已知 a＞0，b＞0，且 a+b=1，求 √(a^2+1／a)+√(b^2+1／b) 的最小值

波斯猫猫

这道不等式小题，又难又简单
原创  想想想  MathScape  2025 年 10 月 22 日 07:12  安徽
(本论坛数学期刊luyuanhong，发表于 2025-10-24 01:34 )

若a＞0,b＞0,且a+b=1,则√(a^2+1/a)+√(b^2+1/b)的最小值为(   ).

波斯猫猫

a与b具有对称轮换性，故当a=b=1/2时取得最小值。
∴ √(a^2+1/a)+√(b^2+1/b)
=√[((1/2)^2+1/(1/2)]+√[((1/2)^2+1/(1/2)]=3.

这算不算证明？

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

luyuanhong

波斯猫猫 发表于 2025-10-25 07:50
a与b具有对称轮换性，故当a=b=1/2时取得最小值。
∴ √(a^2+1/a)+√(b^2+1/b)
=√[((1/2)^2+1/(1/2)]+√[ ...

题 f(a,b) 表达式中，a,b 的地位完全对称，问：是不是必定在 a=b 时取到最大值或最小值？

答 当 f(a,b) 中 a,b 的地位完全对称时，往往会在 a=b 时取到最大值或最小值。

   但是，这个结论并不一定成立。下面举一个反例：

   设 f(a,b) = (a-b)^4-2(a-b)^2 。

   因为 a-b 的偶数次方，与 b-a 的偶数次方相等，所以 f(a,b) 表达式中，a,b 地位是对称的。

   当 a=b 时，f(a,b) = (a-a)^4-2(a-a)^2 = 0^4-2×0^2 = 0 。

   问：0 是不是 f(a,b)= (a-b)^4-2(a-b)^2 的最大值或最小值？

   当 a=2 ，b=0 时，f(a,b) = (2-0)^4-2×(2-0)^2 = 16-8 = 8 ＞ 0 。

   可见 0 不是 f(a,b) = (a-b)^4-2(a-b)^2 的最大值。

   当 a=1 ，b=0 时，f(a,b) = (1-0)^4-2×(1-0)^2 = 1-2 = -1 ＜ 0 。

   可见 0 也不是 f(a,b)= (a-b)^4-2(a-b)^2 的最小值。