与2^n相关的孪生素数

yangchuanju

与2^n相关的孪生素数

A033843给出2的0-53次方内
小于2^n的孪生素数的数量。
1 0
2 1
3 2
4 3
5 5
6 7
7 10
8 17
9 24
10 36
11 62
12 107
13 177
14 290
15 505
16 860
17 1526
18 2679
19 4750
20 8535
21 15500
22 27995
23 50638
24 92246
25 168617
26 309561
27 571313
28 1056281
29 1961080
30 3650557
31 6810670
32 12739574
33 23878645
34 44849427
35 84384508
36 159082253
37 300424743
38 568237005
39 1076431099
40 2042054332
41 3879202049
42 7378928530
43 14053179903
44 26795709320
45 51149458583
46 97741674629
47 186965900951
48 357988002871
49 686087457349
50 1316068371494
51 2526674510802
52 4854867527889
53 9335730886225

yangchuanju

A007053给出2的0-92次方以内的素数个数
Number of primes <= 2^n.
0 0
1 1
2 2
3 4
4 6
5 11
6 18
7 31
8 54
9 97
10 172
11 309
12 564
13 1028
14 1900
15 3512
16 6542
17 12251
18 23000
19 43390
20 82025
21 155611
22 295947
23 564163
24 1077871
25 2063689
26 3957809
27 7603553
28 14630843
29 28192750
30 54400028
31 105097565
32 203280221
33 393615806
34 762939111
35 1480206279
36 2874398515
37 5586502348
38 10866266172
39 21151907950
40 41203088796
41 80316571436
42 156661034233
43 305761713237
44 597116381732
45 1166746786182
46 2280998753949
47 4461632979717
48 8731188863470
49 17094432576778
50 33483379603407
51 65612899915304
52 128625503610475
53 252252704148404
54 494890204904784
55 971269945245201
56 1906879381028850
57 3745011184713964
58 7357400267843990
59 14458792895301660
60 28423094496953330
61 55890484045084135
62 109932807585469973
63 216289611853439384
64 425656284035217743
65 837903145466607212
66 1649819700464785589
67 3249254387052557215
68 6400771597544937806
69 12611864618760352880
70 24855455363362685793
71 48995571600129458363
72 96601075195075186855
73 190499823401327905601
74 375744164937699609596
75 741263521140740113483
76 1462626667154509638735
77 2886507381056867953916
78 5697549648954257752872
79 11248065615133675809379
80 22209558889635384205844
81 43860397052947409356492
82 86631124695994360074872
83 171136408646923240987028
84 338124238545210097236684
85 668150111666935905701562
86 1320486952377516565496055
87 2610087356951889016077639
88 5159830247726102115466054
89 10201730804263125133012340
90 20172933541156002700963336
91 39895115987049029184882256
92 78908656317357166866404346

yangchuanju

A208572给出500个
大于2^n的最小孪小素
1 3
2 5
3 11
4 17
5 41
6 71
7 137
8 269
9 521
10 1031
11 2081
12 4127
13 8219
14 16451
15 32801
16 65537
17 131111
18 262151
19 524351
20 1048889
21 2097257
22 4194581
23 8388617
24 16777289
25 33554501
26 67109321
27 134217779
28 268435577
29 536871017
30 1073741831
31 2147483867
32 4294967387
33 8589934889
34 17179869431
35 34359738689
36 68719476851
37 137438954039
38 274877908271
39 549755814299
40 1099511628329
41 2199023256539
42 4398046511429
43 8796093022391
44 17592186046481
45 35184372091397
46 70368744178079
47 140737488356207
48 281474976710897
49 562949953421771
50 1125899906843267
51 2251799813686457
52 4503599627370887
53 9007199254742147
54 18014398509483461
55 36028797018965417
56 72057594037928111
57 144115188075856001
58 288230376151712789
59 576460752303424529
60 1152921504606849707
61 2305843009213695869
62 4611686018427388091
63 9223372036854777341
64 18446744073709552421
65 36893488147419104219
66 73786976294838207449
67 147573952589676413081
68 295147905179352827321
69 590295810358705652627
70 1180591620717411305939
71 2361183241434822607637
72 4722366482869645215629
73 9444732965739290429279
74 18889465931478580855301
75 37778931862957161710159
76 75557863725914323421357
77 151115727451828646838341
78 302231454903657293676659
79 604462909807314587354261
80 1208925819614629174707851
81 2417851639229258349412577
82 4835703278458516698824747
83 9671406556917033397651181
84 19342813113834066795301667
85 38685626227668133590606089
86 77371252455336267181195919
87 154742504910672534362394779
88 309485009821345068724783409
89 618970019642690137449563957
90 1237940039285380274899134971
91 2475880078570760549798251871
92 4951760157141521099596502141
93 9903520314283042199192996579
94 19807040628566084398385988491
95 39614081257132168796771977217
96 79228162514264337593543953697
97 158456325028528675187087904509
98 316912650057057350374175805269
99 633825300114114700748351606891
100 1267650600228229401496703211011
……
500……

