欧拉的真面目：是严谨的宗师，还是直觉的赌徒？

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欧拉的真面目：是严谨的宗师，还是直觉的赌徒？

原创  南方 Er  南方 Er  2025 年 11 月 4 日 12:05  广东

在数学的神殿里，数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）被塑造成一尊完美的神像。拉普拉斯的赞叹“读读欧拉吧，他是我们所有人的老师”回荡在数学殿堂中，而欧拉确实配得上这样的赞誉——这位 18 世纪的数学巨匠在 76 年的人生中写下了整整 74 卷著作，共计 866 种作品，平均每年产出 800 多页论文，堪称数学史上最多产的学者。



但如果我们拂去历史的尘埃，凑近端详这位宗师的笔迹，会惊讶地发现一个截然不同的形象：他并非总是那个步步为营的逻辑巨匠，更像是一个凭借超凡直觉在未知领域大胆下注的赌徒。


莱昂哈德·欧拉

01 天才的崛起：从巴塞尔到圣彼得堡

欧拉的数学天赋很早就显露无疑。这个出生于瑞士巴塞尔牧师家庭的少年，13 岁入读巴塞尔大学，15 岁大学毕业，16 岁获得硕士学位。尽管父亲希望他成为牧师，但数学的召唤不可抗拒——在约翰·伯努利的悉心指导下，年轻的欧拉迅速成长。


约翰·伯努利

19 岁时，欧拉达成了第一个数学成就：他从理论上分析了船桅的理想放置方式，在法兰西科学院赞助的竞赛中获得二等奖。这一壮举对从未亲眼见过海上船只的瑞士年轻人而言堪称奇迹。此时的他或许还未意识到，自己的人生将与三位欧洲"大"统治者——彼得大帝、腓特烈大帝和叶卡捷琳娜大帝——紧密相连。

命运的转折出现在 1726 年。在丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉收到了圣彼得堡科学院的邀请。他于 1727 年春天动身，历经七周的艰苦跋涉。然而，就在他抵达圣彼得堡的那一天（1727 年 5 月 17 日），女皇叶卡捷琳娜一世去世了，科学院的命运瞬间悬而未决。 尽管最初被聘用在生理学部门，但欧拉最终如愿进入了数学-物理部门，开启了辉煌的科学生涯。

02 赌徒的惊世之举：当直觉开辟疆土



在圣彼得堡，欧拉的赌徒本色开始显现。面对哥尼斯堡七桥问题，他做了一件离经叛道的事：抛弃桥梁的具体形态，将其抽象为简单的点与线。这一举动开创了图论这一数学新分支，他押注于一种全新的数学抽象方法，坚信现实世界的结构可以被数学所捕捉。



同样大胆的是他对多面体公式的探索。他发现的 V-E+F=2 这一简洁公式，被数学家们票选为“所有数学领域中第二优美的定理”。从足球到宝石，从穹顶建筑到林区面积估算，这个公式展现出惊人的普适性。

但欧拉最引人争议的赌博，发生在他对无穷级数的操作上。他大胆地将多项式的因式分解定理应用到正弦函数这样的超越函数上，这一跨越在当时的数学框架下完全缺乏严格基础。他的赌注，押的是一种关于数学世界内在和谐性的信念。



03 争议的巅峰：欧拉公式的欺诈疑云

然而，在欧拉所有的工作中，没有哪个比欧拉公式 e^(iπ) = -1 引发更多争议的了。这个被无数人赞颂为上帝公式的等式，在某些批评者眼中，却是欧拉学术欺诈的铁证。



批评者的矛头直指欧拉的推导过程：在对泰勒展开式进行指数换元时，欧拉用 ix 代换 x ，将 e^x 的展开式变为 e^(ix) 的展开式。质疑者认为，这是“全等式指数不能换元”的违规操作。

更让批评者愤慨的是欧拉推导中的前提设定。他在构建 e^(ix) 的泰勒展开式并与三角函数展开式匹配时，其整个推导框架都建立在弧度制之上。在质疑者看来，这种设定并非不言自明，而是为了得到预期结果而进行的精巧设计。他们将此视为一种对数学基础的自由操作，在严谨派眼中，这近乎对数学神圣性的亵渎。

04 宗师的辩护：在直觉与严谨之间

面对如此尖锐的批评，我们该如何看待欧拉的贡献？这实际上反映了数学发展过程中一个根本性的冲突：严格证明与直觉洞察之间的永恒博弈。

欧拉的支持者认为，批评者犯了时代错位的谬误。18 世纪的数学尚在蓬勃发展期，许多基本概念和严格标准尚未确立。欧拉的工作方式正是那个时代的缩影——先通过直觉发现数学真理，再逐步完善证明。

更重要的是，欧拉的直觉赌博有着惊人的胜率。他的那些基于直觉的猜测，绝大多数都被后世证明是正确的。e^(iθ) = cosθ + isinθ 虽然在欧拉的时代缺乏严格基础，但在现代复分析中已经获得了坚实的理论基础。



05 颠沛中的坚持：从俄国到普鲁士再回归

欧拉的科学生涯充满颠沛。在俄国政局动荡时期，他受腓特烈大帝邀请前往柏林。然而，这位普鲁士君主对数学的厌恶和对欧拉虔诚信仰的不屑，使他们在柏林的日子充满摩擦。腓特烈把欧拉称为"数学独眼巨人"，粗鲁地暗示着他视力受损的事实。



