狄利克雷：特定序列里“无穷素数”的提供者｜人人都读得懂的数论发展史漫谈（八）

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狄利克雷：特定序列里“无穷素数”的提供者｜人人都读得懂的数论发展史漫谈（八）

原创  育期未来  育期未来  2025 年 12 月 10 日 08:58  浙江

数学知识是有逻辑的，数学发展也是有逻辑的。

狄利克雷的“算术级数的素数定理”就是对欧拉乘积公式的“高阶”推广和应用。

所以，要理解算术级数的素数定理，就必须弄懂欧拉乘积公式。



约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）：德国数学家，1805 年 2 月 13 日生于迪伦，1859 年 5 月 5 日卒于哥廷根；1855 年继任高斯担任哥廷根大学教授，同年被选为英国皇家学会会员；解析数论的奠基者，也是现代函数概念的定义者；代表作品《数论讲义》《定积分》等。

※ 狄利克雷到底解决了什么问题？

早在古希腊，欧几里得便以反证法，证明了素数有无穷多个。

然而，数学家的好奇心从不满足于笼统的结论。他们开始追问：若将这些素数按某种规律排列，是否依然无穷？

例如，观察以下序列：

4n+1：5, 13, 17, 29, 37, 41, …

4n+3：3, 7, 11, 19, 23, 31, …

直觉上，这些序列中似乎同样蕴含着无穷的素数。但如何证明？欧几里得的方法在此显得力不从心。

欧拉曾逼近这一问题，他通过对素数倒数和的研究，隐约嗅到了其中规律，却未能跨越最后的鸿沟。

狄利克雷要解决的问题比上面的举例更加抽象和一般化。（当然实质是一样的）

他解决的问题是这样的：

在一个长的像下面这样的数列里，是否有无穷个素数？

“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”（这就是“算术级数”）

条件：在这个算术级数里，首项 a 与公差 d 互质。

这个问题的学术表达就是：“首项与公差互质的算术级数中含有无穷多个素数。”

为什么条件要求 a（首项）与 d（公差）互质？如果二者不互质，这个算术级数全部是“合数”，没有一个素数。如果，a=3，d=6；那么，算术级数为“3，9，15，21，27，...”这不是证明的对象。

假设：a=1，d=4；

狄利克雷要解决的就是“1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...”这个数列是否像全体自然数一样，包含着无究个素数？

※ 这并非是无用的证明或废话？

欧几里得早就证明了素数有无穷多个。但“无穷多”这个整体性质，不一定能分配给它的每一个“部分”。素数在整数里的分布是出了名的“任性”，你怎么能保证它就会均匀地光顾每一个这样的等差数列呢？

所以，这是一个严肃的数学问题。

※ 欧拉乘积公式的遗产，狄利克雷素数定理的起点。

欧拉在研究“全体素数”无穷时，用了一个非常巧妙的方法。

他研究了这么一个级数：

ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... （这就是著名的黎曼 ζ 函数的雏形）。

他发现，这个和还可以写成所有素数的某种乘积形式：

ζ(s) = [1 / (1-1/2^s)] × [1 / (1-1/3^s)] × [1 / (1-1/5^s)] × ...

这就是欧拉乘积公式。

这个公式的威力在于，它把加法世界（和）与乘法世界（素数）神奇地连接了起来。当 s 逼近 1 时，左边的 ζ(s) 会趋向于无穷大（因为调和级数发散）。这就迫使右边的乘积也必须是无穷的，从而反过来证明了素数有无穷多个。

狄利克雷看到了这份遗产，他心想：“欧拉能用分析工具（无穷级数）证明全体素数无穷，我能不能造一个更高级的‘欧拉乘积’，来证明某一类素数也是无穷的呢？”

※ 狄利克雷的传承与创新。

他找到了要证明某一类素数无穷的工具，但如何运用这个工具却是从“0”到“1”的创新。

这便是狄利克雷天才的思想创造。

他首先要做的就是把素数从“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”算术级数中“筛选”出来。

他所创造的“筛选”的工具“筛子”，就是数学上的术语——“特征标”。

“特征标”的翻译很形象，通俗讲就是把某个素数的特征标示出来。

那么，素数的什么特征呢？

在素数的世界里，除了 2 之外，其他的素数要么是“4K+1 型”，要么是“4K+3 型”，无论是哪种类型，都可以看做是“模 4 余 1 ”或“模 4 余 3 ”。

