张益唐教授报告《我对数学的思考》听后记

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张益唐教授报告《我对数学的思考》听后记

原创  莫利  和乐数学  2025 年 10 月 28 日 16:05  北京



张益唐教授在讲座伊始谈到，当人们提起俄罗斯文化，总会首先想到其文学、音乐与绘画的辉煌成就，并对托尔斯泰、陀思妥耶夫斯基、普希金、柴可夫斯基等巨匠的贡献如数家珍。但他指出，俄罗斯文化的深厚远不止于此——数学，作为其文化宝库中一张不常被外人提及却举足轻重的“王牌”，始终跻身于全世界最具影响力的学术流派之列。

张教授提到，有报道称自冷战时期起，美国数学协会就持续组织大量人力，系统翻译苏联绝大多数重要数学期刊。这一举措本身，即从侧面印证了前苏联数学的强劲实力与深远影响。

从沙俄时代到苏联时期，俄罗斯的数学天才们宛如一颗颗璀璨的星辰，每隔几十年便在数学的夜空中划出耀眼的轨迹，留下同时代人难以想象的卓越贡献。他进一步追溯历史，指出俄罗斯近代数学的源头可至彼得一世于 1724 年创立圣彼得堡科学院。这位富有远见的君主广纳欧洲贤才，邀请众多知名科学家前往俄国。年轻的欧拉正是在此背景下接替尼古拉·伯努利的职位来到圣彼得堡，虽最初被分配至生理学部门，却凭借过人的天赋很快转入数学领域，并在此通过书信往来，成功解决了来自东普鲁士柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）的“七桥问题”。欧拉一生两度赴圣彼得堡工作，先后受彼得大帝和叶卡捷琳娜大帝之邀，其大部分广为流传的成就也正是在此期间完成。张教授也借此指出，尽管欧拉的主要工作成就于俄罗斯的土地上，部分苏联作家将其视为“俄罗斯数学家”的观点仍需辩证看待。



随后，张教授将话题转向俄罗斯本土第一位具有世界影响力的数学家——罗巴切夫斯基。他并以互动的方式询问在场同学其贡献，有同学准确答出“非欧几何”，张教授听后十分欣慰。他分享道，自己在上大学前就曾阅读过苏联数学家编写的《数学：它的内容、方法和意义》一书，对下图下划线的内容几乎能完整背诵。言谈之中，充满了对俄罗斯数学教育体系及其文化积淀的由衷赞赏。





本场讲座还穿插了一段关于哥德巴赫猜想的数学史话，为后续介绍维诺格拉多夫的工作埋下伏笔。哥德巴赫原为普鲁士人，受彼得大帝之邀赴圣彼得堡科学院任职，1742 年移居莫斯科并进入俄国外交部工作。同年 6 月 7 日，他致信柏林科学院的欧拉，在信中提出了那个举世闻名的素数猜想。欧拉于 6 月 30 日的回信中表示相信该猜想的正确性，但未能给出证明。 由此可知，素数相关命题往往具有极高难度。从欧拉函数、欧拉乘积公式等诸多线索来看，学界认为大数学家欧拉曾深入研究过素数定理，但始终未能提出数论函数 π(x) 的渐近主项。高斯与勒让德等数学巨匠虽对素数定理作出过猜想，却同样未能完成证明。

正如前文所提及的罗巴切夫斯基一样，圣彼得堡数学界随后迎来了另一位闪耀的天才——切比雪夫。1848 年，切比雪夫在《圣彼得堡帝国科学院学者汇刊》（Mémoires présentés à l'Académie impériale des Sciences de St. Pétersbourg par divers Savans et dans ses assemblées）上发表了一篇用法语撰写的论文，题为《关于决定小于给定界限的所有素数总量的函数》（Sur la Fonction qui Détermine la Totalité des Nombres Premiers Inférieurs à une Limite Donnée）。



在这篇文章的定理三中，切比雪夫指出：当变量  x  趋近于正无穷时，如果极限



存在，那么这个极限的值必定等于 -1 。值得注意的是，切比雪夫在这篇文章中采用了符号 φ(x) 来表示我们如今通常记作 π(x) 的素数计数函数。



紧接着在 1849 年，切比雪夫又以旧俄文重新撰写了这篇文章，标题为《关于不超过给定数值的素数数量的确定》（Объ опредъленiи числа простыхъ чиселъ, не превосходящихъ данной величины），并将其作为附录Ⅲ收录于他的著作《同余理论》（Теорiя сравненiй）之中。





到了 1850 年，切比雪夫再次发表了一篇重要的法语论文《关于素数的研究报告》（Mémoire sur les Nombres Premiers）。在这项工作中，他引入了两个关键性的辅助数论函数 θ(x) 与 ψ(x) ，并证明存在正常数 c1、c2，使得对足够大的 x 满足 c1·x/log(x) < π(x) < c2·x/log(x) 。这项突破性工作首次严格确定了 π(x) 具有 x/log(x) 的增长量级。





张益唐教授在讲述这段历史时，曾口头梳理出素数定理发展历程中的关键节点与重要事件，笔者将其整理成清晰的时间脉络图，如下图所示。从这张图中可以清楚地看到，切比雪夫的工作的确实现了从零到一的根本性突破，尽管他最终未能完成对素数定理本身的证明。



张益唐教授的讲述并未止步于历史回顾。他设计了一个巧妙的简化案例，引导同学们运用高中数学知识，亲身体验切比雪夫的思维方法。在这一过程中，学生们仿佛当了一回“小切比雪夫”，通过具体推导，真切感受了这位数学大师的思考路径。



谈及切比雪夫工作的深远影响时，张教授特别提及了华罗庚先生的著作《指数和的估计及其在数论中的应用》。他完整复述了该书第三章中引用的西尔维斯特对切比雪夫的高度评价：“但是要确立这种可能性的存在，我们或许要等待在世界上产生这样一个人，他的智慧与洞察力像切比雪夫一样，证明自己是超人一等的。”



进入 20 世纪，苏联解析数论领域涌现出划时代的学者——维诺格拉多夫。他于 1910 年进入圣彼得堡大学物理数学系，在数学教授乌斯宾斯基的影响下从物理学转向解析数论研究。1937 年，维诺格拉多夫在不依赖广义黎曼猜想的前提下，直接证明了充分大的奇数可表示为三个素数之和。作为苏联科学院院士，他平易近人：1946 年华罗庚访苏期间，维诺格拉多夫曾与他在莫斯科郊区疗养所共进午餐后一同滚雪球，并邀请华罗庚到家中做客。据张益唐教授讲述，虽体魄强健，但这位数学家据说对饮酒颇有钟情。



在讲座后续环节，张益唐教授引导同学们运用高中数学及大学级数知识，切身感受维诺格拉多夫三角和方法的精妙之处。



他特别提到，其 2013 年突破性论文中的部分推导也借鉴了维诺格拉多夫的数学思想。最后，张教授展望了解析数论重要问题的未来发展方向，提出若对系数进行适当约束，或许能通过三角和方法获得更优上界，从而推动黎曼假设相关研究取得新突破。

针对刚步入大学的新生，张教授特别叮嘱：不必将高等数学视为畏途。其基本思想脉络其实清晰明了，只要理清解题思路并保持数学想象力，就能扎实掌握大一阶段的数学知识体系。

作者：莫利，深圳北理莫斯科大学计算数学与控制系科研助理。

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