百年数学大神柯尔莫哥洛夫

luyuanhong

百年数学大神柯尔莫哥洛夫

原创  劳旺  冷眼贱客  2025 年 12 月 27 日 04:36  美国

柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903–1987）是20世纪最杰出的数学家之一。他的工作具有罕见的广度与深度，其超过500篇的著作列表本身就是一部现代数学的微型发展史。柯尔莫哥洛夫的研究几乎触及了现代数学的每一个核心分支，他总能以独创性的观点切入问题，并用简洁深刻的论述带来革命性改变。他不仅是现代概率论的奠基人，以公理化体系为概率论奠定了严格的数学基础，从而深刻改变了整个科学界对随机现象的理解和表达方式。他还以卓越的原创性研究推动了现代数学其他数个重要分支的发展，其学术成就横跨概率论、动力系统、拓扑学、数理逻辑、信息论、湍流理论、计算复杂性理论等多个领域。在数学史上，柯尔莫哥洛夫被公认为苏联数学黄金时代的代表人物，其影响深远，遍及许多现代数学分支。在许多学者眼中，他是继庞加莱（Poincaré）和希尔伯特（Hilbert）之后，数学史上最后一位能够俯瞰并通晓数学全貌的“通才”。在莫斯科学派的众多数学家眼里，柯尔莫哥洛夫更是被置于与牛顿、欧拉、高斯、黎曼、庞加莱之列的大神层级中。



生平概述

柯尔莫哥洛夫于 1903 年 4 月 25 日出生于俄罗斯坦波夫省的一个小镇，位于莫斯科东南约 500 公里处。他的身世颇具悲剧色彩，他的母亲未婚先孕，在生下他后不久便去世。关于他的父亲，人们知之甚少。据说他是一名农学家，因参与反对沙皇的革命运动而被流放到圣彼得堡以外的雅罗斯拉夫尔省，不仅后便失踪。柯尔莫哥洛夫主要由两位姨妈在雅罗斯拉夫尔附近的其外祖父的庄园里抚养长大，他的外祖父是一位富有的贵族。

尽管童年动荡，他很早就展现出了惊人的智力天赋。早年在乡村学校学习时，他就展现出惊人的天赋。他最早的文学作品和数学论文发表在学校的期刊《春燕》上。他五岁时便是校报数学部分的“编辑”。他在六岁时发表了自己的第一篇数学“论文”：总结了自己观察到的奇数数列之和等于某数的平方这一规律。他还曾设计出让老师都难以找出错误的“永动机”。

1920 年，他进入莫斯科国立大学和门捷列夫莫斯科化学技术学院学习。柯尔莫哥洛夫以其渊博的学识而闻名。起初他主修最感兴趣的俄国历史，并参加了俄罗斯历史学家 S. V. Bakhrushin 的研讨会。他曾通过分析诺夫哥罗德地区的税收记录，完成了一篇关于 15-16 世纪诺夫哥罗德财产制度的学术论文，意欲推翻当时主流历史学家的观点。然而，当他将论文提交给 Bakhrushin 教授时，教授告诉他：“在历史领域，要建立一个观点学说，仅仅一个证明是不够的，你至少需要提供五个。” 这句话让追求逻辑严密和唯一真理的柯尔莫哥洛夫感到失望。于是他决定转向了那个“一个证明就足够了”的领域——数学。

柯尔莫哥洛夫这样回忆这段时期：“我进入莫斯科大学时已经掌握了相当多的数学知识。我尤其了解集合论的入门知识。我阅读了数学百科全书中的许多文章，并补充了这些文章中过于简略的内容。” 而数学也很快成为他绽放才华的舞台。他成为了莫斯科数学学派领袖尼古拉·卢津（Nikolai Luzin）的学生。1922 年，年仅 19 岁的柯尔莫哥洛夫就构造了一个几乎处处发散的傅里叶级数，这一反直觉的结果震动了数学界，让他开始获得国际声誉。柯尔莫哥洛夫 1925 年本科毕业，他发表了关于直觉主义逻辑的著作《论排中律》，他在其中证明，在某种解释下，所有经典形式逻辑的命题都可以用直觉主义逻辑的命题来表达。此后柯尔莫哥洛夫对概率论产生了兴趣。

1929 年，柯尔莫哥洛夫获得莫斯科国立大学哲学博士学位。于 1931 年成为莫斯科大学教授。



1936 年苏联大清洗期间，柯尔莫哥洛夫的博士导师卢津成为斯大林政权重点打击的对象，史称“卢津事件”。柯尔莫哥洛夫和其他几位卢津的学生作证指控卢津抄袭、任人唯亲和其他形式的不当行为。听证会最终认定卢津是“法西斯主义科学”的仆从，因此是苏联人民的敌人。卢津失去了学术职位，但奇怪的是，他既没有被逮捕，也没有被开除出苏联科学院。

