狄利克雷：特定序列里“无穷素数”的提供者｜人人都读得懂的数论发展史漫谈（八）

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狄利克雷：特定序列里“无穷素数”的提供者｜人人都读得懂的数论发展史漫谈（八）

原创  育期未来  育期未来  2025 年 12 月 10 日 08:58  浙江

数学知识是有逻辑的，数学发展也是有逻辑的。

狄利克雷的“算术级数的素数定理”就是对欧拉乘积公式的“高阶”推广和应用。

所以，要理解算术级数的素数定理，就必须弄懂欧拉乘积公式。



约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）：德国数学家，1805 年 2 月 13 日生于迪伦，1859 年 5 月 5 日卒于哥廷根；1855 年继任高斯担任哥廷根大学教授，同年被选为英国皇家学会会员；解析数论的奠基者，也是现代函数概念的定义者；代表作品《数论讲义》《定积分》等。

※ 狄利克雷到底解决了什么问题？

早在古希腊，欧几里得便以反证法，证明了素数有无穷多个。

然而，数学家的好奇心从不满足于笼统的结论。他们开始追问：若将这些素数按某种规律排列，是否依然无穷？

例如，观察以下序列：

4n+1：5, 13, 17, 29, 37, 41, …

4n+3：3, 7, 11, 19, 23, 31, …

直觉上，这些序列中似乎同样蕴含着无穷的素数。但如何证明？欧几里得的方法在此显得力不从心。

欧拉曾逼近这一问题，他通过对素数倒数和的研究，隐约嗅到了其中规律，却未能跨越最后的鸿沟。

狄利克雷要解决的问题比上面的举例更加抽象和一般化。（当然实质是一样的）

他解决的问题是这样的：

在一个长的像下面这样的数列里，是否有无穷个素数？

“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”（这就是“算术级数”）

条件：在这个算术级数里，首项 a 与公差 d 互质。

这个问题的学术表达就是：“首项与公差互质的算术级数中含有无穷多个素数。”

为什么条件要求 a（首项）与 d（公差）互质？如果二者不互质，这个算术级数全部是“合数”，没有一个素数。如果，a=3，d=6；那么，算术级数为“3，9，15，21，27，...”这不是证明的对象。

假设：a=1，d=4；

狄利克雷要解决的就是“1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...”这个数列是否像全体自然数一样，包含着无究个素数？

※ 这并非是无用的证明或废话？

欧几里得早就证明了素数有无穷多个。但“无穷多”这个整体性质，不一定能分配给它的每一个“部分”。素数在整数里的分布是出了名的“任性”，你怎么能保证它就会均匀地光顾每一个这样的等差数列呢？

所以，这是一个严肃的数学问题。

※ 欧拉乘积公式的遗产，狄利克雷素数定理的起点。

欧拉在研究“全体素数”无穷时，用了一个非常巧妙的方法。

他研究了这么一个级数：

ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... （这就是著名的黎曼 ζ 函数的雏形）。

他发现，这个和还可以写成所有素数的某种乘积形式：

ζ(s) = [1 / (1-1/2^s)] × [1 / (1-1/3^s)] × [1 / (1-1/5^s)] × ...

这就是欧拉乘积公式。

这个公式的威力在于，它把加法世界（和）与乘法世界（素数）神奇地连接了起来。当 s 逼近 1 时，左边的 ζ(s) 会趋向于无穷大（因为调和级数发散）。这就迫使右边的乘积也必须是无穷的，从而反过来证明了素数有无穷多个。

狄利克雷看到了这份遗产，他心想：“欧拉能用分析工具（无穷级数）证明全体素数无穷，我能不能造一个更高级的‘欧拉乘积’，来证明某一类素数也是无穷的呢？”

※ 狄利克雷的传承与创新。

他找到了要证明某一类素数无穷的工具，但如何运用这个工具却是从“0”到“1”的创新。

这便是狄利克雷天才的思想创造。

他首先要做的就是把素数从“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”算术级数中“筛选”出来。

他所创造的“筛选”的工具“筛子”，就是数学上的术语——“特征标”。

“特征标”的翻译很形象，通俗讲就是把某个素数的特征标示出来。

那么，素数的什么特征呢？

在素数的世界里，除了 2 之外，其他的素数要么是“4K+1 型”，要么是“4K+3 型”，无论是哪种类型，都可以看做是“模 4 余 1 ”或“模 4 余 3 ”。

