对“古希腊人证明了无理数的存在”的8点质疑

yangls728

对“古希腊人证明了无理数的存在”的8点质疑
杨六省
yangls728@163.com
丘成桐先生在他的《数学史大纲》的开头写道：在古希腊学者中，毕达哥拉斯学派利用反证法，他们也证明了无理数的存在。
《古今数学思想》第1册第37-38页写道：“√2与1不能公度的证明是Pythagoras派给出的. 据Aristotle说，他们用的是归谬法——即间接证法. 这个证明指出，若设斜边能与一直角边公度，则同一个数将又是奇数又是偶数. 证明过程如下：设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为 α:β 并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据Pythagoras定理得α2=2β2。由于α2为偶数，α必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比 α:β是既约的，因此β必然是奇数。α既是偶数，故可设α=2γ。于是α2=4γ2=2β2。因此β2=2γ2，这样β2是个偶数。于是β也是偶数。但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。”
笔者对上述证明的有效性提出如下8点质疑：
（1）表达式√2=α:β（α，β均为整数）涉及的是有理数与无理数之间的矛盾，即“√2=α:β”中的α和β能否都是整数，而表达式√2=α:β（α:β是既约的）涉及的是有理数系统内部的矛盾，即“√2=α:β”中的α:β能否是既约的。因此，把“√2不是有理数”的反论题（即√2=α:β（α，β均为整数））写成√2=α:β（α:β是既约的），就是人为的把有理数与无理数之间的矛盾变成了有理数系统内部的矛盾，这就如同想用国内法来裁定移民资格一样的不合理。总之，把“√2不是有理数”的反论题写成√2=α:β（α:β是既约的）是个根本性、方向性的错误。
（2）√2不是有理数的反论题（即√2=α:β（α，β均为整数））不能写成√2=α:β（α:β是既约的），理由是“如果论证的前提不真，那么就不能确立其结论的真”。（欧文·M·柯匹、卡尔·科恩.逻辑学导论（第11版）[M].张建军，潘天群译.北京：中国人民大学出版社，2007年：161.）
说明：笔者关于√2不是有理数的证明独立于其他的证明，所以，笔者在评论其他证明时有理由把“√2不是有理数”作为论据加以应用。
（3）我们先应用反证法证明√2=α:β（α:β是既约的）无真假：假设√2=α:β（α:β是既约的）为真，则√2=α:β（α，β均为整数）为真，与√2=α:β（α，β均为整数）为假矛盾；假设√2=α:β（α:β是既约的）为假，即√2=α:β（α:β是非既约的）为真，则√2=α:β（α，β均为整数）为真，同样与√2=α:β（α，β均为整数）为假矛盾，故√2=α:β（α:β是既约的）既不能为真也不能为假。原论题与反论题必须是一真一假的矛盾关系。既然√2=α:β（α:β是既约的）无真假，所以，它不是“√2不是有理数”的反论题，也就是说，不能用√2=α:β（α:β是既约的）代替√2=α:β（α，β均为整数），所以，毕达哥拉斯学派把“√2不是有理数”的反论题表成√2=α:β（α:β是既约的）是错误的。
（4）如果毕达哥拉斯学派认为，√2不是有理数的反论题-√2=α:β（α，β均为整数）可表成√2=α:β（α:β是既约的），理由是任何分数都可以化成既约分数，那么，以同样的理由，√2=α:β（α，β均为整数）也可表成√2=α:β（α:β是非既约的），因为任何分数都可以化成非既约分数。但是，毕达哥拉斯学派为什么偏偏要选择前者而不是后者呢？事实上，这个问题没有答案，因为√2=α:β（α:β是非既约的）和√2=α:β（α:β是既约的）同样无真假、无意义。
（5）可以断定，毕达哥拉斯学派在推理中首先应用了β是整数这个假设，否则，例如，当β=1/2时，“α2=2β2=1/2”就不是偶数。关于“由于α2为偶数，α必然也是偶数”的推理是随后出现的。如果引号中的推理是合理的，再加上此前β是整数的假设，这就是说，对于√2=α:β，假设β是整数，则α是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2可表成两整数之比，但这与我们已知“√2不是有理数”相矛盾，故引号中的推理是不成立的。
（6）不难知道，毕达哥拉斯学派是在“α是整数”的前提下，由α2是偶数推出了α是偶数。但是，根据人们知道的“√2不是有理数”，考虑到此前在推理中已经应用了β是整数这一假设，所以，α不可能也是整数。因此，在“α是整数”这一虚假前提下推出的“α是偶数”之结论是不能够被认可的。
（7）毕达哥拉斯学派若是想证明√2=α:β中的α和β不都是整数，没有必要把“√2不是有理数”的反论题写成√2=α:β（α:β是既约的），事实上这样做也是错误的（理由见上文）；若是想证明√2=α:β（α:β是既约的）中的“α:β是既约的”是虚假的，已经推出α和β都是偶数（姑且不论这种推理是否有效）就可以达到目的，何须再推导β既是奇数又是偶数？
（8）论证的前半部分依据“α:β是既约的”的假设条件，由α是偶数（姑且不论这种推理是否有效）推出了β必然是奇数。但是，后面又放弃了依据“α:β是既约的”这一假设条件进行推理，否则，基于α是偶数，就不可能再推出β也是偶数的结论。在同一推理过程中，既依据“α:β是既约的”这一假设条件进行推理，又违反“α:β是既约的”这一假设条件进行推理，这种违反一致性原则的论证是不能被认可的。