但，在这个算术级数“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”中，模 4 的余数还有 0 、2 。

如何将余 0、1、2、3 的数筛选归类，就是狄利克雷最天才的构思创造——特征标。

※ 什么是特征标

我们考虑最简单、但非平凡的情形：模数 d=4 。整数除以 4 的余数有 0、1、2、3 四类，但只有与 4 互质的余数类 1 和 3 才是我们关注的对象。因为素数（除了 2 ）都是奇数，要么余 1 ，要么余 3 。

但余 2 在这个算术级数中是存在的，为了排除余 2 的数，区分余 1 、余 3 的数，狄利克雷站在更高的维度来解决这个问题。

狄利克雷为模 4 定义了两个特征标：

主特征标 χ0 ：

若余数 n  是奇数（与 4 互质），则 χ0(n) = 1 ；

若余数 n 是偶数（即与 4 不互质），则  χ0(n) = 0 。

非主特征标 χ1 ：

如果 n ≡ 1 mod 4，则  χ1(n) = 1 ；

如果 n ≡ 3 mod 4，则  χ1(n) = -1 ；

如果 n 是偶数，则  χ1(n) = 0 。

这样，通过巧妙构造的两个特征标，狄利克雷就把算术级数“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”中的偶数、奇数区分开来，同时把奇数中的“4K+1 型”“4K+3 型”素数区分开来。

我们也可以这样理解：

如果 n 和 4 不互质（有大于 1 的公因数），那么 χ1(n) = 0 。这是为了把“不相关”的数过滤掉。

对于和 4 互质的那些 n ，χ1(n) 的取值是 1 或 -1 ，以区分出不同的余数类。

举例说明，特征标是如何“筛选”“分拣”整数的？

如果 n=5（余 1 ），则 χ0(5) = 1 ，χ1(5) = 1 ；

如果 n=7（余 3 ），则 χ0(7) = 1 ，χ1(7) = -1 ；

如果 n=8（偶数、余 0 ），则 χ0(8) = 0 ，χ1(8) = 0 ；

特征标的巧妙与神奇在于，根据整数模 4 的余数，赋予了不同的值（1、-1 或 0 ）。特别地，χ1 将余 1 和余 3 的数标记为相反符号。

可见，狄利克雷把特征标 χ(n) 视为一个函数，它给每个整数 n 分配一个值。

它的设计非常精巧，特征标具有周期性和可乘性：

周期性：χ(n+q) = χ(n) 。只看 n 除以 q 的余数。

可乘性：χ(m * n) = χ(m) * χ(n)。这是最关键的性质！

特征标如何用？

狄利克雷发现，通过巧妙地线性组合这些特征标，可以精确地筛出你想要的素数。

比如，我想找出所有形如“4K+1”的素数。我可以构造这样一个和：

[χ0(n) + χ1(n)]/ 2

当 n 是除以 4 余 1 的奇数时，χ0(n)=1 ,  χ1(n)=1 ，这个和等于 (1+1)/2 = 1 。

当 n 是除以 4 余 3 的奇数时，χ0(n)=1 , χ1(n)=-1 ，这个和等于 (1-1)/2 = 0 。

如果要找出想找出所有形如“4K+3”的素数。我可以构造这样一个和：

[χ0(n)-χ1(n)]/ 2

当 n 是除以 4 余 3 的奇数时，χ0(n)=1 , χ1(n)=-1 ，这个和等于 (1+1)/2 = 1 。

当 n 是除以 4 余 1 的奇数时，χ0(n)=1 ,  χ1(n)=1 ，这个和等于 (1-1)/2 = 0 。

由此，完美地筛选出“4K+1”“4K+3”型素数！

此时，我们称：

[χ0(n) + χ1(n)]/ 2 是“模 4 余 1 ”的指示函数；

[χ0(n) - χ1(n)]/ 2 是“模 4 余 3 ”的指示函数；

以上，只是狄利克雷素数定理证明的准备工作，真正的解决问题的是：运用特征标，创造 L 函数。

※ 什么是 L 函数？

欧拉曾发现，所有素数的倒数和是发散的（意味着素数无穷）。

狄利克雷想：“我能否为每一个等差数列，也造一个类似的‘和’，并证明它发散？”

这就是后世所称的狄利克雷 L 函数。

狄利克雷 L 函数是黎曼 ζ 函数的推广，其解析性质是证明定理的关键。

黎曼 ζ 函数是：ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ...