尽管个人关系紧张，欧拉在柏林的 24 年间发表了超过 200 部作品，被选为英国皇家学会成员，并成为巴黎科学院的外国成员。他同时为普鲁士服务，参与国家造币厂的铸币、运河选址、养老金的创立和火炮的改进。

1766 年，欧拉受够了腓特烈的敌意，决定重返圣彼得堡。叶卡捷琳娜二世热情欢迎他的回归，满足了他所有的要求。回到俄国后，即使 1771 年的一场大火烧毁了他的房子，即使双目完全失明，他证明了自己“回俄国不是为了养老，恰恰相反，他的科学产出能力仍在巅峰”。

06 黑暗中的光芒——失明后的奇迹

欧拉的独特之处在于，即使面对重重困难，他从未停止探索。1738 年，他因连续工作病倒，右眼视力衰退并最终失明。对此，他以一贯的谦逊评论道：“这下子能让我分心的事就更少了。”

1766 年重返圣彼得堡后，欧拉的右眼早已失明，左眼也因白内障濒临失明。1771 年的大火彻底摧毁了他的视力，却意外开启了一个传奇时代。在完全失明的 17 年里，他凭借惊人的记忆力和心算能力，口述了超过 300 篇论文和一部完整的《月球运动理论》。

他的助手回忆道："欧拉能在脑海中同时处理多个复杂计算，仿佛有无数个黑板在脑中翻飞。“这种黑暗中的创造力”甚至超越了他的巅峰期。例如，他在失明后对刚体动力学的研究，提出了著名的欧拉角和欧拉方程，奠定了现代航天器姿态控制的理论基础。



07 数学史的审判：争议的遗产

欧拉的争议性不仅存在于他生前，更延续至后世的数学史叙事中。19 世纪数学的严格化浪潮中，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家以分析算术化重塑数学基础，欧拉的许多推导被视为不严谨的典型。例如，他对发散级数的操作在现代视角下缺乏收敛性论证，却在工程和物理问题中屡试不爽。这种实用主义与 19 世纪的形式主义形成尖锐对立。

然而，20 世纪数学的发展再次证明了欧拉的远见。当黎曼 ζ 函数的解析延拓、非标准分析、以及量子场论中的重整化技术出现时，数学家们发现欧拉的直觉赌博竟暗合了更高层次的数学结构。例如，他在 1749 年对正弦函数的因式分解被后人证明与复变函数的魏尔斯特拉斯因子分解定理完全一致。这种跨越时空的呼应，让争议逐渐转向对欧拉数学嗅觉的惊叹。



08 信仰与理性的交响：欧拉的精神底色

欧拉的直觉并非凭空臆测，而是建立在深厚的信仰与理性训练之上。他生活在启蒙时代的宗教氛围中，却以科学理性重新诠释神学。他曾写道："数学是神的语言，通过它，我们能理解宇宙的秩序。"这种信念使他敢于在未被证实的领域冒险——他坚信数学的和谐性必然存在于自然规律中。

有趣的是，欧拉的虔诚与腓特烈大帝的无神论形成鲜明对比。据传，腓特烈曾嘲讽欧拉的宗教辩论：“您用数学证明上帝存在，不如用数学解决我的运河问题！”但欧拉从未因此动摇，他的信仰与数学探索始终是同一枚硬币的两面：前者为后者提供终极意义，后者为前者赋予理性表达。



09 终章：在悖论中永恒

欧拉的一生，是数学史上一场关于可能性的实验。他既非纯粹的逻辑主义者，也非毫无约束的直觉主义者，而是在两极之间找到了动态平衡：

    严谨性体现在他对问题的系统性研究、对结果的反复验证，以及对后学的清晰表述（如《无穷小分析引论》重构了分析学体系）；

    直觉性则表现为他对非严格方法的灵活运用、对跨领域问题的抽象能力，以及对数学本质的信仰驱动。



他的遗产不仅是 74 卷著作，更是一种方法论启示：在数学的疆域中，直觉是开拓者的罗盘，严谨是拓荒者的犁铧。正如他在失明后仍能“看见”数学的深层结构，今天的数学家也需要在算法验证与理论创新、在计算工具与创造性思维之间，延续这种张力。

欧拉直到生命的最后一天仍在工作。1783 年 9 月 18 日，他先是计算了热气球上升的运动规律，与家人共进晚餐，谈论刚被发现的天王星轨道计算，然后和小孙女玩耍，在弯腰捡烟斗时，再也没有起来，“他停止了计算和生命”。

最终答案或许并不重要——欧拉究竟是宗师还是赌徒？历史早已给出超越二元对立的答案：他既是，也不是。他是用严谨的砖石搭建数学神殿的工匠，也是在未知深渊中纵身一跃的诗人。而正是这种矛盾的统一，让他的名字在 300 年后依然闪耀，如同他笔下的那个公式：e^(iπ) + 1 = 0 ，简洁、深邃，永远在邀请后来者追问：真理，究竟诞生于逻辑的必然，还是创造的偶然？



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