为什么这里洛必达的结果不对？

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为什么这里洛必达的结果不对？

原创  小陈同学  好望角杂记  2025 年 11 月 6 日 23:21  北京

先放一张图，大家认为这个对不对呢？



仔细想一想吧。结果是不对。

想一想洛必达的条件：

1。 x 趋于 0 时，分子分母趋于 0 ，且存在 0 的去心邻域，使分母取不到 0 。

2。 存在一个 0 的去心邻域，分子分母均可导。

确实都满足啊。

不过如果你做一个变换，很容易发现，这个极限的值其实就是 0 。



那么问题究竟出在哪里了？

其实这是洛必达的一个比较有趣的点：一个 0/0 型的极限存在，是它的分子分母求导后极限存在的必要条件，但不是充分条件。

换句话说，如果原极限存在，分子分母求导之后的极限是不一定存在的。

你可以从证明方式上看出这一点：我们用柯西中值定理证明洛必达法则，是先中值，后取极限。那么，如果求导部分极限不存在，洛必达就不一定成立。

好望角笔记

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洛必达法则及其证明

来源  lzc 的碎碎念 2025 年 01 月 08 日 09:15 湖南

洛必达法则内容



洛必达法则推论



注意事项及错误案例



参考文献

杨雄,周立芬.洛必达法则证明及其应用探讨[J].焦作师范高等专科学校学报,2024,40(04):71-76.

陈禧杰.探究Taylor公式视角下的偏移问题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2021,(15):45-47

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