分数裂项拆分，就是这么简单！秒懂其中的原理与方法

luyuanhong

分数裂项拆分，就是这么简单！秒懂其中的原理与方法

原创  COCO  聪明的盒子  2025 年 12 月 22 日 06:30  北京

        把一个分数拆分成多个分数之和或差，在学习和考试中经常见到，也是学习中的难点，而把一个计数单位拆分成两个计数单位之和或差，又是其中最简单的一种，也是最简单的方法。

        看完本文，让你秒懂原理与方法。从此分数裂项不再难！

例题 1 ：请填写不同的自然数，使得等式成立：



【题目解析】我之前讲过如下类型题目的解法，不知道大家是否还记得？

方法：妙用数字”1“



        要把一个几分之一的分数分解成三个几分之一的分数之和，可以采用一个通用的方法：

        即，1=1/2+1/3+1/6 的方法，秒级完成这类题目。即：



        但是，本题分子不是 1 ，所以上面的通用方法似乎失效了，那该怎么做呢？

        我在这里给另一种通用思路。

解：原题我们可以把 19/198 这个分数按照分成三个分数的和的形式表达为：



        由此，我们可以知道：A+B+C=19 ，另外，因为要分解出来的三个分数的分子必须为 1 ，所以，A、B、C 三个数必须是 198 的因数！

        这样解题思路就变成了，寻找 198 的三个因子即可。用短除法来求因数：



        可以轻松得知，A、B、C 三个不同的数就是 2、6、11 ，所以：



例题 2 : 任意分数拆成多个 N 分之 1 的分数之和。完成如下等式的拆分：



【题目解析】很显然，这种任意分数，不满足上述两种方法的条件：

        （1）1=1/2+1/3+1/6

       （2）分母可以找到多个因子

        既然题目是分解为三项，那一定存在一个解，只是我们还没有找到合适的方法而已。

        那这种任意分数的拆分该怎么做呢？下面我介绍一种方法“扩分母找因子”

解：7/59 > 1/9（找一个距 59/7 最近的且大于 59/7 的整数，因为 7*9=63 ）

        也就是说：7/59=1/9+(  )/(  )

        所以：(  )/(  )=7/59-1/9 。得到括号中的数为：4/531

        于是：7/59=1/9+4/531

        同理：4/531=1/133+(  )/(  )  （4*133=532）

        所以：4/531=1/133+1/70623

答：



【总结】扩分母找因子：分母除分子，得到的商加 1（找最近的分数）。然后用原分数减去这个找到的分数，得到一个新的分数；再重复这一步骤即可。

例题 3 ：把一个分数拆成两个分数单位的和或者差。在下面两个等式中的括号中填入不同的自然数使等式成立。



【题目解析】采用分母分析法。

分母分析法的要点是寻找分母的 2 个因数，使得 2 个因数的和或差等于目标分子的值。

解：第一个等式（求和）中，分母 12 的因数有：1、2、3、4、6、12 五个数，易知，其中 3+4=7 。

        所以 7/12=1/3+1/4 。

        第二个等式（求差）中，30 的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 ，很快可得 10-3=7 。

        所以 7/30=1/3-1/10 。

答：



【总结】分母分析法适合于分母有因素的情况。是比较简单的状况，但是，当分母不能分解除因数的时候怎么办呢？如：



        于是，我们要寻找背后的道理。

        假设，拆分出来的两个分数的分母分别为 A 和 B（ B>A ，且 A≠B ），所以上式就可表为：



          1/A-1/B=(B-A)/AB ，有三种情况，分别讨论如下：

（1）目标数的分母是两个数的乘积，假如 B-A=1 ，也就是说 A 和 B 是两个连续的自然数。如 1/6=1/2-1/3 ，1/12=1/3-1/4 。

        可知，这种情况下，目标分母是连续两个自然数的乘积。这是一个特例，在很多地方会遇到，应该记住。特例可以表达为：



        这种情况不适合本题 1/3=1/( )-1/( ) 。

（2）目标数的分母是两个数的乘积，B-A≠1 ，如，1/3-1/7=4/21 ，那么如果要得到 1/21 。则，只需将（1/3-1/7）乘以1/4 即可。也就是说：1/21=1/12-1/28 ，即 1/(3*7)=(1/4-1/7)/(7-3) 。

