分形的维度必须是小数吗？这是互联网上流传最广的数学谣言

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分形的维度必须是小数吗？这是互联网上流传最广的数学谣言

原创  Masir123  科学羊  2025 年 12 月 5 日 07:10  广东

大家好，我是科学羊。

当你在网上搜索"什么是分形"时，你很可能会看到这样的回答："分形是一种具有非整数维度的几何形状。"

听起来很专业，对吧？很多人就这样记住了：分形=小数维度。

但如果我告诉你，这个说法是完全错误的？

更讽刺的是，这个错误不仅出现在各种科普文章里，甚至出现在一些大学教授的讲义中、学术论文的引用里、甚至 wiki 的某些版本上。

今天，我们就来聊聊这个流传最广的数学谣言，以及分形到底是什么。

分形是什么？

在讲这个谣言之前，我们先要搞清楚：分形到底是什么？

分形（Fractal）这个词，是数学家本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）在 1982 年创造的。他写了一本开创性的著作《自然的分形几何》，把分形几何变成了一个独立的数学分支。

曼德博对分形的定义很简单：分形是对粗糙度的研究。

什么是粗糙度？



想象一条海岸线。从飞机上看，它是一条弯弯曲曲的线。但当你走近看，每一段海岸线都由更小的弯曲组成。你再走近，用放大镜看，还是有更小的曲折。

这种"无论你怎么放大，都能看到相似结构"的特性，就是自相似性。

自相似性是分形的核心特征——但不是唯一特征。

很多人误以为"自相似=分形"，其实不是。

比如洋葱——一层套一层，看起来自相似，但它不是分形。为什么？因为洋葱只在中心点附近自相似，而不是在每一个尺度上都自相似。

真正的分形，是在多个尺度上都表现出相似结构的对象。

什么是"维度"？

要理解"分形的维度不一定是小数"这件事，我们先要搞清楚：维度是什么？

在经典几何中，维度很直观：

● 一条线是1维的

● 一个正方形是2维的

● 一个立方体是3维的

但分形的维度，要复杂一点。



让我们做个实验：用小方块去覆盖一条线。

假设我们用边长为 1 的方块，可以覆盖整条线，需要 1 个方块。

如果我们把方块边长缩小到 1/2 ，需要 2 个方块才能覆盖整条线。

如果边长缩小到 1/4 ，需要 4 个方块。

如果边长缩小到 1/8 ，需要 8 个方块。

规律很明显：每次方块边长缩小一半，数量翻倍。

用数学表达，就是：N(s)=1/s 。

其中  N(s) 是边长为 s 的方块数量。

现在我们对一个正方形做同样的事情。



边长为 1 的方块，需要 1 个。

边长为 1/2 的方块，需要 4 个。

边长为 1/4 的方块，需要 16 个。

边长为 1/8 的方块，需要 64 个。

这次的规律是：每次边长缩小一半，数量变成 4 倍。

数学表达：N(s)=(1/s)^2 。

如果是立方体呢？



边长缩小一半，数量变成 8 倍。

数学表达：N(s)=(1/s)^3 。

你发现规律了吗？

指数就是维度！

对于一般情况，我们可以写成：N(s)=(1/s)^d  。

其中 d 就是维度。

两边取对数，整理一下，可以得到：d=logN(s)／log(1/s) 。

这就是相似维数的定义—— 一种计算分形维度的方法。

科赫曲线：一个经典的非整数维度分形



现在让我们看一个真正的分形：科赫曲线（Koch Curve）。

它的构造很简单：

第 0 步：从一条直线开始。

第 1 步：

● 把线段分成三等份

● 移除中间那一份

● 在移除的位置，用两条相同长度的线段组成一个"帐篷"

之后每一步：对每一条线段，重复上面的步骤。

看起来是这样的：

第 0 步：     ________

第 1 步：     ___/\___

第 2 步：  _/\__/\__/\__/\_

第 3 步：（更复杂的锯齿状）

现在来计算它的维度。

每一步，原来的线段被替换成 4 条小线段，每条小线段的长度是原来的 1/3 。

也就是说：N=4 ，s=1/3  。

代入公式：d = log4／log3 ≈ 1.2619 。

科赫曲线的维度约为 1.26 。

它比一条线（1 维）要复杂，但还不到一个面（2 维）的程度。

这个维度量化了它的"粗糙程度"。

如果你改变科赫曲线的内角（比如从 60 度改成 40 度或 80 度），你会发现：

● 角度小的曲线，维度低，看起来比较光滑

● 角度大的曲线，维度高，看起来非常尖锐、粗糙

维度就是粗糙度的度量。



谣言来了：分形的维度必须是非整数？

现在我们回到最初的问题：分形的维度必须是小数吗？

答案是：绝对不是。

但互联网上充斥着这样的错误说法：

“所有分形的维度都是分数，而不是整数。”

“分形的定义是：具有非整数维度的形状。”

“分形是满足两个标准的几何对象：自相似性和分数维度。”

更讽刺的是，这个谬误甚至出现在某些大学教授的讲义中。比如，加州大学圣迭戈分校的一位教授在其讲义中写道：

“分形是  R^n 的一个子集，具有非整数维度。”

