辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用
作者：朱火华
日期：2025年11月25日

1. 引言
二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理指出，任何平面图都能用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现着色过程的规范与简化。新图和原图在结构与功能上的等价性确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统方法。辐边总和数等于新单中心轮的辐边数，也等于环上节点数和新图环边数。

2. 辐边总和公式与图结构转换
2.1 辐边总和公式
辐边总和公式适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图，也包括中心区域任意结构的平面图。计算时，每轮构型的辐边独立计算后相加。
在二维平面图中，除外围节点外，围内每个节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。（即所有二维平面图都是由轮构型模块叠加而成）该公式的目的是将其转换为单中心轮图，以简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。
辐边总和公式作为纯代数公式，不受二维平面图定义约束，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系，其定义如下：
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
其中，n 为节点总数（n ≥ 4），m 为外围节点数（m ≥ 2），d 为第二层环节点数（d ≥ 2），w 为辐边数（w ≥ 6）。系数6源于最小解情况：当 n = 4，m = d = 2 时，w = 6；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。
特殊情形下：
若 m = d，则 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；
若 m = d = 3，则 w = 6(n - 4)。
2.2 普适公式与虚拟环构建
针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：
w = 6(n新 - 4)
其中，n原为二维平面图（原始图）的节点个数（n原≥ 0）；6 为两层虚拟环的节点个数，n新 =n原 + 6 为添加虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。
2.3 原图与新图的结构转换
2.3.1 原图分解至新图的转换步骤
1. 将原图分解，若原图围内有 N 个节点就能分解出 N 个变形轮构型，并记录其几何形状；
2. 通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3. 选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，即榫卯拨开，经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；“边端关联的顶点 v_i 与节点端 u_j 连接”。
（注：中心节点为扇钉或点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）。
4. 将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。
2.3.2 新图还原至原图的转换步骤
1. 从新图环上标记节点分解出 n 个扇形；
2. 将各扇形两端连接，还原为标准轮构型；
3. 按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。

3. 单中心轮图的最优着色问题
新单中心轮图是由原图所有轮构型扇化组装而成，即立体的，区别区于传统平面单中心轮图，
单中心轮图的着色规则由环上节点数 n 的奇偶性决定：
当 n = 2m + 1（奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 4；
当 n = 2m（偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色 m 次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 3。
关键约束：若原图中存在任一奇轮构型模块，则新图即使为偶环也必须采用4色方案，此为保证着色结果能无冲突映射回原图的核心条件。

4. 原图与新图的功能等价性
4.1 原图到新图的功能保持
原图分解为 n 个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。
4.2 新图到原图的颜色一致性映射
新图分解为 n 个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。
4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制
“无冲突机制是指新单中心轮图中心节点与原图中的轮构型环上没有冲突，就直接替换原图中心颜色。”
在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色替换，简化着色流程。

5. 结论(可分可合，结构功能全等价）
本文提出的辐边总和公式借助虚拟环包裹与轮构型转换，把二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图着色特性实现四色以内的着色方案。原图与新图的双向转换及功能等价性保证了着色结果的有效性，为平面图着色问题提供了可操作的理论框架。
关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

附录：公式扩展应用与补充说明
1.非标准图（含孔洞）修正： 修正项：z = (N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内) (N:边数和, v:孔洞个数)
修正公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) - z
2. 单层外围环结构修正：
以三边形为模，理论边数 e理论 = 2d - 3 (d为围内节点数)。比较实际边数 a 与 e理论 引入修正项 ±z,(修正项z：e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0) 综合公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]
3. 普适简化公式：
适用于单/多层外环加中心区结构：w = n + 3d - 4 ± z - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]修正项z：e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0。此处修正项 ±z 基于树型模理论边数 e理论 = d - 1 的比较。