但，在这个算术级数“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”中，模 4 的余数还有 0 、2 。

如何将余 0、1、2、3 的数筛选归类，就是狄利克雷最天才的构思创造——特征标。

※ 什么是特征标

我们考虑最简单、但非平凡的情形：模数 d=4 。整数除以 4 的余数有 0、1、2、3 四类，但只有与 4 互质的余数类 1 和 3 才是我们关注的对象。因为素数（除了 2 ）都是奇数，要么余 1 ，要么余 3 。

但余 2 在这个算术级数中是存在的，为了排除余 2 的数，区分余 1 、余 3 的数，狄利克雷站在更高的维度来解决这个问题。

狄利克雷为模 4 定义了两个特征标：

主特征标 χ0 ：

若余数 n  是奇数（与 4 互质），则 χ0(n) = 1 ；

若余数 n 是偶数（即与 4 不互质），则  χ0(n) = 0 。

非主特征标 χ1 ：

如果 n ≡ 1 mod 4，则  χ1(n) = 1 ；

如果 n ≡ 3 mod 4，则  χ1(n) = -1 ；

如果 n 是偶数，则  χ1(n) = 0 。

这样，通过巧妙构造的两个特征标，狄利克雷就把算术级数“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”中的偶数、奇数区分开来，同时把奇数中的“4K+1 型”“4K+3 型”素数区分开来。

我们也可以这样理解：

如果 n 和 4 不互质（有大于 1 的公因数），那么 χ1(n) = 0 。这是为了把“不相关”的数过滤掉。

对于和 4 互质的那些 n ，χ1(n) 的取值是 1 或 -1 ，以区分出不同的余数类。

举例说明，特征标是如何“筛选”“分拣”整数的？

如果 n=5（余 1 ），则 χ0(5) = 1 ，χ1(5) = 1 ；

如果 n=7（余 3 ），则 χ0(7) = 1 ，χ1(7) = -1 ；

如果 n=8（偶数、余 0 ），则 χ0(8) = 0 ，χ1(8) = 0 ；

特征标的巧妙与神奇在于，根据整数模 4 的余数，赋予了不同的值（1、-1 或 0 ）。特别地，χ1 将余 1 和余 3 的数标记为相反符号。

可见，狄利克雷把特征标 χ(n) 视为一个函数，它给每个整数 n 分配一个值。

它的设计非常精巧，特征标具有周期性和可乘性：

周期性：χ(n+q) = χ(n) 。只看 n 除以 q 的余数。

可乘性：χ(m * n) = χ(m) * χ(n)。这是最关键的性质！

特征标如何用？

狄利克雷发现，通过巧妙地线性组合这些特征标，可以精确地筛出你想要的素数。

比如，我想找出所有形如“4K+1”的素数。我可以构造这样一个和：

[χ0(n) + χ1(n)]/ 2

当 n 是除以 4 余 1 的奇数时，χ0(n)=1 ,  χ1(n)=1 ，这个和等于 (1+1)/2 = 1 。

当 n 是除以 4 余 3 的奇数时，χ0(n)=1 , χ1(n)=-1 ，这个和等于 (1-1)/2 = 0 。

如果要找出想找出所有形如“4K+3”的素数。我可以构造这样一个和：

[χ0(n)-χ1(n)]/ 2

当 n 是除以 4 余 3 的奇数时，χ0(n)=1 , χ1(n)=-1 ，这个和等于 (1+1)/2 = 1 。

当 n 是除以 4 余 1 的奇数时，χ0(n)=1 ,  χ1(n)=1 ，这个和等于 (1-1)/2 = 0 。

由此，完美地筛选出“4K+1”“4K+3”型素数！

此时，我们称：

[χ0(n) + χ1(n)]/ 2 是“模 4 余 1 ”的指示函数；

[χ0(n) - χ1(n)]/ 2 是“模 4 余 3 ”的指示函数；

以上，只是狄利克雷素数定理证明的准备工作，真正的解决问题的是：运用特征标，创造 L 函数。

※ 什么是 L 函数？

欧拉曾发现，所有素数的倒数和是发散的（意味着素数无穷）。

狄利克雷想：“我能否为每一个等差数列，也造一个类似的‘和’，并证明它发散？”

这就是后世所称的狄利克雷 L 函数。

狄利克雷 L 函数是黎曼 ζ 函数的推广，其解析性质是证明定理的关键。

黎曼 ζ 函数是：ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ...