这完全是错的。

事实上，存在无穷多个维度为整数的分形。

整数维度的分形：例子一大堆

让我给你举几个例子。

例子1：希尔伯特曲线



希尔伯特曲线（Hilbert Curve）是德国数学家大卫·希尔伯特在 1891 年发明的。

它的构造方式非常精妙：从一个简单的 U 形开始，每一步都把每条线段替换成一个更复杂的图案。

经过无穷多次迭代后，这条曲线会填满整个平面。

也就是说，一条一维的曲线，通过自相似的方式，变成了二维的！

希尔伯特曲线的维度是 2 —— 一个整数。

例子 2 ：皮亚诺曲线



意大利数学家朱塞佩·皮亚诺在 1890 年发现了另一条空间填充曲线。

它的构造方式和希尔伯特曲线不同，但本质一样：经过无穷多次迭代，它会填满整个平面。

皮亚诺曲线的维度也是 2 。

例子 3 ：谢尔宾斯基曲线



谢尔宾斯基曲线（Sierpiński Curve）是波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基在 1912 年设计的一条空间填充曲线。

它的构造方式和希尔伯特曲线类似，但图案更加复杂。

经过无穷多次迭代，谢尔宾斯基曲线会填满整个平面，维度为 2 。

例子4：谢尔宾斯基四面体

谢尔宾斯基四面体（Sierpiński Tetrahedron）是一个三维分形。

它的构造方式：

● 从一个四面体开始

● 把它分成 4 个小四面体，每个边长是原来的 1/2

● 移除中间的空间

● 对每个小四面体，重复上述步骤

计算它的维度：d = log4／log2 = 2 。

谢尔宾斯基四面体的维度是 2 ——虽然它是在三维空间中构造的！

这是一个非常反直觉的结果：我们在三维空间中构造了一个形状，但我们移除了太多的部分，以至于在极限情况下，它只剩下两个维度。

为什么会有这个谣言？

那么，为什么“分形必须有非整数维度”这个谬误会如此广泛传播？

原因之一：非整数维度确实很酷。

当曼德博在 1982 年提出分形几何时，最吸引人的概念之一就是“非整数维度”—— 一个介于 1 和 2 之间的维度，一个介于 2 和 3 之间的维度，这听起来太酷了，太反直觉了。

媒体喜欢报道这种“反常识”的东西，于是“分形=非整数维度”这个概念就被过度强调了。

原因之二：人们喜欢简单的定义。

“分形是具有非整数维度的形状”——这个定义简洁、易懂、好记。

但数学从来不是这么简单的。分形的真正定义要复杂得多，涉及自相似性、粗糙度、多尺度结构等多个方面。

原因之三：互联网的回音室效应。

一旦一个错误的说法在网上流传开，它就会被不断复制、引用、强化——即使它是错的。

尤其是在 AI 生成内容的时代，错误信息更容易被大规模传播。

那么，分形的正确定义是什么？

分形是一种在多个尺度上表现出自相似性的几何结构。

更准确地说，分形需要满足以下特征：

● 自相似性：局部结构和整体结构相似

● 尺度不变性：在不同的放大倍数下，都能看到相似的结构

● 复杂性：无法用简单的欧几里得几何描述

维度只是描述分形复杂性的一个工具，它可以是整数，也可以是非整数。

曼德博自己也说过：

“如果你有锤子，就尽可能地使用它，但我并不是说一切都是分形的。”

他的意思是：分形几何是一个强大的工具，但不要过度使用它，也不要把所有东西都往分形上套。

整数维度的分形有多少个？

答案是：无穷多个。

为什么？

因为已经证明，希尔伯特曲线可以推广到任意高的维度。

也就是说：

● 2 维空间中，有填充 2 维空间的希尔伯特曲线（维度=2）

● 3 维空间中，有填充 3 维空间的希尔伯特曲线（维度=3）

● 4 维空间中，有填充 4 维空间的希尔伯特曲线（维度=4）

● ……

随便选一个整数 n ，你都能找到一个维度为 n 的分形。

所以，"分形必须有非整数维度"这个说法，不仅是错的，而且是从数学上尽可能远离真理的断言。

最后说一句

如果你问我：分形的维度必须是小数吗？

答案是：不，完全不是。

分形可以有非整数维度（比如科赫曲线的 1.26 ），也可以有整数维度（比如希尔伯特曲线的 2 、谢尔宾斯基四面体的 2 ）。

维度只是量化粗糙度的工具，它本身不是分形的定义。

分形的本质，是自相似性和多尺度结构——无论你怎么放大，你都能看到相似的图案。

下次你在网上看到“分形必须有非整数维度”这种说法时，你可以自信地说：

这是错的，而且错得离谱。

在AI时代，我们已经习惯了对网上的信息保持怀疑。但即使是数学这种“应该很严谨”的领域，也充斥着错误的信息。

作为信息的消费者，我们需要保持批判性思维，不要轻易相信任何“听起来很对”的说法。

分形几何是一个美丽、深刻、令人着迷的数学分支。它揭示了自然界中隐藏的秩序，从海岸线到雪花，从肺部结构到银河系分布，分形无处不在。

但理解分形，不能从错误的定义开始。

只有真正理解了分形的本质，我们才能欣赏它的美，才能运用它的力量。

好了，今天就先到这里。

科学羊  2025/12/05