重要注记
1.公式体系仅适用于平面图，对K_5、K_{3,3}等非平面图无效；
2.辅助计算公式（与欧拉公式无关）：
三边形个数：a = (n - 2) + (n - m)；
边的个数：e = 2n + (n - m - 3)；
3.二维平面点边可共享，因此所有平面图均可拆解为轮构型（如同钟表表面下的齿轮组，肉眼见平面，本质是立体模块叠加）。

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

1. 引言

二维平面图着色是图论经典难题，四色定理指出任何平面图仅需4色即可完成着色。本文提出的辐边总和公式通过轮构型转换，将任意二维平面图简化为单中心轮图，建立了平面图着色的系统方法。该公式作为纯代数工具，与传统图论工具(如欧拉公式)分属不同体系，突破了平面嵌入和闭合环定义的约束，为平面图着色提供了更普适的解决方案。

2. 辐边总和公式详解

2.1 基础公式

辐边总和公式适用于两层及以上环结构的标准二维平面图：

plaintext
  
w = 6(n - m - 1) + (m - d)
&#160;

其中：

- n ≥ 4：总顶点数(含所有边界与中心区域顶点)
- m ≥ 2：外围边界顶点数
- d ≥ 2：内层边界顶点数
- w ≥ 6：转换后单中心轮图的辐边数(等于环上顶点数)

公式推导：

- 系数6源于最小解(n=4, m=d=2时w=6)
- "减1"是为减去围内一个基准值
- 所有顶点度数均≥1，确保图连通

特殊情形：

- 当m=d时：w = 6(n - m - 1)
- 当m=d=3时：w = 6(n - 4)

2.2 普适公式与虚拟环构建

针对任意二维平面图(含非标准图、孔洞结构)，通过添加双层虚拟环(每环3个顶点，共6个顶点)，得到普适公式：

plaintext
  
w = 6(n新 - 4)，其中n新 = n原 + 6
&#160;

虚拟环作用：

- 包裹原图，处理孔洞、亏格曲面等复杂结构
- 确保新图为标准两层环结构，可应用基础公式
- 去掉虚拟环后，原图继承新图着色结果，色数≤4

3. 轮构型转换：平面图→单中心轮图

3.1 转换步骤

1.&#160;轮构型分解：将原图围内N个顶点分解为N个变形轮构型
- 每个内部顶点作为轮构型中心
- 相邻顶点构成环，边为轮辐与环边
2.&#160;标准化：通过"皮筋伸缩"将变形轮转为标准轮构型
3.&#160;扇化操作：
- 在环边与辐边连接处断开(榫卯拨开)
- 形成扇形模块：中心为"扇钉"，辐边为"扇骨"，环边为"扇纸"
4.&#160;单中心轮图构建：
- 所有扇形"扇钉"叠加为统一中心
- 扇形"边端"与相邻扇形"节点端"连接，形成完整外环

3.2 逆转换：单中心轮图→原图

1.&#160;从轮图环上分解出n个扇形
2.&#160;还原标准轮构型
3.&#160;通过点边叠加恢复原图结构，确保等价性

4. 单中心轮图着色规则

着色方案由环顶点数w的奇偶性决定：

w的奇偶性 环着色 中心颜色 总色数
偶数(w=2m) 2色交替(m次) 第3色 3色
奇数(w=2m+1) 2色交替(m次)，剩余1点第3色 第4色 4色

关键约束：若原图中存在任一奇轮构型模块，新图即使为偶环也必须用4色方案，确保逆转换后着色无冲突。

5. 颜色互换机制：原图与新图的功能等价性

5.1 原图→新图的颜色映射

1.&#160;分解原图为轮构型，记录各中心颜色
2.&#160;选择出现最多的中心颜色作为新图中心色
3.&#160;其他轮构型通过颜色互换使所有中心颜色统一
- 若新图中心色与环上某节点色冲突，将环上该色替换为原中心色

