正三角形在平面 α 上的正射影成边长为 2,3,2√3 的三角形, 求这两个三角形所成二面角

波斯猫猫

正三角形在平面α上正射影成边长为2, 3, 2√3的三角形,
求这两个三角形所成二面角的余弦.

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有了上图的结论，易得正三角形的面积

S△ABC=a^2sin60°/2, 即4S△ABC=13√3.

显然，cosB′A′C′=1/12，sinB′A′C′=√143/12,

∴ 2S△A′B′C′=6sinB′A′C′,即4S△A′B′C′=√143.

∴ cosθ=S△A′B′C′/S△ABC=√143/(13√3)

=√429/39.   (θ为这两个三角形所成的二面角).

注：若不用a=√13来过渡，很难找到突破口.

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易证明：两个三角形分别在二面角为θ的两个面内，其中一
个是另一个的射影，则cosθ=射影的面积/原三角形的面积.
(涉及无棱二面角的问题，常常是立几中的一大难点)

luyuanhong

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