这道不等式小题，又难又简单

luyuanhong

这道不等式小题，又难又简单

原创  想想想  MathScape  2025 年 10 月 22 日 07:12  安徽



法 1 ：利用轮换对称性



法 2 ：利用不等式放缩



这个题，其实法一大家应该都能想到的，法二感觉确实很巧很巧，可能跟题目的出法有关，感觉还挺有意思的。

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题 f(a,b) 表达式中，a,b 的地位完全对称，问：是不是必定在 a=b 时取到最大值或最小值？

答 当 f(a,b) 中 a,b 的地位完全对称时，往往会在 a=b 时取到最大值或最小值。

   但是，这个结论并不一定成立。下面举一个反例：

   设 f(a,b) = (a-b)^4-2(a-b)^2 。

   因为 a-b 的偶数次方，与 b-a 的偶数次方相等，所以 f(a,b) 表达式中，a,b 地位是对称的。

   当 a=b 时，f(a,b) = (a-a)^4-2(a-a)^2 = 0^4-2×0^2 = 0 。

   问：0 是不是 f(a,b)= (a-b)^4-2(a-b)^2 的最大值或最小值？

   当 a=2 ，b=0 时，f(a,b) = (2-0)^4-2×(2-0)^2 = 16-8 = 8 ＞ 0 。

   可见 0 不是 f(a,b) = (a-b)^4-2(a-b)^2 的最大值。

   当 a=1 ，b=0 时，f(a,b) = (1-0)^4-2×(1-0)^2 = 1-2 = -1 ＜ 0 。

   可见 0 也不是 f(a,b)= (a-b)^4-2(a-b)^2 的最小值。

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