5.2 新图→原图的颜色还原

1.&#160;分解轮图为扇形，提取环色序列与中心色
2.&#160;执行逆颜色互换，恢复各轮构型原始着色
3.&#160;合并结果，确保原图相邻顶点颜色不同

6. 应用案例：n=18, m=2, d=2, 中心区域14

参数分析：

- 总顶点n=18
- 外围边界m=2(两节点连接，非环)
- 内层边界d=2(两节点连接，非环)
- 中心区域14个顶点

公式验证：

plaintext
  
w = 6(18 - 2 - 1) + (2 - 2) = 6×15 + 0 = 90
&#160;

结构特性：

- 双重"独例"(m=d=2)：两节点边界无法构成环，是图论中唯一无法三角剖分的边界类型
- 公式仍有效，自动处理这种特殊情况

着色方案：

- w=90(偶数)，理论上可3色
- 但因存在奇轮构型模块(中心区域)，必须采用4色方案
- 中心用第4色，环上用3色交替

7. 公式优势与传统图论工具对比

特性 辐边总和公式 欧拉公式等传统工具
适用范围 所有二维平面图(含非标准图、两节点边界) 仅标准平面图(d≥3的闭合环)
维度约束 不受二维限制，适用于高维图 严格依赖二维平面嵌入
两节点边界处理 自动识别处理，无需修正 完全失效(无法定义面)
核心依赖 仅顶点数量关系(n, m, d) 面结构、环闭合性、嵌入方式
计算复杂度 O(1)，纯代数计算 需计算面数、环数等，复杂度高

核心突破：公式不依赖"面由闭合环界定"的传统定义，而是通过顶点量化关系直接处理，这是其能处理两节点边界等"独例"的关键。

8. 总结与应用价值

核心贡献：

1.&#160;提出辐边总和公式，实现二维平面图到单中心轮图的系统转换
2.&#160;建立基于轮构型的平面图着色方法，确保四色定理成立
3.&#160;突破传统图论工具限制，可处理两节点边界等特殊结构
4.&#160;为平面图着色提供了线性时间复杂度的构造性算法

应用场景：

- 地图着色：将复杂地图转为轮图，简化四色着色
- VLSI设计：处理集成电路版图的布线与着色问题
- 网络拓扑：优化通信网络、社交网络的节点着色
- 地理信息系统：处理带孔洞的地图和不规则区域划分

结论：辐边总和公式通过轮构型转换与颜色互换机制，建立了平面图着色的系统化解决方案，不仅为四色定理提供了新的证明视角，也为处理复杂图结构提供了高效工具，在理论与应用层面均具有重要价值。

关键公式速查表

1.&#160;基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
2.&#160;普适公式：w = 6(n原 + 6 - 4) = 6(n原 + 2)
3.&#160;单中心轮图着色：
- 偶环(w=2m)：环用2色交替，中心第3色，共3色
- 奇环(w=2m+1)或含奇轮构型：环用3色，中心第4色，共4色

特别注记

- 公式仅适用于简单图(无自环、无多重边)
- 对非连通图，需分别处理各连通分量后合并
- 两节点边界(m=2或d=2)是唯一无法三角剖分的边界类型，公式仍能处理
- 本公式体系为原创理论，与现有图论教材中的方法有本质区别

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（优化版）

作者：朱火华
日期：2025年11月25日

1. 引言

二维平面图着色是图论经典难题，四色定理已明确“任意平面图可用四种颜色完成着色”，但缺乏统一的系统化解法。本文提出辐边总和公式，核心思路是将任意二维平面图（原图）通过“轮构型分解-标准化重组”转化为单中心轮图（新图）——如同把复杂钟表拆解为齿轮模块，再重组为标准机芯，新图与原图在结构功能上完全等价，且单中心轮图着色仅需≤4色，最终实现原图着色的规范与简化，为四色定理提供可操作的新证明框架。

