\(\huge\color{red}{因为\mathbb{N}是无限集，所以\mathbb{N}中必含无穷数}\)

春风晚霞

        一、关于\(\infty和n\to\infty\)的定义：
         根据Weierstrass 极限定义:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，当n>\)\(N_ε时，有|x_n-a|<ε\)可得如下定义:
        〖定义1:〗对于任意给定的无穷小量ε，称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大，记为\(\infty\).
        〖定义2:〗\(若自然数\forall k\in\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，则称\(k\)趋向于无穷大，记为\(k\to\infty\).
        根据定义1和定义2，易知:
        \(\mathbb{N}=\{n|n\le N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\cup\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\).
         elim，Weierstrass 极限的“ ε—N”定义，任何一本讲极限的教科书上都有介绍。其符号表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，\(当n>\)\(N_ε,有|x_n-a|<ε\)参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第25行。由于ε是任意给定的无穷小量，所以\(N_ε(=\tfrac{1}{ε})\)则为无穷大量，其依据是无穷小量与无穷大量互为倒数关系，所以称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大，并记为\(\infty\)是自洽的。虽然elim不看好这两个定义，但这两个定义仍是规范严谨的。同时定义1基础上的定义2也对\(n\to\infty\)作出了定量描述。总之定义1和定义2不但给出了出处，也对Weierstrass 极限的“ ε—N”定义也作了更深层次地思考，比起e氏的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Sup\mathbb{N}\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Max\mathbb{N}\)……等定义严谨多了。elim攻击、谩骂了我两年多；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)用了不少于万次，但至今也没有给出什么叫无穷大，什么叫趋向于无穷大。所以elim关于无穷大的一切论证都是扯淡！
        二、关于\(\mathbb{N}\)是无限集，所以\(\mathbb{N}\)必含无穷数地推导
       【证明】设自然数列\(\{a_n\}\)的通项公式为：\(a_n=n\),由于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\),所以对\(\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，使\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\) \(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!所以既然\(\mathbb{N}\)是无限集，那么\(\mathbb{N}\)就必含无穷数。
        春风晚霞提请众网友注意：最小无穷序数\(\color{red}{\omega是最小超穷数，不是最小无穷}\)\(\color{red}{数!}\),最小无穷基数\(\color{red}{\aleph_0，也不是最小无穷数!}\)，因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\omega\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\aleph_0\)!所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……属于\(\mathbb{N}\)!还有陶哲轩或AI所说“每个自然数都是有限数”的“限“是指每个自然数的后继！有限基数的“限”是指最小无穷基数\(\aleph_0\)!并且【自然数皆有限数】只能勉强算作是自然数的一个特殊性质，不能算作自然数的定义。

APB先生

完全支持楼主的观点。

春风晚霞

陶哲轩所说的【自然数皆有限而N是无穷集】是说的每个自然数a的“限”是指它的后继a+1，自然数集N是无穷集正是说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！

李利浩

任何事物都是内因和外因共同作用的结果。

李利浩

现行数学解决罗素悖论所用的方法会否是"拆东墙补西墙”？

春风晚霞

命题：因为自然数集\(\mathbb{N}\)是无限集，所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)是自然数。
【证法1:】设离散函数\(y=x\)的定义域是\(\mathbb{N}\)，因映射\(y=x\)是恒等映射，所以函数\(y=x\)的值域也是\(\mathbb{N}\)。故此，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} y=\)\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)，所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)是自然数。(自然数集\(\mathbb{N}\)的纯粹性)【证毕】
【证法2:】反证法:若\(v=\displaystyle\lim_{n→∞} n\)不是自然数。由皮亚诺公理第二条，\(v\)的前趋\(v-1\)也不是自然数。逆用皮亚诺公理\(v-1\)的前趋\(v-2\)也不是自然数，类此分析(k+1)的前趋k不是自然数，…，2的前趋1不是自然数，1的前趋0也不是自然数。所以自然数集\(\mathbb{N}=\phi\)，这与\(\mathbb{N}≠\phi\)矛盾，所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)是自然数。【证毕】
【证法3:】对任意预先给定的无论怎样大的自然数x∈\(\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\)\(\{n|n≤x\}\cup
\{n|n>x\}\)，所以\(\mathbb{N}\supseteq\infty\)，所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)是自然数(自然数集的纯粹性)。【证毕】

春风晚霞

       【定理】： 若集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)，则\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)
        【证明】：因为集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)(已知)
易证集列\(A_k=\{1，2.…，(k-2)，(k-1)，k\}\)单调递增。所以根据单调集列极限集的定义（如北大教材《实变函数论》P9定义1.8）有：
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1} ^{\infty}A_n=\)\(\{1，2，…\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-2)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=\)\(\mathbb{N}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！
【证毕】
        elim运用你“自洽”的定义，“严谨”的论证说明该命题及其让明错在哪里？为什么是错的？到底是现行教科书的极限集定义不自洽，还是你黄牛黑卵子，另外一条胫？数学具有高度抽象性、逻辑严谨性、应用广泛性。即使你的定义“自洽”到冠古绝今，你的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，除了攻击春风晚霞外还有什么用？

春风晚霞

elim从来不敢正面回复论敌的诸帖，除了骂人，起绰号，耍赖撒泼別无ξ长！elim读不懂现行教科书的定义定理，全凭自己的顽固坚持，妄想以各种卑鄙方法让对手屈服。以此为业胜之不武！