x+1型的。
那么问题来了，请问：2^168291997-1是不是素数？、

令p=168291997，则2p+1=2*168291997+1=336583995
6p+1=6*168291997+1=1009751983
8p+1=8*168291997+1=1346335977
2^168291997 mod 336583995 的模（就是余数）是：
指数有9位，用时2.734375E-02秒，余数是333542117
2^168291997 mod 1009751983的余数是：
指数有9位，用时3.515625E-02秒，余数是595955995
2^168291997 mod 1346335977的余数是：
指数有9位，用时3.515625E-02秒，余数是886082360

所以，2^168291997-1除以这三个除数的余数不为0，故，可能是素数。

我的程序速度慢无法用卢卡斯-莱莫法判断（时间太长，多少天算不完，高手可能是快很多），只好用这三个数试除一下试试。

ysr

目前发现的三种可以分解的类型，因数分别是2p+1，6p+1，8p+1
所以，仅仅试除这3个因数试试。

ysr

我们知道，梅森素数的判定用到卢卡斯莱默法，即递推数列：
S0=4，SN=S(N-1)^2-2,（程序可以这样写：S=4,S=S^2-2）每项MOD梅森数MP，若P-1项中有一项余数为0，则MP为素数，数列的数据增长太快，一般的是用前一项的余数的平方再-2来做为后一项来判断，这个可以证明是成立的。就是通项为S=(S MOD  MP )^2-2，再判断S MOD  MP 是否为0.

一般的，最多算P-1项就可以判定了，但偶有多于P-1项的，我们知道M31,  M61, M127,均为素数，都是再P-1项内有一项余数为0.

重生888@

根据ysr先生分析和我的发现，梅森数成功避免了尾数出现6，因为尾数出现6，再减1，尾数就是5，尾数是5就是合数；再者，限定p为素数，也就是限定p是奇数，所以，2^P-1, 不会出现尾数是6.

2^136279841,     2的次方   136279841/4余数是1，也就是尾数是2； 2-1=1， 也就是2^136279841-1是个奇数！

按我的理论，上述梅森数是模30余尾数11，或31的数：即30n+11 或 30n+31的数！