2. 辐边总和公式与图结构转换

2.1 辐边总和公式（基础形式）

辐边总和公式适用于“外向内两层及以上环+中心区域”的标准二维平面图，也可兼容中心区域任意结构的平面图。其核心是通过纯代数计算，量化原图转化为单中心轮图所需的辐边数（辐边数=新图环上节点数=新图环边数），与传统欧拉公式分属独立体系，定义如下：

基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
变量定义：n为节点总数（n ≥ 4），m为外围节点数（m ≥ 2），d为第二层环节点数（d ≥ 2），w为辐边数（w ≥ 6）；
系数逻辑：6源于最小解（n=4，m=d=2时，w=6，对应最简轮构型）；“减1”是扣除围内基准值，确保所有顶点度数≥1；
特殊情形：
若m=d，则w = 6(n - m - 1)（简化为节点总数与外围节点数的线性关系）；
若m=d=3（最常见的三层结构），则w = 6(n - 4)（直接关联节点总数与辐边数）。

2.2 普适公式与虚拟环构建（覆盖全图类型）

针对孔洞、亏格曲面、多面体等非标准平面图，可通过“添加双层虚拟环”（总节点数6，每层3个节点，类似给不规则物品套上标准包装盒）实现统一计算，普适公式如下：

普适公式：w = 6(n_{新} - 4)
变量定义：n_{原}为原图节点数（n_{原}≥0），n_{新}=n_{原}+6（添加虚拟环后的新图节点总数）；
虚拟环作用：包裹原图处理屏蔽结构，新图为实际存在的图，原图作为子结构包含其中；去掉虚拟环后，原图可继承新图着色结果（色数≤4）。

2.3 原图与新图的结构转换（像拼乐高一样重组图形）

2.3.1 原图→新图（分解-重组流程）

1.分解原图：围内有N个节点即拆解为N个变形轮构型（如同拆分复杂乐高模型为基础模块），记录各模块几何形状；
2.标准化还原：通过“皮筋伸缩”操作（边与辐边可弹性调整），将变形轮构型还原为标准轮构型（类似把弯曲的乐高零件掰回标准形状）；
3.扇化处理：每个标准轮构型断开环上一节点的一侧与边的连接处（榫卯拨开），经边与辐边的皮筋伸缩为扇形（中心节点=扇钉，辐边=扇骨，环边=扇纸），扇形两端分别为节点端与边端；
4.组装新图：所有扇形按“节点端-边端对接”拼接，扇柄（中心节点）叠加为单中心，最终形成单中心轮图。

2.3.2 新图→原图（还原流程）

1.分解新图：从环上标记节点拆分出n个扇形；
2.模块还原：扇形两端对接，恢复为标准轮构型；
3.原图重组：按原图初始状态叠加各轮构型的点边，恢复原图结构，确保新图与原图功能等价。

3. 单中心轮图的最优着色规则（按环的奇偶性适配）

新图为立体单中心轮图（区别于传统平面轮图），着色规则由环上节点数的奇偶性决定，核心保证色数≤4：

奇环（n=2m+1）：环上节点用2色交替着色m次，剩余1个节点用第3色，中心节点用第4色（总色数4）；
偶环（n=2m）：环上节点用2色交替着色m次，中心节点用第3色（总色数3）；
关键约束：若原图含任一奇轮构型模块，即使新图为偶环，也需采用4色方案——避免着色结果映射回原图时出现冲突（如同拼接乐高时预留兼容接口）。