yangchuanju

在《整数序列在线百科全书》OEIS之中没有找到小于2^n的最大孪生素数条目，
现谨将笔者检索或计算的2^2至2^90内的小于2^n的最大孪生素数对黏贴于此，供参考（数据不一定都正确）。

小于2^2至2^24的最大孪小素
2        3
3        5
4        11
5        29
6        59
7        107
8        239
9        461
10        1019
11        2027
12        4049
13        8087
14        16361
15        32717
16        65519
17        131009
18        262109
19        524219
20        1048571
21        2097131
22        4193801
23        8388449
24        16777139

小于2^25至2^49的最大孪生素数对
25        33554011
25        33554009
26        67108669
26        67108667
27        134217439
27        134217437
28        268435009
28        268435007
29        536870839
29        536870837
30        1073741719
30        1073741717
31        2147482951
31        2147482949
32        4294965841
32        4294965839
33        8589934291
33        8589934289
34        17179868809
34        17179868807
35        34359737299
35        34359737297
36        68719476391
36        68719476389
37        137438953273
37        137438953271
38        274877906629
38        274877906627
39        549755813359
39        549755813357
40        1099511626399
40        1099511626397
41        2199023255479
41        2199023255477
42        4398046509739
42        4398046509737
43        8796093021409
43        8796093021407
44        17592186044299
44        17592186044297
45        35184372088321
45        35184372088319
46        70368744176779
46        70368744176777
47        140737488353701
47        140737488353699
48        281474976710131
48        281474976710129
49        562949953419319
49        562949953419317