        这种情况可以总结为：



（3）目标数的分母不可分解，如 1/3，1/7，1/19 ，等等。

我们可以利用上面的等式 1/AB =（1/A-1/B）/（B-A）来推导一下。

因为目标数的分母不可分解，所以可以令 A=1 ，上式就成为

1/B =（1-1/B）/（B-1）= 1/(B-1)-1/[B*(B-1)]，即



       回到例题。

例题 4 ：裂项练习。请在括号中填入不同的自然数，使等式成立。



解：采用分母分析法。目标分母是 3 ，不可分解，所以可以使用



的方式来解决。此处，B=2 ，秒出答案。



例题 5 ：裂项练习。请在括号中填入不同的自然数，使等式成立。



【题目解析】显然，这两道题的分母是可以找到很多个因数的，于是我们采用分母的因数分解法来解决（参考例题 1 及解析）

解：先看这道题



        49 的因数有：1、7、7、49 。但是这四个因数都无法相减得到目标分子的值 3 。但存在：7-1=6 ，而 6 是 3 的两倍，于是问题因人而解了，我们可以将原数的分子分母同时扩 2 倍，原式就成为 6/98 ，

        采用例题 1 的思路可迅速得到答案：

        3/49=6/98=7/98-1/98=1/14-1/98 。



        同理：45 的因数有：1、3、5、9、15、45 。

        7/45=14/90=15/90-1/90=1/6-1/90  。



【总结】采用扩倍法，在分母的因数中寻找因数相减得到目标分子数的两个因数

例题 6 ：裂项练习。请在括号中填入不同的自然数，使等式成立。



【题目解析】这是一个拆分成三个几分之一的数的和或差的题目。看到这类题目不用着急，我们把这三个分数分开来求就行了。

解：

        应用分母分析法，参见例题 4 ，我们可以方便地得到

        1/3=1/2-1/6 。



        我们先来求第一题：1/3=1/2-[1/( )-1/( )]，注意加括号后的变号。

        问题成为，求 1/6=1/( )-1/( ) ，参照例题 3 的总结。因为我们的 1/6 是从 1/3 得来的，不能再用 6 的因数 2、3 来分拆，所以要用例题 3 的第（3）方式来求解，可轻松得知：1/6=1/5-1/30 。

        所以，第一题就解决了：   1/3=1/2-1/5+1/30  。

        再看第二题：1/3=1/2-[1/( )+1/( )] ，注意加括号后的变号。

        问题成为，求 1/6=1/( )+1/( ) ，参照例题 3 的总结，同样，不能简单地用 6 的因数 1、2、3、6 来求解（因为它们任意 2 个数的和都大于 1 ），所以要再考虑扩倍法，可轻松得知： 1/6=3/18=2/18+1/18=1/9+1/18 。

        所以，第二题就解决了：1/3=1/2-1/9-1/18 。

答：



【总结】分步计算，注意变号。第二步开始注意不能用前几步已经用过的规则。

例题 7 ：裂项练习。请在括号中填入不同的自然数，使等式成立。



【题目解析】与例题二相似，但是注意，第三项是差，不是和。

解一：采用例题 3 的思路（扩倍法+分母分析法）

8/27=80/270=81/27-1/270 。

81/270=27/270+54/270=1/10+1/5 。

所以：8/27=1/10+1/5-1/270 。

解二：这里介绍一种更为直接的方法（结合小数法）

8/27=(2.7+5.4-0.1)/27=1/10+1/5-1/270 。

例题 8 ：裂项练习。请在括号中填入不同的自然数，使等式成立。



解：采用例题 3 中总结的（3）分步求解即可

1/11=1/10-1/110

=1/9-1/90-1/110

=1/8-1/72-1/90-1/110  。

答：



例题 9 ：裂项练习。请在括号中填入不同的自然数，使等式成立。



解：采用分母分析法。

50 的因数有：1、2、5、10、25、50 。

可知：1+2+5+25=33 。

所以：33/50=1/50+2/50+5/50+25/50=1/50+1/25+1/10+1/2 。

答：



        只有抓住分数的特点，进行有针对性的变形，才能取得立竿见影的效果。当然还有其他的转化形式，在此不再赘述。

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