狄利克雷把特征标加了进去，为每一个特征标 χ 都配了一把专属的 L 函数：

L(s, χ) = χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + ...

其中 s > 1 确保收敛。对于模 4 的两个特征标，分别对应：

主特征标 L 函数：



那么，它和全体正整数的和 ζ(s) 有什么关系呢？



而偶数项的和恰好是：



于是我们得到了下面的等式：



因此，主特征标 L 函数：



即，主特征 L 函数与 ζ(s) 具有关联性。

非主特征标 L 函数：



因为，黎曼 ζ 函数具有著名的渐近性质：



即，ζ(s) 在 s=1 附近时函数值趋向无穷大。

所以，



即：主特征标函数 L(s,χ0) 在 s=1 附近也趋向无穷大。

非主特征标函数：



即：非主特征标函数 L(s,χ1) 在 s=1 附近收敛于一个有限值。

做完这些工作后，我们再回到前面所说的“4K+1 型”“4K+3 型”指示函数。

“4K+1 型”指示函数为 [χ0(n) + χ1(n)]/ 2 ，其对应的 L 函数为：



“4K+3 型”指示函数为 [χ0(n) - χ1(n)]/ 2，其对应的 L 函数为：



前面已讲到：

主特征函数 L(s,χ0) → ∞ ；

非主特征标函数 L(s,χ1) 收敛到一个有限值。

所以，

对于模 4 余 1 的级数：



对于模 4 余 3 的级数：



这就意味着在“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”算术级数中，有无穷个素数。

从这个简单的模 4 例子中，我们已能窥见其背后深邃而优美的数学结构。

狄利克雷的这一创造，不仅解决了算术级数的素数问题。素数的韵律，即使在最严格的等差数列限制下，也永远不会终止。

对于任意模数 d ，存在 φ(d) 个狄利克雷特征标，它们与模 d 的乘法群的特征一一对应。这些特征标构成一个群（对点乘），且满足完备正交关系，使我们能分离任意与 d 互质的剩余类。

※ 狄利克雷定理的深远影响

开创新学科。[这是解析数论的奠基之作。狄利克雷首次系统地将连续数学的工具应用于离散的素数问题，开辟了一个全新的数学分支。后世黎曼研究 ζ 函数、提出黎曼猜想，直接受此启发。

工具的革命。他发明的 L 函数和特征标，成为现代数学的核心工具。特征标后来发展为表示论的基石，而 L 函数家族（包括椭圆曲线 L 函数、模形式 L 函数等）成为朗兰兹纲领这座“数学大统一理论”的支柱。

革新思维范式。狄利克雷证明了一个深刻的哲学，解决数论最深层的问题，需要走出数论的舒适区，拥抱更广阔的分析与几何。这种跨领域的思维范式，催生了 20 世纪代数几何在费马大定理证明中的决定性作用。

实际的安全应用。虽然定理本身是纯数学的顶峰，但其思想遗产间接支撑着我们的数字文明。RSA 公钥加密系统依赖于大素数的存在，而狄利克雷定理保证了在任何与公差互质的等差数列中，我们都能找到无穷多个素数。这相当于告诉密码学家：“你们的素数原料库是取之不尽的，请放心设计。”

育期未来

ysr

在一个长的像下面这样的数列里，是否有无穷个素数？

“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”（这就是“算术级数”）

条件：在这个算术级数里，首项 a 与公差 d 互质。

这个问题的学术表达就是：“首项与公差互质的算术级数中含有无穷多个素数。”

为什么条件要求 a（首项）与 d（公差）互质？如果二者不互质，这个算术级数全部是“合数”，没有一个素数。如果，a=3，d=6；那么，算术级数为“3，9，15，21，27，...”这不是证明的对象。

假设：a=1，d=4；

狄利克雷要解决的就是“1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...”这个数列是否像全体自然数一样，包含着无究个素数？


这个命题用不着那么复杂的函数公式就可以严格证明！！