yangchuanju

（接上楼）
小于2^50至2^90的最大孪生素数对
n        小于2^n的最大孪生素数对        差d
50        1125899906841973 is prime         651
50        1125899906841971 is prime         653
51        2251799813684461 is prime         787
51        2251799813684459 is prime         789
52        4503599627369863 is prime         633
52        4503599627369861 is prime         635
53        9007199254738543 is prime         449
53        9007199254738541 is prime         451
54        18014398509481729 is prime         255
54        18014398509481727 is prime         257
55        36028797018963799 is prime         169
55        36028797018963797 is prime         171
56        72057594037925809 is prime         127
56        72057594037925807 is prime         129
57        144115188075854269 is prime         1603
57        144115188075854267 is prime         1605
58        288230376151709779 is prime         1965
58        288230376151709777 is prime         1967
59        576460752303422431 is prime         1057
59        576460752303422429 is prime         1059
60        1152921504606845473 is prime         1503
60        1152921504606845471 is prime         1505
61        2305843009213692031 is prime         1921
61        2305843009213692029 is prime         1923
62        4611686018427386203 is prime         1701
62        4611686018427386201 is prime         1703
63        9223372036854774511 is prime         1297
63        9223372036854774509 is prime         1299
64        18446744073709550773 is prime         843
64        18446744073709550771 is prime         845
65        36893488147419102559 is prime         673
65        36893488147419102557 is prime         675
66        73786976294838205669 is prime         795
66        73786976294838205667 is prime         797
67        147573952589676406099<21>         6829
67        147573952589676406097<21>        6831
68        295147905179352825709 is prime         147
68        295147905179352825707 is prime         149
69        590295810358705651621 is prime         91
69        590295810358705651619 is prime         93
70        1180591620717411300859 is prime         565
70        1180591620717411300857 is prime         567
71        2361183241434822606019 is prime         829
71        2361183241434822606017 is prime         831
72        4722366482869645212853 is prime         843
72        4722366482869645212851 is prime         845
73        9444732965739290423131<22>        4261
73        9444732965739290423129<22>        4263
74        18889465931478580853741 is prime         1043
74        18889465931478580853731 is prime         1053
75        37778931862957161706807 is prime         761
75        37778931862957161706681 is prime         887
76        75557863725914323415281 is prime         1855
76        75557863725914323415279 is prime         1857
77        151115727451828646836453<24>        1819
77        151115727451828646836451<24>        1821
78        302231454903657293675431 is prime         1113
78        302231454903657293675429 is prime         1115
79        604462909807314587348521<24>        4567
79        604462909807314587348519<24>        4569
80        1208925819614629174705039 is prime         1137
80        1208925819614629174704889 is prime         1287
81        2417851639229258349408793 is prime         1559
81        2417851639229258349408791 is prime         1561
82        4835703278458516698824341 is prime         363
82        4835703278458516698824339 is prime         365
83        9671406556917033397646719 is prime         689
83        9671406556917033397646717 is prime         691
84        19342813113834066795298603 is prime         213
84        19342813113834066795298601 is prime         215
85        38685626227668133590592813<26>        4819
85        38685626227668133590592811<26>        4821
86        77371252455336267181192741 is prime         523
86        77371252455336267181192739 is prime         525
87        154742504910672534362389783 is prime         745
87        154742504910672534362389781 is prime         747
88        309485009821345068724778293 is prime         763
88        309485009821345068724778291 is prime         765
89        618970019642690137449556471<27>        5641
89        618970019642690137449556469<27>        5643
90        1237940039285380274899121863 is prime         361
90        1237940039285380274899121861 is prime         363

yangchuanju

A063983给出2300个
Least k such that k*2^n +/- 1 are twin primes.

0 4——4*2^0±1是孪生素数
1 2——2*2^1±1是孪生素数
2 1——1*2^2±1是孪生素数
3 9——9*2^3±1是孪生素数71,73
4 12——12*2^4±1是孪生素数191,193
5 6——6*2^5±1是孪生素数191,193
6 3——3*2^6±1是孪生素数191,193
7 9——9*2^7±1是孪生素数1151,1153
8 57
9 30
10 15
11 99
12 165
13 90
14 45
15 24
16 12
17 6
18 3
19 69
20 132
21 66
22 33
23 486
24 243
25 324
26 162
27 81
28 90
29 45
30 345
31 681
32 585
33 375
34 267
35 426
36 213
37 429
38 288
39 144
40 72
41 36
42 18
43 9
44 147
45 810
46 405
47 354
48 177
49 1854
50 927
51 1125
52 1197
53 666
54 333
55 519
56 1032
57 516
58 258
59 129
60 72
61 36
62 18
63 9
64 198
65 99
66 2985
67 2469
68 2388
69 1194
70 597
71 630
72 315
73 3081
74 2412
75 1206
76 603
77 1704
78 852
79 426
80 213
81 1320
82 660
83 330
84 165
85 1455
86 1548
87 774
88 387
89 3321
90 1698
91 849
92 1467
93 3339
94 3747
95 6639
96 7737
97 8265
98 8592
99 4296
100 2148
……
2300……

