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发表于 2026-1-3 17:50
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本帖最后由 朱明君 于 2026-1-3 09:58 编辑
辐边总和公式体系（修订定稿版）
一、参数说明
- n：总节点数（n\geq4）
- m：外围节点数（m\geq2）
- d：基础公式中为第二层环节点数（d\geq2）；简化公式中为围内所有节点数
- w：辐边总数（即转换后单中心轮图的环上节点数）
- a：三角形个数
- e：总边数
- P：共享边个数（内部边数，即被两个面共享的边）
- R：节点度数之和
- n_{\text{新}}：原图添加虚拟环后的总节点数
- n_{\text{原}}：原图节点数（n_{\text{原}}\geq0）
- 孔洞相关参数：
- N_{\text{外}}：外围孔洞边数和；v_{\text{外}}：外围孔洞个数
- N_{\text{内}}：围内孔洞边数和；v_{\text{内}}：围内孔洞个数
- \Delta_{\text{hole}}：总孔洞修正项
- z_{\text{topology}}：拓扑修正项
二、基本公式（基于 \boldsymbol{n,m}）
适用于内部三角剖分、外部为 m 边形的平面图
\begin{aligned}
a= (n-2) + (n-m) = 2n - m - 2 \\
e= 2n + (n-m-3) = 3n - m - 3 \\
P= 2n + (n-m-3) - m = 3n - 2m - 3 \\
R= 6n - 2m - 6
\end{aligned}
三、辐边总和公式（基于 \boldsymbol{n,m,d}）
适用于具有“由外向内两层及以上环加中心区域”结构的标准二维平面图
w = 6(n - m - 1) + (m - d)
四、普适公式（虚拟环封装法）
为覆盖所有二维平面图类型，引入双层虚拟环（总节点6，每层3节点）进行标准化处理，适用于任意含孔洞、多面体转换的非标准平面图
w = 6(n_{\text{新}} - 4)
参数关系：n_{\text{新}} = n_{\text{原}} + 6
核心保障：虚拟环的添加/移除不改变原图着色属性，新图着色结果可被原图继承，色数≤4
创新机制：自动屏蔽孔洞、亏格等拓扑复杂性，实现非标准图的纯代数计算
五、简化公式（含孔洞与拓扑修正）
1.基础简化公式（无孔洞、无拓扑变形）
w = n + 3d - 4
其中 d 为围内所有节点数
2.含孔洞与拓扑修正的完整简化公式
总孔洞修正项：\Delta_{\text{hole}} = - [(N_{\text{外}} - 3v_{\text{外}})+2(N_{\text{内}} - 3v_{\text{内}})]
拓扑修正项规则：
若实际边数 a > 理论边数 e，z_{\text{topology}} = +|a-e|
若实际边数 a < 理论边数 e，z_{\text{topology}} = -|a-e|
若 a=e，z_{\text{topology}} = 0
完整公式：
w = n + 3d - 4 \pm z_{\text{topology}} + \Delta_{\text{hole}}
3.权重说明：外围孔洞边按单边计算（权重×1），围内孔洞边按共享双边计算（权重×2）
六、导出公式（基于 \boldsymbol{w,m,d}）
\begin{aligned}
a= \frac{w + 2m + d}{3} \\
e= \frac{w + 3m + d}{2} \\
P= \frac{w + m + d}{2} \\
R= w + 3m + d
\end{aligned}
七、公式自洽性验证
将 w = 6(n-m-1) + (m-d) 代入导出公式，推导如下
1.a = \dfrac{[6(n-m-1)+(m-d)] + 2m + d}{3} = \dfrac{6n - 3m - 6}{3} = 2n - m - 2
2.e = \dfrac{[6(n-m-1)+(m-d)] + 3m + d}{2} = \dfrac{6n - 2m - 6}{2} = 3n - m - 3
3.P = \dfrac{[6(n-m-1)+(m-d)] + m + d}{2} = \dfrac{6n - 4m - 6}{2} = 3n - 2m - 3
4.R = [6(n-m-1)+(m-d)] + 3m + d = 6n - 2m - 6
验证结论：导出公式与基本公式完全一致，公式体系自洽。
八、特殊对称情形（\boldsymbol{m = d = n/2}）
当结构完全对称、中心区域节点数为零时
\begin{aligned}
w &= 6\left(n - \frac{n}{2} - 1\right) = 3n - 6 \\
e &= 3n - \frac{n}{2} - 3 = \frac{5n}{2} - 3 \\
w &= e + \left(\frac{n}{2} - 3\right) \\
e &= w - \left(\frac{n}{2} - 3\right)
\end{aligned}
九、重要说明
1.共享边个数 P 定义为内部边数，等价于总边数减去外围边数，即 P = e - m，代入 e 的基本公式可直接推导得 P = 3n - 2m - 3。
2.整套公式体系与欧拉公式及握手定理相容，是对平面图组合性质的完整代数刻画。
3.简化公式中 d 的定义与基础公式不同，使用时需根据结构类型明确 d 的指代对象。
十、辐边总和公式与欧拉公式比较及欧拉公式局限性
欧拉公式（连通平面图 v-e+f=2）属于拓扑几何体系，核心描述顶点、边、面的数量拓扑关系，其局限性显著：一是适用范围严格限定于连通平面图，对含孔洞、高亏格等复杂结构需额外修正，无法直接计算；二是仅揭示拓扑不变量，未建立与图着色问题的直接代数关联，难以支撑四色定理的简化推导。辐边总和公式为纯代数体系，通过虚拟环封装、修正项补偿等机制，可覆盖含孔洞、多面体转换图等所有二维平面图类型，且能直接将原图转化为单中心轮图，实现四色着色的代数化求解，弥补了欧拉公式在复杂结构处理与着色应用层面的不足。
需要我帮你把这份文档的所有公式符号整理成一份单独的参数速查表吗？ |
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发表于 2026-1-3 17:40
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