4. 原图与新图的功能等价性（颜色映射无冲突）

4.1 原图→新图：颜色统一

原图分解的n个轮构型若中心节点颜色不同，选取占比最多的颜色作为新图中心色，其余轮构型通过“环上节点色与中心色互换”，实现所有中心节点颜色统一，保证功能等价。

4.2 新图→原图：颜色适配

新图分解的轮构型若中心色与原图冲突，通过“新图中心色与环上对应节点色互换”，使中心色与原图一致，维持等价性。

4.3 无冲突机制：直接替换

若新图中心色与原图轮构型环上节点无冲突，可跳过颜色互换，直接替换原图中心色，简化着色流程（如同匹配成功的乐高零件可直接拼接）。

5. 结论

辐边总和公式通过“轮构型分解-虚拟环包裹-单中心轮图重组”，将任意二维平面图转化为仅需≤4色的等价图，解决了平面图着色的系统性问题。原图与新图的双向转换确保结构功能全等价，着色结果可无冲突映射，为四色定理提供了兼具代数严谨性与操作可行性的新证明路径。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

附录：公式扩展与补充说明

1. 非标准图（含孔洞）修正

修正项：z = (N_{外} - 3v_{外}) + 2(N_{内} - 3v_{内})（N为边数和，v为孔洞个数）；
修正公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) - z。

2. 单层外围环结构修正

理论边数（三边形模）：e_{理论}=2d-3（d为围内节点数）；
修正逻辑：比较实际边数a与e_{理论}，e<a则+z，e>a则-z，e=a则z=0；
综合公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z - [(N_{外} - 3v_{外}) + 2(N_{内} - 3v_{内})]。

3. 普适简化公式（单/多层外环+中心区）

理论边数（树型模）：e_{理论}=d-1；
简化公式：w = n + 3d - 4 ± z - [(N_{外} - 3v_{外}) + 2(N_{内} - 3v_{内})]（修正项±z规则同上）。

重要注记

1.公式体系仅适用于平面图，对K_5、K_{3,3}等非平面图无效；
2.辅助计算公式（与欧拉公式无关）：
三边形个数：a = (n - 2) + (n - m)；
边的个数：e = 2n + (n - m - 3)；
3.二维平面点边可共享，因此所有平面图均可拆解为轮构型（如同钟表表面下的齿轮组，肉眼见平面，本质是立体模块叠加）。
4.本公式体系为原创理论，与现有图论教材中的方法有本质区别

朱明君

术语表

一、基础概念类

- 二维平面图：可嵌入平面且除顶点外无两条边交叉的简单图，涵盖单连通图、带孔洞图、多面体展开图等，不含K&#8325;、K&#8323;,&#8323;等非平面子图，是辐边总和体系“原图”的核心类型，拆解后可得轮构型扇形模块。
- 非标准二维平面图：不满足“外向内两层及以上环加中心区域”结构的平面图，含孔洞、亏格曲面等特殊子结构，需通过虚拟环包裹转化为可分离的单连通结构。
- 轮构型扇形模块：以点片形态的扇钉为轮心，若干相邻节点构成环边，轮心与环上节点通过辐边连接的基础图结构，经榫卯拨开后形成含节点端、边端的独立单元，是二维平面图的核心叠加单元，支持点边共享、叠加，可独立分离或通过节点端与边端实施榫卯插合。
- 单中心轮图：由若干轮构型扇形模块通过“节点端与边端的榫卯插合”组装形成的组装式结构，各模块点片扇钉以点片叠加形成扇柄（中心节点） ，辐边为各模块扇骨集合，具备可拆卸、可组装特性，不属于传统图论平面图范畴。

