凸五边形ABCD中,AB∥CE,BC∥AD,AC∥DE,∠ABC=120°,AB=3,BC=5,DE=15，求 [ABC]／[EBD]

wintex

請問數學

波斯猫猫

提示：考虑全等及相似那三个三角形，即可解决后一个三角形边15上的高。

王守恩

凸五边形ABCD中,AB∥CE,BC∥AD,AC∥DE,∠ABC=120°,AB=3,BC=5,DE=15, 求 [ABC]／[EBD]。

记AD,CE交点 = K。由AB∥CE, BC∥AD  =>ABCK 为平行四边形。

AB∥CE,  BC∥AD,  AC∥DE   =>ABCD, ABCE, ACDE 均为梯形。

\(\frac{[ABC]}{[EBD]}=\frac{[ABC]}{[ACDE]+[ABC]-2[ABC]}=\frac{[ABC]}{[ACDE]-[ABC]}=\frac{3*5}{(3+KE)(5+KD)-3*5}=\frac{3*5*7*7}{(3*7+3*15)(5*7+5*15)-3*5*7*7}=\frac{7*7}{(7+15)(7+15)-7*7}=\frac{49}{435}\)

[ABC] = [ABE] = [BCD]。条件 ∠ABC = 120° 可以去掉。

王守恩

楼上的搞复杂了！根据2#提示：设ABC的高=7h。   谢谢波斯猫猫！！！

\(\frac{[ABC]}{[EBD]}=\frac{AC*高}{ED*高}=\frac{7*7h}{15(15h+7h+7h)}=\frac{7*7h}{15*29h}=\frac{49}{435}\)

王守恩

好题！！！ 谢谢wintex！！ 往前走！来个笨方法。

[ABC] = [ABE] = [BCD] = [KAC]。

\(\frac{[ABC]}{[EBD]}=\frac{[ABC]}{[ACDE]+[ABC]-2[ABC]}=\frac{[KAC]}{[ACDE]-[KAC]}=\frac{[KAC]}{[KED]+[KAE]+[KCD]}=\frac{7*7h}{15*15h+7*15*h+7*15*h}=\frac{7*7h}{15*29h}=\frac{49}{435}\)

在ACDE中,  恒有[KAC]*[KED] = [KAE]*[KCD] = [KAE]*[KAE] = [KCD]*[KCD] 。