什么是傅里叶变换？一个数学工具如何改变了科学界

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什么是傅里叶变换？一个数学工具如何改变了科学界

原创  Shalma  Wegsman  梧桐阅览  2025 年 11 月 1 日 08:00  湖北

在革命时期法国的混乱中，一位男子的数学执念催生了一项计算，这项计算如今已成为数学和物理学的基石。这个计算被称为傅里叶变换，它能将任何函数分解为三角函数的一个组成部分。


傅里叶变换将函数分解成波状的构建块

当我们聆听一段音乐时，我们的耳朵正在进行一场计算。长笛的高亢颤动、小提琴的中音、低音提琴的低沉嗡鸣，这些声音以不同频率的压力波填满空气。当混合的声波穿过耳道，进入螺旋状的耳蜗时，不同长度的毛细胞会对不同音高产生共振，将这个杂乱的信号分解为一个个基本声音的“桶”。

直到 19 世纪，数学家才掌握了同样的计算。

19 世纪初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶发现了一种方法：他可以取任意一个函数，并将其分解为一组基本波，即频率。将这些构成频率重新加在一起，你就能得到原始函数。这项技术，如今被称为傅里叶变换，让这位曾是法国大革命狂热支持者的数学家，也引发了一场数学革命。

傅里叶变换催生了一整个数学领域，称为调和分析，研究函数的构成成分。很快，数学家们开始发现调和分析与数学和物理的其他领域之间的深刻联系，从数论到微分方程，再到量子力学。你也能在电脑里找到傅里叶变换的身影，它让你能压缩文件、增强音频信号等等。

“很难高估傅里叶分析在数学中的影响，”纽约大学和 Flatiron 研究所的莱斯利·格林加德（Leslie Greengard）说，“它几乎触及数学、物理、化学以及所有其他领域的每一个角落。”

激情的火焰

傅里叶于 1768 年出生于革命前法国的一片混乱之中。10 岁成为孤儿，他在家乡欧塞尔的一座修道院接受教育。接下来的十年里，他一直在纠结是将生命奉献给宗教还是数学，最终放弃了宗教训练，成了一名教师。他也积极支持法国的革命运动，直到 1794 年“恐怖统治”期间，这位 26 岁的青年因表达被视为“反革命”的观点而被捕入狱，原定送上断头台。


让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶在经历了法国大革命和拿破仑的一次战役之后，以如今被称为“傅里叶变换”的发现震撼了数学界。

处决尚未执行，“恐怖统治”便宣告终结。于是，1795 年，他重返数学教席。几年后，他被任命为拿破仑·波拿巴的科学顾问，并随军远征埃及。正是在那里，傅里叶在钻研埃及文物之余，开始了后来孕育出傅里叶变换的研究：他想弄懂热量如何在物体中传导。1801 年他启程返法——就在法军被逐出埃及、罗塞塔石即将被移交给英国之前——脑海里已容不下别的问题。

若将金属棒的一端加热，热量会扩散，直至整根棒温度均匀。傅里叶提出，棒内的温度分布可写成一系列简单波的叠加。随着金属冷却，这些波的能量逐渐耗散，波形趋于平缓，终至消失；振荡愈快（即能量愈高）的波先衰减，低频波随后。就像一部交响曲终章，从短笛到大号，每件乐器依次归于静默。

这一设想堪称激进。1807 年，傅里叶在巴黎研究院宣读论文时，著名数学家约瑟夫–路易·拉格朗日当场断言其“绝无可能”。最令同行困扰的是那些温度分布陡然突变的情形——比如半根棒冰冷、半根棒炽热的“尖锐”状态。傅里叶坚持，即使如此突兀的跳跃也能用数学描述：只需把无穷多条光滑曲线叠加，而非有限条。然而当时多数数学家认为，再多数目的光滑曲线也拼不出一个尖角。

今天我们知道，傅里叶大体是正确的。

“你可以把任何东西都表示成这些极其简单的振荡之和。”普林斯顿大学数学家查尔斯·费弗曼说，“只要调音叉足够多、调得够准，它们就能奏出《贝多芬第九交响曲》。” 只有在面对最怪诞、无论怎么放大都疯狂振荡的函数时，这一方法才会失效。