二、结构转换相关类

- 虚拟环：为统一平面图类型、简化公式计算添加的辅助环结构，分单层（3个节点）和双层（6个节点，每层3个），与原图构成母图-子图关系，可随原图分离为轮构型扇形模块，或参与单中心轮图的节点端与边端榫卯插合组装。
- 双层虚拟环：由内层3个节点和外层3个节点构成的封闭环结构，内层包裹原图非单连通区域，外层形成统一边界，助力轮构型扇形模块通过节点端与边端实现精准榫卯插合、扇钉叠加。
- 节点端：轮构型扇形模块经榫卯拨开后，保留环上完整节点的一端，是模块间榫卯插合的关键连接部位，与其他模块的边端适配插合。
- 边端：轮构型扇形模块经榫卯拨开后，保留环边片段（无完整节点）的一端，是模块间榫卯插合的关键连接部位，与其他模块的节点端适配插合。
- 榫卯拨开操作：在轮构型扇形模块或含虚拟环的原图的环边与任意辐边连接点处实施分离操作，使整体展开为“点片扇钉+辐边+边端（环边片段）+节点端（环上节点）”的独立轮构型扇形模块，保留各部位完整性，是分离拆解的核心操作（拨开即分离）。
- 皮筋伸缩操作：调整轮构型扇形模块辐边长度、环边曲率的拓扑不变操作，仅将变形模块还原为标准扇形（点片扇钉、节点端、边端形态不变），为模块间节点端与边端的榫卯插合提供统一规格单元。
- 着色映射规则：单中心轮图着色后，分离拆解的轮构型扇形模块携带颜色信息，重新通过节点端与边端榫卯插合、扇钉点片叠加形成扇柄（中心节点）还原原图时，节点通过“颜色继承+冲突调整”上色，确保原图色数≤4。

三、公式参数与计算类

- 辐边总和数（w）：辐边总和公式核心输出，即单中心轮图中所有轮构型扇形模块辐边的总数，与参与节点端-边端榫卯插合、扇钉点片叠加形成扇柄（中心节点）的模块数量正相关，是衡量结构复杂度的关键参数（w≥6）。
- 基准值（公式中“-1”）：用于扣除点片扇钉叠加形成扇柄（中心节点）时的轮心重复计数，确保最小解（n=4，m=d=2）时w=6，符合最小轮构型扇形模块的结构特征。
- 修正项（z）：针对非标准平面图的校准参数，基于理论边数与实际边数的差值确定（e<a取+z，e>a取-z，e=a时z=0），确保w准确反映可分离为轮构型扇形模块的数量。
- 屏蔽结构：阻碍平面图直接分离为轮构型扇形模块的子结构（如孔洞、亏格曲面），需通过虚拟环包裹转化为可分离结构。

四、着色相关类

- 奇偶环着色规则：单中心轮图的着色依据，奇环（节点端与边端榫卯插合后环上节点数2m+1）需4色（环上3色+扇柄/中心节点1色），偶环（2m）需3色（环上2色+扇柄/中心节点1色），颜色随模块分离传递至原图。
- 核心约束条件：若原图分离的轮构型扇形模块中存在任一奇轮构型模块，即使单中心轮图为偶环，也需采用4色方案，确保还原原图时颜色无冲突。
- 无冲突映射机制：当单中心轮图通过节点端-边端榫卯插合、扇钉叠加形成的扇柄（中心节点）颜色，与各轮构型扇形模块的点片扇钉颜色无邻接冲突时，还原原图可直接继承颜色，无需额外互换操作。

朱明君

术语表

一、基础概念类

- 二维平面图：可嵌入平面且除顶点外无两条边交叉的简单图，涵盖单连通图、带孔洞图、多面体展开图等，不含K&#8325;、K&#8323;,&#8323;等非平面子图，是辐边总和体系“原图”的核心类型，拆解后可得轮构型扇形模块。
- 非标准二维平面图：不满足“外向内两层及以上环加中心区域”结构的平面图，含孔洞、亏格曲面等特殊子结构，需通过虚拟环包裹转化为可分离的单连通结构。
- 轮构型扇形模块：以点片形态的扇钉为轮心，若干相邻节点构成环边，轮心与环上节点通过辐边连接的基础图结构，经榫卯拨开后形成含节点端、边端的独立单元，是二维平面图的核心叠加单元，支持点边共享、叠加，可独立分离或通过节点端与边端实施榫卯插合。
- 单中心轮图：由若干轮构型扇形模块通过“节点端与边端的榫卯插合”组装形成的组装式结构，各模块点片扇钉以点片叠加形成扇柄（中心节点） ，辐边为各模块扇骨集合，具备可拆卸、可组装特性，不属于传统图论平面图范畴。