1939 年柯尔莫哥洛夫当选为苏联科学院院士。此后，他一直活跃于科研、教学与学术组织工作。柯尔莫哥洛夫不仅是科学界的杰出发现者，更是伟大的教育家。他长期担任莫斯科国立大学力学与数学系的系主任，以及概率、统计和随机过程系以及数理逻辑系的系主任。他亲手培养了大批杰出的数学家，其学生名单如同数学界的名人堂，包括阿诺尔德、辛钦、盖尔范德、庞特里亚金、丁金、西奈等。柯尔莫哥洛夫秉持的教育理念是强调直觉与严谨并重。他常常带着学生去郊外滑雪、远足，在运动中讨论最高深的数学问题。他认为：“不仅仅要教会学生证明定理，更要教会他们如何提出问题。”

晚年，柯尔莫哥洛夫将重心转向了对儿童的教育，尤其是在文学、音乐和数学方面，积极参与了天才儿童教育方法的开发。他参与编写中学教材，曾亲自为高中生授课，通过引导他们绘制向量场的积分曲线等方式来启发思维。他并创办了著名的莫斯科第 18 寄宿学校，致力于天才少年的培养。

柯尔莫哥洛夫的学术生涯贯穿了苏联的复杂历史时期。在“李森科主义”否定孟德尔遗传学的逆流中，他仍勇敢地发表文章，用统计方法为孟德尔定律辩护。1971 年，柯尔莫哥洛夫参加了乘坐“德米特里·门捷列夫”号研究船进行的海洋考察。晚年，他也将大部分精力投入到抽象和应用领域概率论的数学和哲学关系的研究中，并为《苏联大百科全书》撰写了多篇文章。

柯尔莫哥洛夫于 1987 年在莫斯科去世，享年 84 岁。

学术生涯和成就

1930 年，刚刚获得博士学位的柯尔莫哥洛夫进行了他的第一次长途海外旅行，前往当时的世纪数学中心哥廷根，后又去和慕尼黑，然后到达巴黎。他在哥廷根与多位科学家进行了学术交流，首先是与理查德·库朗及其学生合作研究极限定理，证明了扩散过程是离散随机过程的极限；然后是与赫尔曼·外尔讨论直觉主义逻辑；最后是与埃德蒙·兰道讨论函数论。

1933 年，柯尔莫哥洛夫出版了他的经典著作《概率论基础》，奠定了现代概率论的公理化基础。在此之前，概率论虽有广泛应用，但缺乏严格的数学基础，常被视作“应用数学”或“经验科学”。柯尔莫哥洛夫以测度论为工具，将概率定义为满足可数可加性的测度，将随机事件视为样本空间的子集，随机变量则为可测函数。再用三条简洁的公理为概率论建立了如同欧几里得几何般严格的逻辑基础。这项工作不仅解决了希尔伯特第六问题中关于概率论公理化的部分，更将概率论从一种带有哲学色彩的“学问”，彻底转变为一门坚实的数学分支。这一公理体系使得概率论成为现代分析学的一个严密分支，为其后的大数定律、中心极限定理、随机过程（如马尔可夫链、布朗运动）等理论的发展铺平了道路。今天，这一公理化框架已成为所有现代概率教材的标准起点。

随后，柯尔莫哥洛夫对独立随机变量和的极限行为进行了系统研究，给出了大数定律成立的充要条件（柯尔莫哥洛夫强大数定律），并发展了特征函数方法，对中心极限定理的条件作出精确刻画。他还研究了连续时间随机过程（如扩散过程）的构造问题，为后来伊藤清的随机微积分奠定了基础。

从 1930 年代中期开始，柯尔莫哥洛夫与其挚友帕维尔·亚历山德罗夫（Pavel Alexandrov）开始了对上同调理论（Cohomology Theory）的共同探索，使拓扑学完成了从“组合拓扑”向现代“代数拓扑”的关键转型。虽然两人在这个具体领域联名发表的论文并不多，但数学史学家公认，这一理论是他们在长期密切交流中思想共振的产物。1935 年在莫斯科举行的国际拓扑学大会，是这一合作成果的高光时刻，也是现代代数拓扑的诞生礼。亚历山德罗夫作为会议的主要组织者和精神领袖，宣讲了自己对拓扑学未来的宏大构想。而柯尔莫哥洛夫在会上正式宣读了关于上同调环的关键论文。与此同时，美国的 J.W. Alexander 也在普林斯顿独立做出了类似发现（因此该理论常被称为 Alexander-Kolmogorov 上同调理论）。

1936 年，柯尔莫哥洛夫推广了洛特卡-沃尔泰拉捕食者-猎物模型，对生态学领域做出了贡献。

在 1938 年的一篇论文中，柯尔莫哥洛夫“建立了平稳随机过程的平滑和预测基本定理”——这篇论文在冷战期间具有重要的军事应用价值。第二次世界大战期间，柯尔莫哥洛夫通过将统计理论应用于炮火射击，为苏联的战争努力做出了贡献。他开发了一种用于防空高射气球的随机分布方案，旨在帮助莫斯科在莫斯科战役期间抵御德国轰炸机。在对随机过程，特别是马尔可夫过程的研究中，柯尔莫哥洛夫和英国数学家西德尼·查普曼独立地发展了一组关键方程，这些方程被称为 Chapman-Kolmogorov 方程。