那么，傅里叶变换究竟如何运作？

训练有素的耳朵

做一次傅里叶变换，就像轻嗅香水便能列出其成分，或听到复杂的爵士和弦就能分辨出每个音符。

从数学上讲，傅里叶变换本身就是一个函数。它把一个可能看起来十分复杂的函数当作输入，输出则是一组频率。把这些频率对应的正弦波与余弦波写下来并叠加，你就能还原出原来的函数。



为了实现这一点，傅里叶变换本质上会“扫描”所有可能的频率，并确定每一种频率对原始函数的贡献程度。我们来看一个简单的例子。

考虑如下函数：



傅里叶变换会检查每个频率对原始函数的贡献大小，方法是将原始函数与各频率的正弦波相乘。下面展示的是将原始函数与频率为 3 的正弦波相乘后的结果：



图中出现了许多高峰，这意味着频率为 3 的成分确实存在于原始函数中。这些峰的平均高度揭示了该频率贡献的大小。

现在我们再来检验频率为 5 的成分是否存在。下面是将原始函数与频率为 5 的正弦波相乘后得到的结果：



虽然也存在一些高峰，但同样伴随着深谷。新的图形整体平均下来接近于零，这表明频率为 5 的成分对原始函数没有贡献。

傅里叶变换会对所有可能的频率重复这一过程，将原始函数分别与正弦波和余弦波相乘。（实际上，它是在复平面上利用实数和虚数的组合来完成这一比较的。）

通过这种方式，傅里叶变换能将一个看似复杂的函数拆解为仅仅几个数字。这使得它成为数学家手中的关键工具：如果遇到难题，他们可以尝试对其进行变换。通常，当问题被“翻译”成频率的语言后，会变得简单得多。

如果原始函数带有尖锐边缘，比如下面的方波（在数字信号中很常见），傅里叶变换会生成一组无限多的频率；把它们全部叠加起来，就能尽可能精确地逼近那条边缘。这组无限项称为傅里叶级数——尽管早期数学家曾对其存在心存疑虑，如今它已成为函数分析中不可或缺的工具。



再来一点

傅里叶变换同样适用于更高维度的对象，比如图像。你可以把灰度图像想象成一个二维函数，它告诉你每个像素的亮度。傅里叶变换将这个函数分解为一组二维频率。由这些频率定义的正弦波和余弦波形成了不同方向的条纹图案。这些图案——以及它们简单的组合，类似于棋盘格——可以叠加起来重新构建出任何图像。

例如，任何 8×8 的图像都可以由下面的 64 种基本图案组合而成。随后，压缩算法可以移除高频信息，这对应于图像中的微小细节，而不会显著改变人眼看到的图像效果。这就是 JPEG 图像将复杂图像压缩成更小数据量的方式。



在 20 世纪 60 年代，数学家詹姆斯·库利和约翰·图基提出了一种能够更快速执行傅里叶变换的算法——恰如其分地被称为快速傅里叶变换。从那以后，只要有信号需要处理，傅里叶变换几乎都被实现了。“它已经成为日常生活的一部分了。”格林加德说。

它被用于研究潮汐、探测引力波，以及开发雷达和磁共振成像技术。它使我们能够在嘈杂的音频文件中降低噪音，以及压缩和存储各种数据。在量子力学——微观世界的物理学——中，它甚至为不确定性原理提供了数学基础，该原理指出，不可能同时精确地知晓一个粒子的位置和动量。你可以写出一个描述粒子可能位置的函数；该函数的傅里叶变换将描述粒子可能的动量。当你的函数能够以高概率告诉你粒子将处于什么位置时——在函数的图像中表现为一个尖锐的峰值——傅里叶变换将非常分散。将无法确定粒子的动量应该是多少。反之亦然。

傅里叶变换的根基也深深扎入了纯粹数学研究的各个领域。调和分析——研究傅里叶变换以及如何将其逆转以重建原始函数——是研究波的强大框架。数学家们还发现，调和分析与数论有着深刻且出人意料的联系。他们利用这些联系探索整数之间的关系，包括素数的分布，这是数学中最大的谜团之一。

“如果人们不知道傅里叶变换，我不知道那时会有百分之多少的数学消失。”费弗曼说，“但那将是一个很大的百分比。”

原编者注：Flatiron 研究所由 Simons 基金会资助，该基金会也资助了这本在编辑上独立的杂志。Simons 基金会的资助决定不会影响我们的报道。

中文编辑翻译校对：酉木木

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