二、结构转换相关类

- 虚拟环：为统一平面图类型、简化公式计算添加的辅助环结构，分单层（3个节点）和双层（6个节点，每层3个），与原图构成母图-子图关系，可随原图分离为轮构型扇形模块，或参与单中心轮图的节点端与边端榫卯插合组装。
- 双层虚拟环：由内层3个节点和外层3个节点构成的封闭环结构，内层包裹原图非单连通区域，外层形成统一边界，助力轮构型扇形模块通过节点端与边端实现精准榫卯插合、扇钉叠加。
- 节点端：轮构型扇形模块经榫卯拨开后，保留环上完整节点的一端，是模块间榫卯插合的关键连接部位，与其他模块的边端适配插合。
- 边端：轮构型扇形模块经榫卯拨开后，保留环边片段（无完整节点）的一端，是模块间榫卯插合的关键连接部位，与其他模块的节点端适配插合。
- 榫卯拨开操作：在轮构型扇形模块或含虚拟环的原图的环边与任意辐边连接点处实施分离操作，使整体展开为“点片扇钉+辐边+边端（环边片段）+节点端（环上节点）”的独立轮构型扇形模块，保留各部位完整性，是分离拆解的核心操作（拨开即分离）。
- 皮筋伸缩操作：调整轮构型扇形模块辐边长度、环边曲率的拓扑不变操作，仅将变形模块还原为标准扇形（点片扇钉、节点端、边端形态不变），为模块间节点端与边端的榫卯插合提供统一规格单元。
- 着色映射规则：单中心轮图着色后，分离拆解的轮构型扇形模块携带颜色信息，重新通过节点端与边端榫卯插合、扇钉点片叠加形成扇柄（中心节点）还原原图时，节点通过“颜色继承+冲突调整”上色，确保原图色数≤4。

三、公式参数与计算类

- 辐边总和数（w）：辐边总和公式核心输出，即单中心轮图中所有轮构型扇形模块辐边的总数，与参与节点端-边端榫卯插合、扇钉点片叠加形成扇柄（中心节点）的模块数量正相关，是衡量结构复杂度的关键参数（w≥6）。
- 基准值（公式中“-1”）：用于扣除点片扇钉叠加形成扇柄（中心节点）时的轮心重复计数，确保最小解（n=4，m=d=2）时w=6，符合最小轮构型扇形模块的结构特征。
- 修正项（z）：针对非标准平面图的校准参数，基于理论边数与实际边数的差值确定（e<a取+z，e>a取-z，e=a时z=0），确保w准确反映可分离为轮构型扇形模块的数量。
- 屏蔽结构：阻碍平面图直接分离为轮构型扇形模块的子结构（如孔洞、亏格曲面），需通过虚拟环包裹转化为可分离结构。

四、着色相关类

- 奇偶环着色规则：单中心轮图的着色依据，奇环（节点端与边端榫卯插合后环上节点数2m+1）需4色（环上3色+扇柄/中心节点1色），偶环（2m）需3色（环上2色+扇柄/中心节点1色），颜色随模块分离传递至原图。
- 核心约束条件：若原图分离的轮构型扇形模块中存在任一奇轮构型模块，即使单中心轮图为偶环，也需采用4色方案，确保还原原图时颜色无冲突。
- 无冲突映射机制：当单中心轮图通过节点端-边端榫卯插合、扇钉叠加形成的扇柄（中心节点）颜色，与各轮构型扇形模块的点片扇钉颜色无邻接冲突时，还原原图可直接继承颜色，无需额外互换操作。

朱明君

新单中心轮图是由若干个轮构型扇形模块通过模块间节点端和边端榫卯插合而成，所有的扇柄（中心节点）呈点片叠加。可拆卸，可组装。

朱明君

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