后来，柯尔莫哥洛夫的研究兴趣转向了湍流，并于 1941 年开始发表相关论文。他提出了著名的“K41 理论”（Kolmogorov 1941 theory），这是湍流研究中第一个也是最重要的普适性理论，至今仍是理解流体混沌行为的基石。他基于能量级串的物理直觉，结合量纲分析，提出在高雷诺数下，小尺度湍流具有普适性，并导出了著名的“五分之三律”：能量谱密度与波数的 -5/3 次方成正比（E(k) ∝ k^(-5/3) ）。尽管后来发现真实湍流存在间歇性偏差，但 K41 仍是湍流建模和实验分析的基准，其思想深刻影响了物理学与工程学。

柯尔莫哥洛夫在 1954 年国际数学家大会上的报告中提出：在微扰下，某些近可积哈密顿系统仍保留不变环面（即准周期运动）。这一思想后由其学生阿诺尔德（Vladimir Arnold）和德国数学家莫泽（Jürgen Moser）严格证明，形成著名的 KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser theory）。KAM 理论解决了长期困扰天体力学的稳定性问题：为何即使存在引力摄动，太阳系依然能保持长期的准周期运动而不至于分崩离析。该理论成为现代动力系统理论的里程碑。

1957 年，在柯尔莫哥洛夫的指导下，他的学生阿诺德证明了任何连续多元函数可以表示为有限个连续单变量函数的叠加。柯尔莫哥洛夫随后完善了证明，彻底解决了希尔伯特提出的第 13 个问题。该结果被称为 Kolmogorov-Arnold 表示定理。这也展示了他在函数逼近论上的深厚功力。近来，一种基于该定理的新型神经网络架构，Kolmogorov-Arnold Networks (KAN)，被提出。与一般的深层网络算法相比，KAN 可以提供更大的灵活性、更高的准确性和更好的可解释性，但是往往需要更多的训练资源。这种模型尤其适用于符号学习任务和从数据中发现科学定律。它们有望应用于需要高可解释性和稳健性的领域，例如时间序列分类和混沌系统控制。



1960 年代，柯尔莫哥洛夫独立于美国学者所罗门诺夫（Ray Solomonoff）和蔡廷（Gregory Chaitin），提出了“算法复杂度”（现称柯尔莫哥洛夫复杂度）的概念：一个对象（如字符串）的复杂度等于生成该对象的最短程序长度。这一思想将信息论（香农熵）、随机性与可计算性（图灵机）联系起来，为随机性的定义提供了非概率的算法基础，成为算法信息论的基石。例如，一个序列是“随机的”，当且仅当其柯尔莫哥洛夫复杂度接近其长度。这一理论对计算科学、人工智能、密码学和哲学均有深远影响。



历史地位评价

柯尔莫哥洛夫以思想深邃、视野广阔、注重严格性与物理直觉的结合著称。他善于从具体问题中提炼普适结构，又能将抽象理论应用于现实世界。他不仅个人成就卓著，更作为导师和学术组织者，构建了莫斯科概率学派和动力系统学派，影响了几代数学家。柯尔莫哥洛夫的一生是 20 世纪科学精神的缩影：既追求真理的纯粹性，又关注现实世界的复杂性。他不仅重塑了概率论的面貌，更以其跨领域的洞察力，为现代科学提供了理解随机性、复杂性与确定性之间关系的关键工具。他完成的不仅是若干重要定理，而是为整个学科（尤其是概率论）提供了现代语言和逻辑基础。他的工作跨越纯数学与应用科学，体现了“数学统一性”的理想。在数学的万神殿中，柯尔莫哥洛夫无疑占据着最崇高的位置之一。法国大数学家让·迪厄多内称他为“最后一位通才数学家”。而柯尔莫哥洛夫的学生、著名数学家阿诺德更是将他与科学史的源头相连接：“柯尔莫哥洛夫 – 庞加莱 – 高斯 – 欧拉 – 牛顿，只有五个生命将我们与科学的源头隔开。” “柯尔莫哥洛夫是 20 世纪数学的太阳。”

从 20 世纪下半叶开始，数学知识爆炸式增长，学科分化极其细致，大多数数学家穷其一生只能在一个狭窄的子领域内耕耘。然而，柯尔莫哥洛夫在实变函数、逻辑学、拓扑学、概率论、泛函分析、经典力学、流体力学、信息论等几乎所有核心领域都留下了不可磨灭的印记。他之后，再无一人能以如此广度深耕各个数学分支。出生于 1900 年以后的数学家群体里，柯尔莫哥洛夫可以稳坐第一把交椅。

冷眼贱客