隐藏 2000 年的自然常数 e 终于被发现，帕斯卡三角形藏了个秘密！

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隐藏 2000 年的自然常数 e 终于被发现，帕斯卡三角形藏了个秘密！

原创 Masir123  科学羊  2025 年 11 月 22 日 07:16  广州



今天我们来聊一个有意思的话题：一个数学家在深夜研究帕斯卡三角形时，意外发现了一个隐藏了两千多年的秘密。

你可能在数学课上见过这个三角形：

            1
          1 1
        1 2 1
       1 3 3 1
      1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1

看起来很简单，对吧？每个数字都是上方两个数字的和。

但就是这个看似简单的结构，不仅包含着二项式定理、斐波那契数列、组合数学，还藏着一个更深的秘密——自然对数的底数 e（约等于 2.718 ）竟然也编织在这个三角形的数值结构中。

而这个发现，直到 2012 年才被揭示。

这个三角形的前世今生

在讲这个新发现之前，我们先聊聊帕斯卡三角形本身的传奇故事。

你知道吗？这个三角形其实不应该叫"帕斯卡三角形"。

早在公元前 3 世纪到公元前 2 世纪，印度数学家平加拉就已经研究过这个结构了。他把它叫做“梅鲁·普拉斯塔拉”，用来研究诗歌韵律中的节拍组合。

到了 11 世纪，波斯数学家欧玛尔·海亚姆也研究了这个结构——在伊朗，它被称为“海亚姆三角形”。

13 世纪，中国数学家杨辉在《详解九章算法》中详细描述了这个三角形的构造和应用。

所以在中国，它被称为"杨辉三角"。

欧洲人接触到这个三角形已经是 16 世纪的事了。意大利数学家塔尔塔利亚在 1556 年出版了一个版本，所以意大利人叫它“塔尔塔利亚三角形”。

那为什么西方世界普遍叫它“帕斯卡三角形”呢？

因为法国数学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）是第一个系统地、严格地研究这个三角形性质的人。

他在去世后出版的《三角算术论文》（1665 年）中，给出了这个结构的正式递归定义，奠定了现代组合数学和概率论的基础。

帕斯卡有句名言：“人类所有的问题都源于人类无法独自安静地坐在房间里。”

讽刺的是，正是他独自安静地坐在房间里研究这个三角形，才留下了如此深远的数学遗产。

这个三角形到底有什么用？



这些性质早就为人所知。但 2012 年，一位数学家发现了一个此前从未被注意到的联系。

深夜的发现：当行积遇见 e



如何证明这个发现？



为什么这么晚才发现？

你可能会问：帕斯卡三角形被研究了两千多年，为什么直到 2012 年才有人发现这个性质？

原因有几个。

第一，人们习惯于研究行和，而不是行积。

行和有明确的组合意义（所有可能的子集数量），而且计算简单。行积看起来没有明显的应用价值，所以很少有人关注。

第二，比值的比值是个“二阶”的观察。

大部分研究关注的是直接的模式（某一行的值、相邻数字的关系等），很少有人会想到去计算“比值的比值”。

第三，巴恩斯 G 函数是相对冷门的数学工具。

即使发现了数值规律，要严格证明它也需要用到高等数学中的特殊函数，这增加了难度。

第四，数学研究往往是有目的的。

研究者通常带着某个问题或猜想去探索，很少有人会“漫无目的”地计算行积的比值。这个发现更像是好奇心驱使下的意外收获。

这也提醒我们：即使是被研究了千百年的数学对象，仍然可能隐藏着未被发现的秘密。

这个发现有什么意义？

有人可能会说：这只是个数学游戏，有什么实际意义吗？

从实用角度看，这个发现确实不会直接改变我们的生活。但它的价值在于：

第一，它揭示了数学结构的统一性。

帕斯卡三角形和 e 看似毫不相关——一个是组合数学的工具，一个是分析学的基础。但它们之间竟然有如此优美的联系。这种联系暗示着数学深处的某种统一性。

第二，它展现了数学探索的魅力。

这个发现不是为了解决某个实际问题，而是纯粹出于好奇心。正是这种"无用"的探索，推动了数学的发展，并最终在意想不到的地方产生应用。

第三，它丰富了我们对经典对象的理解。

就像人们不断发现圆周率 π 的新性质一样，每一个新发现都加深了我们对这些数学常数本质的认识。

而且，这个发现还有一个美妙的历史呼应。

欧拉的天才与历史的巧合



数学永远不会“做完”

这个故事告诉我们一个重要的道理：数学永远不会“做完”。

即使是像帕斯卡三角形这样被研究了两千多年的基础对象，仍然可能藏着未被发现的秘密。

即使是像 e 这样被研究了几百年的数学常数，仍然可能在意想不到的地方出现。

数学不是一本写好的书，而是一片等待探索的海洋。每一次潜入深处，都可能发现新的奇迹。

而这正是数学最迷人的地方。

当那位数学家在 2012 年深夜独自坐在房间里，计算帕斯卡三角形的行积时，他并没有预期会发现 e 。但他保持着好奇心，愿意尝试别人没试过的计算，愿意追寻看似无意义的数值规律。

正是这种纯粹的好奇心，让他发现了一个隐藏了两千多年的秘密。

也许帕斯卡是对的：“人类所有的问题都源于人类无法独自安静地坐在房间里。”

但同样真实的是：人类最伟大的发现，往往来自于那些愿意独自安静地坐在房间里，沉浸在思考中的人。

下次当你看到那个简单的三角形时，记得：它不仅仅是几个数字的排列，而是一个通往数学深处的入口。

谁知道，也许下一个隐藏的秘密，正在等待着某个好奇的你去发现。

好，今天就先这样啦～

祝幸福~

科学羊  2025/11/22