巧妙证明欧拉乘积公式等于黎曼 zeta 函数

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巧妙证明欧拉乘积公式等于黎曼 zeta 函数

原创  秦迷天下  秦迷天下  2025 年 11 月 21 日 11:54  湖南



左边是欧拉乘积公式，p 为素数，s>1 ，右边是黎曼 zeta 函数，其中 ζ 就是 zeta 的意思，就是鼎鼎大名的黎曼 ζ 函数。

大于 1 的自然数的无穷级数跟素数有着密切联系，这也是黎曼猜想素数分布的神奇所在。

这个式子也可以叫做欧拉恒等式（或者是欧拉的上帝公式之外的另一个恒等式），使用到的证明非常巧妙，我们一起来看下。

构造的这个等比数列，我们只需要中学知识就能够理解：



然后将 q 代入 2 ，3 ，5 这样的素数进去，发现规律。

左边比较简单，相乘就是欧拉乘积公式，主要是右边的情况。



我们可以在草稿纸上分别写出 2，3，5 ，前三个素数，然后将它们进行相乘，我们观察乘积项的分母，要么是素数 2，3，5 的 x 次方，要么是 2，3，5 的 n（2，3，4，...）次方的 x 次方。

我们来观察，正整数 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，... 中比较小的那些数哪些没有出现。1，2，3，4，5，8，9，16都有了。首先没有 6 ，那么这个“6”从哪儿来？我们乘开就可以知道是素数 2 的第二项 × 素数 3 的第二项 × 素数 5 的第一项“1”，分母就出现了 6 ，然后观察 7 ，7 是第四个素数，随意取到 7 的时候自然就会出现。接着看 10 ，它是“2”和“5”相乘，也可以知道这个 10 会出现在素数 2 的第二项 × 素数 5 的第二项 × 素数 3 的第一项“1”，分母就出现了 10 ，这样一个过程就能够理解，分母将出现所有的自然数。

当然我们对于素数基本定理熟悉的情况，那么理解就变得更加容易了。也就是图中说的唯一分解定理（算数基本定理），每个大于 1 的自然数都可以唯一地分解为若干质数的乘积。

换句话说，就是取遍所有素数并进行各种乘积组合，是能够得到全体自然数的。

这样的思维训练，对于中学生来说是非常有益的，更多各种数学思维尽在《数学思维》，分为初中版和高中版，大家可以根据情况选择。

秦迷天下