用巧妙的配方法，求奇妙的雷劈数

刘付来

一；引言
印度数学家卡普列加在一次旅途中，看到路边的一块里程碑被雷电劈成两截，一半写着30.另一半写着25.他发现这几个数字之间的奇妙关系；
30+25=55，而\(55^2=3025\).把一个整数劈成两个数，把这两个数加起来再平方恰好是原来的数。这样的数被命名为卡普列加数，也叫雷劈数。
自从雷劈数被发现后，数学爱好者用各种方法寻找雷劈数，但至今还没有用公式求雷劈数的。我这里用巧妙的配方法求雷劈数，可以推导出一系列求雷劈数的公式，也可以轻松的逐个求雷劈数。例如求雷劈数的公式;\(\begin{cases}
Q_1=\left( \frac{10^{2k}+10^k}{2}\right)^2\\
Q_2=\left( \frac{10^{2k}-10^k}{2}\right)^2
\end{cases}\ \ \ \ 当\ \ k=0{,}1{,}2{,}3......\ \ \ \)所求的雷劈数是；\(55^2\ \ \ 和45^2；5050^2\ \ 和4950^2；500500^2\ \ 和499500^2......\)
再例如；\(\begin{cases}
Q_1=\left( \frac{5\times10^{2+9k}-5}{9}\right)^2\\
Q_2=\left( \frac{4\times10^{2+9k}+5}{9}\right)^2
\end{cases}\ \ \ \ 当k=0{,}1{,}2{,}3......\ \ \ 时\)所求的雷劈数是；\(55^2\ 和45^2；55555555555^2\ 和44444444445^2；55555555555555555555^2\ 和44444444444444444445^2......\)在例如；\(\begin{cases}
\ Q_1=\left( \frac{6\times10^{2+22k}+5}{11}\right)^2\\
Q_2=\left( \frac{5\times10^{2+2k}-5}{11}\right)^2
\end{cases}\ \ \ \ 当k=0{,}1{,}2{,}3......\)时，所求得的雷劈数是；\(55^2\ 和45^2；545454545454545454545455^2\ \ 和454545454545454545454545^2；5454545454545454545454545454545454545454545455^{2\ }和4545454545454545454545454545454545454545454545^2......\)这些公式是如何推导出来的呢，下次解。
Q_1=\left( \frac{10^{2k}+10^k}{2}\right)^2\\
Q_2=\left( \frac{10^{2k}-10^k}{2}\right)^2
\end{cases}\)