狄利克雷把特征标加了进去，为每一个特征标 χ 都配了一把专属的 L 函数：

L(s, χ) = χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + ...

其中 s > 1 确保收敛。对于模 4 的两个特征标，分别对应：

主特征标 L 函数：



那么，它和全体正整数的和 ζ(s) 有什么关系呢？



而偶数项的和恰好是：



于是我们得到了下面的等式：



因此，主特征标 L 函数：



即，主特征 L 函数与 ζ(s) 具有关联性。

非主特征标 L 函数：



因为，黎曼 ζ 函数具有著名的渐近性质：



即，ζ(s) 在 s=1 附近时函数值趋向无穷大。

所以，



即：主特征标函数 L(s,χ0) 在 s=1 附近也趋向无穷大。

非主特征标函数：



即：非主特征标函数 L(s,χ1) 在 s=1 附近收敛于一个有限值。

做完这些工作后，我们再回到前面所说的“4K+1 型”“4K+3 型”指示函数。

“4K+1 型”指示函数为 [χ0(n) + χ1(n)]/ 2 ，其对应的 L 函数为：



“4K+3 型”指示函数为 [χ0(n) - χ1(n)]/ 2，其对应的 L 函数为：



前面已讲到：

主特征函数 L(s,χ0) → ∞ ；

非主特征标函数 L(s,χ1) 收敛到一个有限值。

所以，

对于模 4 余 1 的级数：



对于模 4 余 3 的级数：



这就意味着在“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”算术级数中，有无穷个素数。

从这个简单的模 4 例子中，我们已能窥见其背后深邃而优美的数学结构。

狄利克雷的这一创造，不仅解决了算术级数的素数问题。素数的韵律，即使在最严格的等差数列限制下，也永远不会终止。

对于任意模数 d ，存在 φ(d) 个狄利克雷特征标，它们与模 d 的乘法群的特征一一对应。这些特征标构成一个群（对点乘），且满足完备正交关系，使我们能分离任意与 d 互质的剩余类。

※ 狄利克雷定理的深远影响

开创新学科。[这是解析数论的奠基之作。狄利克雷首次系统地将连续数学的工具应用于离散的素数问题，开辟了一个全新的数学分支。后世黎曼研究 ζ 函数、提出黎曼猜想，直接受此启发。

工具的革命。他发明的 L 函数和特征标，成为现代数学的核心工具。特征标后来发展为表示论的基石，而 L 函数家族（包括椭圆曲线 L 函数、模形式 L 函数等）成为朗兰兹纲领这座“数学大统一理论”的支柱。

革新思维范式。狄利克雷证明了一个深刻的哲学，解决数论最深层的问题，需要走出数论的舒适区，拥抱更广阔的分析与几何。这种跨领域的思维范式，催生了 20 世纪代数几何在费马大定理证明中的决定性作用。

实际的安全应用。虽然定理本身是纯数学的顶峰，但其思想遗产间接支撑着我们的数字文明。RSA 公钥加密系统依赖于大素数的存在，而狄利克雷定理保证了在任何与公差互质的等差数列中，我们都能找到无穷多个素数。这相当于告诉密码学家：“你们的素数原料库是取之不尽的，请放心设计。”

育期未来

ysr

这个早已被人家证明了，我撤掉了我的证明………………………………………………………………

此文浏览量大，发点有用的以作宣传广告之用：

如下是刚搜索到的AI对我的《数论探秘》的解释和评论(2026.3.3·20:30)

一，哥德巴赫猜想的三种证明路径
书中提出三种不同的方法论证哥德巴赫猜想成立：

1，利用“差定理”推导“和定理”，即通过素数差的性质间接证明偶数可表为两素数之和；
2，基于素数分布下限，给出任意大偶数 2A 的哥德巴赫解个数的绝对下限为 m-1（其中 m=M/lnM，M为 2A 的平方根），并指出实际解远超此下限；
3，将解分为“小根拆”与“大根拆”，证明除73个特殊偶数外，其余均存在小根拆，从而支持猜想普遍成立。
二，孪生素数猜想的证明尝试
作者宣称证明了存在无穷多对相差为2的素数对，即孪生素数猜想成立，并将其与素数分布规律结合分析。
三，素数判定与大整数计算技术