yangchuanju

A173937给出3000个
Smallest natural d = d(n) such that 2^n + d is lesser of twin primes (n = 0, 1, 2, ...).
0 2
1 1
2 1
3 3
4 1
5 9
6 7
7 9
8 13
9 9
10 7
11 33
12 31
13 27
14 67
15 33
16 1
17 39
18 7
19 63
20 313
21 105
22 277
23 9
24 73
25 69
26 457
27 51
28 121
29 105
30 7
31 219
32 91
33 297
34 247
35 321
36 115
37 567
38 1327
39 411
40 553
41 987
42 325
43 183
44 2065
45 2565
46 415
47 879
48 241
49 459
50 643
51 1209
52 391
53 1155
54 1477
55 1449
56 175
57 129
58 1045
59 1041
60 2731
61 1917
62 187
63 1533
64 805
65 987
66 985
67 153
68 1465
69 915
70 2515
71 789
72 1933
73 1887
74 517
75 591
76 2221
77 69
78 115
79 1173
80 1675
81 225
82 43
83 1773
84 2851
85 8457
86 655
87 4251
88 2353
89 1845
90 10747
91 3423
92 5245
93 2787
94 907
95 2049
96 3361
97 3837
98 3925
99 4203
100 5635
……
3000……

yangchuanju

A095017给出52个
Number of lesser twin primes (A001359) in range [2^n, 2^(n+1)].
在范围[2^n, 2^(n+1)] 内的小孪生质数 (A001359) 的数量。
1 1
2 1
3 1
4 2
5 2
6 3
7 7
8 7
9 12
10 26
11 45
12 70
13 113
14 215
15 355
16 666
17 1153
18 2071
19 3785
20 6965
21 12495
22 22643
23 41608
24 76371
25 140944
26 261752
27 484968
28 904799
29 1689477
30 3160113
31 5928904
32 11139071
33 20970782
34 39535081
35 74697745
36 141342490
37 267812262
38 508194094
39 965623233
40 1837147717
41 3499726481
42 6674251373
43 12742529417
44 24353749263
45 46592216046
46 89224226322
47 171022101920
48 328099454478
49 629980914145
50 1210606139308
51 2328193017087
52 4480863358336

yangchuanju

A080356给出10000个
Number of twin primes between n and 2n: a(n) = number of j in range n <= j <= 2*n such that j and j+2 are primes.
在范围（n，2n）内的孪生素数对数
1 0
2 1
3 2
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 2
10 2
11 2
12 1
13 1
14 1
15 2
16 2
17 2
18 1
19 1
20 1
21 2
22 2
23 2
24 2
25 2
26 2
27 2
28 2
29 2
30 2
31 2
32 2
33 2
34 2
35 2
36 3
37 3
38 3
39 3
40 3
41 3
42 2
43 2
44 2
45 2
46 2
47 2
48 2
49 2
50 2
51 3
52 3
53 3
54 4
55 4
56 4
57 4
58 4
59 4
60 3
61 3
62 3
63 3
64 3
65 3
66 3
67 3
68 3
69 4
70 4
71 4
72 3
73 3
74 3
75 4
76 4
77 4
78 4
79 4
80 4
81 4
82 4
83 4
84 4
85 4
86 4
87 4
88 4
89 4
90 5
91 5
92 5
93 5
94 5
95 5
96 6
97 6
98 6
99 7
100 7
……
10000……

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2025-10-15 10:17
A063983给出2300个
Least k such that k*2^n +/- 1 are twin primes.

A076806给出16999个
Minimal odd k such that k*2^n-1 and k*2^n+1 are twin primes.
1 3
2 1
3 9
4 15
5 81
6 3
7 9
8 57
9 45
10 15
11 99
12 165
13 369
14 45
15 345
16 117
17 381
18 3
19 69
20 447
21 81
22 33
23 1179
24 243
25 765
26 375
27 81
28 387
29 45
30 345
31 681
32 585
33 375
34 267
35 741
36 213
37 429
38 3093
39 165
40 267
41 255
42 1095
43 9
44 147
45 849
46 405
47 1491
48 177
49 1941
50 927
51 1125
52 1197
53 2001
54 333
55 519
56 1065
57 585
58 657
59 129
60 147
61 141
62 417
63 9
64 1623
65 99
66 2985
67 2469
68 4497
69 5259
70 597
71 7029
72 315
73 3081
74 2457
75 4161
76 603
77 3591
78 2697
79 3681
80 213
81 2079
82 1545
83 4089
84 165
85 1455
86 10287
87 1629
88 387
89 3321
90 14487
91 849
92 1467
93 3339
94 3747
95 6639
96 7737
97 8265
98 15735
99 5589
100 4107
……
16999……