令人费解的一些关系式

yangchuanju

素数方面
1、素数无穷多；
2、正整数n内素数个数约等于n/ln(n)；
3、正整数n内素数的平均分率等于1/ln(n)；
4、当正整数n趋近于无穷大时，素数分率趋近于0；
5、素数间距最小是1，最大是无穷大，平均间距等于ln(n)；
6、当n连续增大时，素数越来越稀少，但当n非常大以及趋近于无穷大时，仍会有较多的素数密集在一起形成孪生素数、最密三生素数、最密四生素数等；
7、当n连续增大并趋近于无穷大时，n-2n间的素数个数约等于n内素数个数；
8、当n连续增大并趋近于无穷大时，10^(n+1)内素数个数与10^n内素数个数之比逐渐向10靠近并趋近于10。

n内素数个数约等于n/ln(n)，n-2n间素数个数约等于2n/ln(2n)-n/ln(n)=[2n*ln(2n)-n*ln(n)]/[ln(n)*ln(2n)]=[n*ln(n)+2n*0.693]/[ln(n)*(ln(n)+0.693)]；式中ln(2)=0.693；
当n趋近于无穷大时，ln(n)>>0.693，n*ln(n)>>2n*0.693，2n/ln(2n)-n/ln(n)≈[n*ln(n)]/[ln(n)*(ln(n)]=n/ln(n)，亦即整数n-2n间素数个数约等于n内素数个数。

类似的，n内素数个数约等于n/ln(n)，10n间素数个数约等于10n/ln(10n)=10n/[ln(n)+2.303]；式中ln(10)=2.303；
当n趋近于无穷大时，ln(n)>>2.303，10n/ln(10n)/[n/ln(n)]=10n/[ln(n)+2.303]/[n/ln(n)]≈10，亦即整数n翻10倍素数个数也翻10倍。

yangchuanju

孪生素数方面
1、孪生素数无穷多；
2、正整数n内孪生素数个数约等于1.32n/ln(n)^2；
3、正整数n内孪生素数的平均分率等于1.32/ln(n)^2；
4、当正整数n趋近于无穷大时，孪生素数分率趋近于0；
5、孪生素数间距最小是2，一般是6k，最大是无穷大，平均间距等于ln(n)^2/1.32=0.758*ln(n)^2；
6、当n连续增大时，孪生素数越来越稀少，但当n非常大以及趋近于无穷大时，仍会有较多的孪生素数簇（读cu 4声，英文Twin Prime Cluster）密集在一起形成2簇孪生素数、3簇生素数、……11簇孪生素数、……无穷多簇孪生素数；
7、当n连续增大并趋近于无穷大时，n-2n间的孪生素数个数约等于n内孪生素数个数；
8、当n连续增大并趋近于无穷大时，10^(n+1)内孪生素数个数与10^n内孪生素数个数之比逐渐向10靠近并趋近于10。

n内孪生素数个数约等于1.32n/ln(n)^2，n-2n间孪生素数个数约等于2.64n/ln(2n)^2-1.32n/ln(n)^2=[2.64n*ln(2n)^2-1.32n*ln(n)^2]/[ln(n)^2*ln(2n)^2]=1.32*[n*ln(n)^2+4n*ln(n)*0.693+2n*0.693^2+2.64n*0.693]/[ln(n)*(ln(n)+0.693)]；式中ln(2)=0.693；
当n趋近于无穷大时，ln(n)>>0.693，n*ln(n)^2>>4n*ln(n)*0.693+2n*0.693^2+2.64n*0.693，1.32n/ln(2n)-n/ln(n)≈1.32[n*ln(n)]/[ln(n)*(ln(n)]=1.32n/ln(n)，亦即整数n-2n间孪生素数个数约等于n内孪生素数个数。

