《真与美》：丘成桐自述证明 calabi 猜想的曲折而生动的过程

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《真与美》：丘成桐自述证明 calabi 猜想的曲折而生动的过程

原创  超级侧卫 6704  超级侧卫 6704  2025 年 10 月 21 日 00:10  广西

1 在高等研究院时，我探索了一个在伯格利时就感兴趣的问题。亦即卡拉比猜想。1954 年，卡拉比从几何的角度，严格地提出这个问题。他想知道，所谓的凯勒空间的体积，如何与同一空间内的路径长度或距离有关。

2 但我看出这个问题与爱因斯坦广义相对论的关联。就我所见，与卡拉比猜想等价的问题是：重力及非零曲率是否存在于真空（一个没有物质的空间）？这个问题让我劳碌多年。

3 ……斯坦福大学的会议，……会议期间有消息说，我可能找到了 Calabi 猜想的反例，意即我可以证明这个猜想是错的。某日晚餐后，我被要求就这个问题做个非正式的报告。演讲进展顺利，大多数人似乎确信我证明 Calabi 错了，Calabi 本人好象也支持我的论点。陈省身先生告诉我，我的演讲是整场会议最精彩的部分。因此我离开会场时不免洋洋自得。

4 但是好景不长，良好的感觉并没有持续多久。几个月后，我收到一封 Calabi 的来信，说他反思之后，发现我的演讲在某些方面令人费解。他问我可否把论证写在纸上，好让他更透彻地理解。

5 这是一个合理的要求，于是我开始专注进行，但工作并不顺遂。我一再试图证明他的猜想有反例，但每次尝试，我的论证都在最后一刻崩解。

6 我废寝忘食工作了两个星期，几乎无休无止，但始终无法证明我的主张。我心力交瘁，最后不得不承认自己错了。我下了结论，Calabi 猜想并没有错，它必然是正确的。我决心证明事实确实如此。

7 三年后（1976 年），我终于证明了 Calabi 猜想，当时我甫获加州大学洛杉矶分校一年教职，也才刚结婚一两周。由于我之前犯过错，这是想要全然确定自己是对的。我竭尽所能多次检查证明，反复核实，并尽力构想出多种不同的方式来查核。我的论证受得住每一次的检验。

8 1976 年 12 月的圣诞日，我与 Calabi 及纽约大学的数学家 Louis Nirenberg 会面，Nirenberg 和 Calabi 逐步检查证明，在他们当时看来，证明是完好的。如今 40 多年后，证明依然有效。

9 1977 年我发出一份关于证明的简短公告，并于翌年发表完整证明。很快就有几所大学想聘用我，我也终因这项工作荣获一些数学奖项。

10 然而，我仍不完全满意。Calabi 猜想与广义相对论的联系是我已知的。除此之外，我总觉得这项数学结果对物理学极为重要。这种感觉让我困扰。我不知道这个联结可能会以何种形式呈现，尽管我觉得它确实存在，将在某处找到。耗时八年后，物理学家在弦论上发现了连接 Calabi-Yau 定理的管道。这是我梦寐以求的结果，确实是值得等待。

引者注：以上引自《真与美——丘成桐的数学观》，丘成桐著，钟秀斌选编，江苏凤凰文艺出版社出版。

丘成桐证明卡拉比猜想，经历了那么大的反转，我以前是不知道的。初时他以为自己找到了这个猜想的反倒，还发表了公开演讲 ，很多人包括陈省身先生都给予了肯定。为这么一个著名的猜想画上句号，丘成桐不免心下得意。

不料，事情看起来很顺利时，往往还有曲折在等你。卡拉比本人不久就来信，阐述了他的疑惑，希望书面解释。丘成桐写着写着不对劲，最后发现反例不成立，反而确立了其猜想是正确的信念。因而集中精力，往证明这个猜想的方向去努力。

从 1973 年否定卡拉比猜想失败，到转而投入证明其成立，经过了三年，到 1976 年终于证明成功。有了上次提出反例失败的教训，这次的成功，他格外小心。自己反复检查，又请了卡拉比本人与其他数学家核实。这样万无一失之后，丘成桐在 1977 年发表了这个卡拉比猜想的证明，卡拉比猜想变成了卡拉比-丘流形。丘成桐也主要因这个证明荣获菲尔茨奖。

卡拉比是从几何角度提出他的猜想的，丘成桐不仅看到了几何，还看到了与广义相对论的联系。

当卡拉比猜想证明之后，丘成桐继续牵挂着这个流形的物理学应用。确实在后来的超弦理论中起到了重要作用，成为十维空间降至四维时其余六维的藏身之所，而这个决定着四维空间的标准模型现实，这使它成为超弦理论的 DNA 。

此外，我们由丘成桐证明卡拉比猜想的过程，体会到作数学、科学研究的艰难。当众宣布把一个著名猜想否定（有了反例），而后又发现错了，这是一个重大的打击。有些人可能从此一蹶不振，永远放弃。而丘成桐却愈挫愈勇，不屈不挠，终成大功。同时，这个过程中这个猜想的提出者卡拉比，也出力颇多。不仅察觉到丘成桐宣称找到反例时的问题，促使后者重新研究，找到错误之所在。而且在丘成桐反转证明了猜想后，参与了证明的核查工作，确定了证明的正确性。

刚刚去世的杨振宁先生，初到美国时，也是诸多学业不顺，尤其是搞了一年多的实验，不仅不成功，反而落了个“哪里有爆炸哪里就有杨振宁”的“大名”。不过他也“反转”了，他在泰勒的帮助下从实验物理转向理论物理，才一展所长，在物理学领域作出了永垂史册的贡献。

一个人找到自己才能方向，不折不挠地深入下去，这是我们从数学家、物理学家那里受到的启发。

超级侧卫 6704