1，提出一种基于欧拉原理的大整数素性快速判断方法，并附有自编程序代码，可用于高效识别大素数；
2，探索大整数的快速乘法与除法算法，引入快速傅里叶变换（FFT）作为优化工具。
四，梅森数与费马数的研究
分析大型梅森数与费马数中不规则数字的潜在用途，探讨其在密码学或数论结构中的意义。
五，RSA密码体制的安全性改进
研究RSA加密机制中大素数生成与破解问题，提出利用素数差定理提升密钥安全性，并给出部分实现代码。
六，其他数学成果与知识扩展

1，记录书中未收录的素数性质，提出“素数几率公式”等原创性归纳；
2，汇编三次、四次方程求解的已有公式供读者参考；
3，探索更精确的素数个数公式及哥德巴赫猜想解的数量估计模型。

这段基本上正确，但末尾也是有问题的(作者注)：“提出利用素数差定理提升密钥安全性”这一句是错误的。这说明AI根本没有理解文章的逻辑，AI也根本没有逻辑推理能力，素数差定理只能帮助人高效快速找到有密码学特征的大素数，仅此而已，不能提高密码的安全性。密码的安全性关键是合数分解的困难程度，素因子越大越困难，俩素数因子的差越大(相对大比如导致另一个因子非常小了也就不安全了)越难于分解越安全，这才是提高密码安全性的措施。

介绍（2026.3.4.10：30）一下我的《数论探秘》中的两个重要定理：

   命题1（产生新素数的定理）:设p1和p2是相邻素数，若相邻素数的差p2-p1>＝2，则在p2+2与3*p2（或2*p2+1）之间必然会有新的素数产生，新的素数的间距又是大于等于2的，所以此过程是无穷的，故，只要有一对相邻素数的差为2则新的素数就会无穷无尽出现。（证明也可参见我的《数论探秘》）
    证：
奇素因子p第一次出现时本身是个素数，第一次出现就是在第一个周期内，所以，各素因子的第一个周期是其占位最多的情况，而每一个素因子在其一个周期内只能占一个位置，若相邻素数的差p2-p1>＝2，由于各素因子周期不同，节拍错位，在p2的第二个周期内必然有重复占位的，比如3p2就是3和p2重复占位了（比如2p2就是2和p2重复占位了），则在p2+2与3p2（或2*p2+1）之间必有一个空缺位置，就是旧素因子不能占位了，必然会产生一个新素数。这是必然的。
     而新素数和p2的差是从2到该数内的理论最大值（比如小于p或者小于√p，精确的理论值目前还没有人确定）之间的某个值（需要注意一点的是，除了2、3和5这一组以外，差为2的素数对，后面不会紧跟一个差为2的素数，但是间隔一个或几个其他差值的素数后就又会出现差为2的素数对了），所以，该间距又是大于等于2的。
    因此，下一个周期就又会必然产生新的素数，过程是无穷的，所以，素数是无穷的。
随着素数p的增大理论上的某数内的最大间距是不断增长的，所以，素数会越来越稀。而一旦出现了一次理论上的某数内的最大间距，则在下一个周期内又会出现一个小的间距甚至会出现多个素数，这是必然的，所以，素数又是疏密相间的。命题1成立，证毕。