类似的，n内孪生素数个数约等于1.32n/ln(n)^2，10n间孪生素数个数约等于1.32*10n/ln(10n)^2=1.32*10n/[ln(n)+2.303]^2；式中ln(10)=2.303；
当n趋近于无穷大时，ln(n)^2>>2.303，ln(n)^2>>2*2.303*ln(n)+2.303^2，1.32*10n/ln(10n^2)/[1.32*n/ln(n)^2]=10n/ln(10n)^2/[n/ln(n)^2]=10n/[ln(n)^2+2*2.303*ln(n)+2.303^2]/[n/ln(n)^2]≈10，亦即整数n翻10倍孪生素数个数也翻10倍。

yangchuanju

n内素数个数及相关比                                               
n        n/ln(n)        2n/ln(2n)-n/ln(n)        (n-2n)/n        10n/n        n内素数个数        素数定理比实际
10        4.342944819        2.333219195        0.5372         ——        4        1.0857
100        21.7147241        16.03310907        0.7384         5.0000         25        0.8686
1000        144.7648273        118.3618225        0.8176         6.6667         168        0.8617
10000        1085.736205        933.7543933        0.8600         7.5000         1229        0.8834
100000        8685.889638        7699.39708        0.8864         8.0000         9592        0.9055
1000000        72382.41365        65466.31337        0.9045         8.3333         78498        0.9221
10000000        620420.6884        569259.3489        0.9175         8.5714         664579        0.9336
100000000        5428681.024        5034947.758        0.9275         8.7500         5761455        0.9422
1000000000        48254942.43        45131377.6        0.9353         8.8889         50847534        0.9490
10000000000        434294481.9        408911454        0.9416         9.0000         455052511        0.9544
1E+11        3948131654        3737795772        0.9467         9.0909         4118054813        0.9587
1E+12        36191206825        34419869167        0.9511         9.1667         37607912018        0.9623
1E+13        3.34073E+11        3.18951E+11        0.9547         9.2308         3.46066E+11        0.9653
1E+14        3.1021E+12        2.97151E+12        0.9579         9.2857         3.20494E+12        0.9679
1E+15        2.8953E+13        2.78137E+13        0.9607         9.3333         2.98446E+13        0.9701
1E+16        2.71434E+14        2.61409E+14        0.9631         9.3750         2.79238E+14        0.9721
1E+17        2.55467E+15        2.46577E+15        0.9652         9.4118         2.62356E+15        0.9737
1E+18        2.41275E+16        2.33337E+16        0.9671         9.4444         2.474E+16        0.9752
1E+19        2.28576E+17        2.21446E+17        0.9688         9.4737         2.34058E+17        0.9766
1E+20        2.17147E+18        2.10707E+18        0.9703         9.5000         2.22082E+18        0.9778
1E+21        2.06807E+19        2.00962E+19        0.9717         9.5238         2.11273E+19        0.9789
1E+22        1.97407E+20        1.92077E+20        0.9730         9.5455         2.01467E+20        0.9798
1E+23        1.88824E+21        1.83945E+21        0.9742         9.5652         1.92532E+21        0.9807
1E+24        1.80956E+22        1.76473E+22        0.9752         9.5833         1.84356E+22        0.9816
1E+25        1.73718E+23        1.69584E+23        0.9762         9.6000         1.76846E+23        0.9823
1E+26        1.67036E+24        1.63213E+24        0.9771         9.6154         1.69925E+24        0.9830
1E+27        1.6085E+25        1.57303E+25        0.9779         9.6296         1.63525E+25        0.9836
1E+28        1.55105E+26        1.51806E+26        0.9787         9.6429         1.57589E+26        0.9842
1E+29        1.49757E+27        1.4668E+27        0.9795         9.6552         1.5207E+27        0.9848
1E+30        1.44765E+28        1.41888E+28        0.9801         9.6667         ——        ——

