复数 z^13=1 ，求 (z^1+z^5+z^8+z^12)^3+(z^2+z^3+z^10+z^11)^3+(z^4+z^6+z^7+z^9)^3

wintex

請問數學：


這解法是什麼意思
3×4^3=192
-9-4-3=-16

Future_maths

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left( a+b+c\right)\left( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

Future_maths

\(a+b+c=0\)

Future_maths

\(a=z+z^5+z^8+z^{12}\)

Future_maths

\(b=z^2+z^3+z^{10}+z^{11}\)

Future_maths

\(c=z^4+z^6+z^7+z^9\)

Future_maths

然后计算3\(abc\)即可。

Future_maths

计算结果=-3

luyuanhong

ataorj

用最笨的办法展开原式，然后指数都以13取余，结果得到：
16(z^1+z^2+z^3+…+z^12)，然后z=1…
再然后z<>1时：
=16*[(1-z^13)/(1-z)-1]
=-16