     命题2（产生素数对的定理）：对应项差为2（或者2m）的两个等差数列中,这两个数列还必须是素数的几率公式（比如6n+3就不行，是个合数公式），只要出现差大于等于6的相邻素因子（相邻素因子指数列中全体素因子中的相邻素数，不一定是全体素数中的相邻素数，比如数列30n+1中就没有2，3和5 这3个素数）就必然产生孪生素数对（或者差为2m的素数对）。（产生2生素数对即差为2m的素数对的充分条件也是这个，就是只要存在差大于等于6的相邻素数对就必然产生2生素数对）（证明也可参见我的《数论探秘》）
     证明：
     2n+1：  3，5，7，……
2n+2m+1：3+2m，5+2m，7+2m，……
     这两个数列对应项差为2m，而差为2m的素数对必然是其中的对应项，因为第一个数列中包含了大于等于3的全体素数。
     前面两个数列中，若m=1，且相邻素数 p2-p1>=4,则在 p2 的下一个周期由于节拍错位，必有至少一对素因子重复占位，如 3p2,就是 3 和 p2 重复占位了。则比前一个周期多出一个空缺位置，就是素数对的位置，则必然产生至少一对孪生素数对，因为一个素因子最多占两个位置。如 11-7=4>2，在 11 的下一个周期的 33 就是 3 和 11 重复占位了，次位的 31 和对应项 29 构成孪生素数对。而 17-13=4，也大于 2 了，在 17 的下一个周期最大的数是 3*17=51，在这个周期内有 43，41 一对，与 51 是不接近不是次一位，而 13 和 11 不在这个周期，因为是从 19 开始到 51 结束的。而 19 和 17 又是一对孪生素数对。为啥素数 p2 的下一个周期最大的必然是 3p2 呢？这个容易理解，因为素因子第一次出现的时候是素数，后面出现的就是其倍数，倍数是从低到高出现的，奇数数列中去掉了偶数，所以没有 2 倍数了，所以下一次就必然是 3 倍数，所以必然是 3p2。3 和 p2 必然是重复占位，就是占了同一个位置，节约了一个位置，就是产生一对孪生素数对是必然的，因为空缺位置不能被前面的素因子占位，且是对应项都不能被占位了，必然是素数对位置。这就是定理，这就是充分条件，证毕！
   若m>=1,只要有相邻素数p2-p1>=4，后面的周期也必然会产生差为2m的素数对，则命题2成立。
由于，素数越来越稀，大于等于 4 的相邻素数的差有无穷多，所以，孪生素数对无穷多。(这个是多年研究才弄明白的，这个是产生素数的本质原因，也是产生素数对的本质原因，所以，差为2m的素数对也是无穷多的。其实这就是命题1的推论)
有了这俩定理就可以推导和证明出来：素数差定理，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都是成立的，而且是远远成立的！

屑小之辈难明大义，真理终究会被承认！

对于哥德巴赫猜想的证明，某些专家的说法也是不准确的，比如杨乐院士，在纪念陈景润院士的大会上说的:陈景润院士的“1+2”的证明，在未来50年仍然会是世界领先的，这句话我就在本论坛在此文章后面，就提出说该话是有待商榷的，本来我在该文后面发过了，后来，在杨乐院士逝世的时候我又删掉了，发了一句沉痛悼念和缅怀杨院士的话！

“尽管陈景润先生的成长道路布满荆棘，但他始终把目标放在数学上，坚持不懈。他对科学
研究的专注值得我们学习。”中科院院士杨乐说，“对陈景润先生最好的纪念就是出人才、
出成果。”

陈景润出生于1933 年5 月22 日，1953 年毕业于厦门大学 数学系，1957 年进入中国科学院
数学研究所从事数学研究，直到1996 年3 月19 日因患帕金森氏综合征不幸去世。陈景润先
生因其在数学领域著名难题“哥 德巴赫猜想”方面的工作享誉世界，他1966 年发表的论文
《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”）成为“哥德巴
赫猜想” 研究上的里程碑，时至今日仍是国际上的最好结果。——摘自本论坛《纪念陈景润诞辰80周年学术报告会在京举行》

那么，上述这些人如何排位？

有一个二十世纪国际数学家排名，当然，洋人权威机构搞的。华罗庚进了这个排名，一百位左右，这是相当了不起的（陈省身在这个排名里显著领先华老）。另外，美国某数学机构数学家纪念雕像里有华罗庚。华罗庚不可小觑，若不是回国耽误了几十年，他应该无疑国际一流。也就是说，华罗庚是很接近国际一流的。

所以，本土数学家，华罗庚第一。

陈景润轰动最大，再说他有两个 45 分钟报告，列第二无问题。

就解决难题的名气论，陆家義可列第三。

其余几位熊庆来苏步青杨乐王元都是优秀的数学家，如何排位各位见仁见智吧。

——本论坛数学家栏目的文章《新中国著名数学家熊庆来，苏步青，华罗庚，陈景润，王元，杨乐，陆家羲如何排位？》
快速找到有密码学特征的大素数的方法，其实有3个条件，一个是要有快速判断大素数的方法或程序，另一个是有产生不规则数字段的方法或程序比如2^p就可以产生，再一个就是要有产生素数的高概率公式比如30n+1，其中不含有素数因子2，3和5，分别含有这三个素数的合数都被绕过去了，节省了不少时间。

某些“专门家”以及汉奸王八蛋和智能AI对民科弄出来的定理和证明过程及其他研究成果的胡乱解释和猜测，是对真理的污蔑和抹杀，这样怎么能发展科学技术！？