yangchuanju

n内孪生素数个数及相关比                                               
n        1.32n/ln(n)^2        n-2n间孪生素数        (n-2n)/n        10n/n        n内孪生素数个数        哈李公式比实际
10        2.489674401        0.452022552        0.1816         ——        2        1.2448
100        6.224186001        3.180146795        0.5109         2.5000         8        0.7780
1000        27.6630489        18.03246945        0.6519         4.4444         35        0.7904
10000        155.60465        113.5659401        0.7298         5.6250         205        0.7590
100000        995.8697602        776.0825373        0.7793         6.4000         1224        0.8136
1000000        6915.762224        5625.736993        0.8135         6.9444         8169        0.8466
10000000        50809.68164        42602.66538        0.8385         7.3469         58980        0.8615
100000000        389011.6251        333606.055        0.8576         7.6563         440312        0.8835
1000000000        3073672.099        2682191.048        0.8726         7.9012         3424506        0.8976
10000000000        24896744.01        22029008.51        0.8848         8.1000         27412679        0.9082
1E+11        205758214.9        184126755.7        0.8949         8.2645         224376048        0.9170
1E+12        1728940556        1561769319        0.9033         8.4028         1870585220        0.9243
1E+13        14731801187        13413247468        0.9105         8.5207         15834664872        0.9304
1E+14        1.27024E+11        1.16442E+11        0.9167         8.6224         1.3578E+11        0.9355
1E+15        1.10652E+12        1.0203E+12        0.9221         8.7111         1.17721E+12        0.9400
1E+16        9.72529E+12        9.01354E+12        0.9268         8.7891         1.03042E+13        0.9438
1E+17        8.61479E+13        8.02043E+13        0.9310         8.8581         9.09488E+13        0.9472
1E+18        7.68418E+14        7.18276E+14        0.9347         8.9198         8.08676E+14        0.9502
1E+19        6.8966E+15        6.46971E+15        0.9381         8.9751         ——        ——
1E+20        6.22419E+16        5.85775E+16        0.9411         9.0250         ——        ——
1E+21        5.64552E+17        5.32864E+17        0.9439         9.0703         ——        ——
1E+22        5.14396E+18        4.86809E+18        0.9464         9.1116         ——        ——
1E+23        4.70638E+19        4.46474E+19        0.9487         9.1493         ——        ——
1E+24        4.32235E+20        4.1095E+20        0.9508         9.1840         ——        ——
1E+25        3.98348E+21        3.79503E+21        0.9527         9.2160         ——        ——
1E+26        3.68295E+22        3.5153E+22        0.9545         9.2456         ——        ——
1E+27        3.41519E+23        3.26539E+23        0.9561         9.2730         ——        ——
1E+28        3.17561E+24        3.04121E+24        0.9577         9.2985         ——        ——
1E+29        2.96037E+25        2.83934E+25        0.9591         9.3222         ——        ——
1E+30        2.7663E+26        2.65692E+26        0.9605         9.3444         ——        ——

yangchuanju

A006880        A007508
Number of primes < 10^n.       
0 0        Number of twin prime pairs below 10^n.
1 4        1 2
2 25        2 8
3 168        3 35
4 1229        4 205
5 9592        5 1224
6 78498        6 8169
7 664579        7 58980
8 5761455        8 440312
9 50847534        9 3424506
10 455052511        10 27412679
11 4118054813        11 224376048
12 37607912018        12 1870585220
13 346065536839        13 15834664872
14 3204941750802        14 135780321665
15 29844570422669        15 1177209242304
16 279238341033925        16 10304195697298
17 2623557157654233        17 90948839353159
18 24739954287740860        18 808675888577436
19 234057667276344607       
20 2220819602560918840       
21 21127269486018731928       
22 201467286689315906290       
23 1925320391606803968923       
24 18435599767349200867866       
25 176846309399143769411680       
26 1699246750872437141327603       
27 16352460426841680446427399       
28 157589269275973410412739598       
29 1520698109714272166094258063       

cuikun-186

杨老师好，好久不见！
关于π(10^(n+1))/π(10^n)~10早已有崔坤证明了的定理：
那就是源于：π(N^(x+1))/π(N^x)~N，偶数N≥6，自然x≥1
更一般的还有：
【1】奇素数对个数：r2(N^(x+1))/r2(N^x)～N
【2】奇合数对个数：C(N^(x+1)/C(N^x)~N
这些定理发布的信息见中科院智慧火花栏目（2018年10月16日奇合数对个数密度定理）

白新岭

认为这些结果是对的，说明已经理解了。
难理解，不等于不理解。

wangyangke

2、正整数n内孪生素数个数约等于1.32n/ln(n)^2；
3、正整数n内孪生素数的平均分率等于1.32/ln(n)^2；     等等中的ln(n)^2书写错误，应为(lnn)^2

wangyangke

那就按你说的：“写成(in(n))^2无可非议，写成(lnn)^2，Excel不认识；对于“ln(n)^2”Excel是完全认识和正确计算的。  ”如何？

wangyangke

素数定理和强孪生素数猜想，其本是简洁明朗的；yangchuanju弄一弄，再冠以个令人费解的一些关系式 ，成就了yangchuanju哟，，，祝贺祝贺，，，