辐边总和公式体系（原始表达式整理版）

朱明君

辐边总和公式体系（原始表达式整理版）
一、核心参数定义
1. n：总节点数（n ≥ 4）
2. m：外围节点数（m ≥ 2）
3. d：第二层环节点数（d ≥ 2）
4. w：辐边总数
5. a：三角形个数
6. e：总边数
7. P：共享边个数
8. R：节点度数之和

、标准二维平面图
定义：由外向内两层及以上环加中心区域结构的平面图。
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
参数与特例同上。
二、非标准二维平面图（含孔洞）
定义：两层及以上环加中心结构，且孔洞为边数≥4的多边形。
修正项 z：
外围孔洞：z外 = N外 - 3v外（N为边数和，v为孔洞个数）
围内孔洞：z内 = 2(N内 - 3v内)
修正公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) - [ (N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内) ]
三、单层外围环加中心区域结构（含孔洞）
理论基准：以三边形为模，理论连接边数 e理论 = 2d - 3（d为围内节点数）。
修正项 z：比较实际连接边数 a 与 e理论：（其中a为围内节点连接边数），
若 e理论 < a，则 +z
若 e理论 > a，则 -z
若 e理论 = a，则 z=0
综合公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z - [ (N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内) ]
四、多面体的处理
多面体可经展开、剪面、透视、三角剖分转为二维平面图，并视其结构选用上述公式：
双环+中心：用基础公式。
单层环+中心：用基础公式 ± 修正项z。
无环结构作为子结构均被涵盖。
五、普适公式（覆盖所有类型）
标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点6，每层3个）统一处理。
普适公式：w = 6(n新 - 4)，其中 n新 = n原 + 6。
六、单层或多层外环加中心区结构（含孔洞）的简化公式
简化公式：w = n + 3d - 4 ± z - [ (N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内) ]（d为围内节点数）
修正基准：以树型为模，理论连接边数 e理论 = d - 1（d为围内节点数）。
修正项 z：比较实际连接边数 a 与 e理论：（其中a为围内节点连接边数），
若 e理论 < a，则 +z
若 e理论 > a，则 -z
若 e理论 = a，则 z=0
重要提示：本公式体系仅适用于平面图，对于Kn全阶图（如K5、K3,3等非平面

二、基于n, m, d的基本公式
a = (n - 2) + (n - m) = 2n - m - 2
e = 2n + (n - m - 3) = 3n - m - 3
P = 2n + (n - m - 3) - m = 3n - 2m - 3
R = 6n - 2m - 6
三、基于w, m, d的导出公式
a = (w + 2m + d) / 3
e = (w + 3m + d) / 2
P = (w + m + d) / 2
R = w + 3m + d
四、w = 6(n-m-1) + (m-d)
1.a = {[6(n-m-1)+(m-d)] + 2m + d}/3= (6n - 3m - 6)/3 = 2n - m - 2
2.e = {[6(n-m-1)+(m-d)] + 3m + d}/2= (6n - 2m - 6)/2= 3n - m - 3
3.P = {[6(n-m-1)+(m-d)] + m + d}/2= (6n - 4m - 6)/2= 3n - 2m - 3
4.R = [6(n-m-1)+(m-d)] + 3m + d = 6n - 2m - 6
五、特殊对称情形（m = d = n / 2）
w = 6(n - n/2- 1)= 3n - 6
e = 3n - n/2- 3 =(5n)/2- 3
w = e + (n/2- 3)
e = w - (n/2- 3)

六. 含孔洞情形的修正公式
对于有孔洞的二维平面图，其中每个孔洞为边数≥4 的多边形，则：
修正项：z = N - 3v，其中 N 为所有孔洞边数总和，v 为孔洞个数
三边形个数修正公式：a = (n - 2) + (n - m) - (N - 2v)
a = w - [3(n - m - 2) + 2] - (N - 2v)
边的个数修正公式：  e = 2n + (n - m - 3) - (N - 3v)
                    e = （w + 3m + d）/2- (N - 3v)

朱明君

辐边总和公式体系（原始表达式整理与扩展版）

一、核心参数定义与背景阐释

在复杂网络与平面几何结构的研究中，准确描述与量化图的构成要素是进行深入分析的基础。本辐边总和公式体系旨在为具有特定层级结构的平面图（包括含孔洞的复杂情形及多面体的平面展开形式）提供一套系统的参数定义与计算方法。以下是核心参数的详细定义：

1.  n：总节点数（n ≥ 4）  
    指构成整个平面图的所有节点的总和。这里限定n≥4，是因为低于4个节点的图结构过于简单（如三角形、线段等），不具备本体系所研究的多层环与中心区域的复杂结构特征。

2.  m：外围节点数（m ≥ 2）  
    特指平面图中位于最外层环（即外围环）上的节点数量。外围环是图的边界层，其节点数量m直接影响图的外围形态和连接方式。m≥2确保了外围环至少为一条边，但在本体系后续公式中，结合其他参数（如d），实际有效结构通常需要更多外围节点。

3.  d：第二层环节点数（d ≥ 2）  
    指紧邻外围环内侧的第二层环上的节点数量。对于标准的多层环结构，第二层环是连接外围与中心区域的关键过渡层。d≥2同样保证了该层的基本环状结构。

4.  w：辐边总数  
    本体系的核心研究对象，指图中所有辐向边的总和。辐边通常定义为连接不同层级环节点或中心区域节点与各层环节点的边，是维持图结构稳定性和连接性的重要组成部分。

5.  a：三角形个数  
    在平面图的三角剖分或自然构成中，三角形是最基本的面单元之一。a代表图中所包含的三角形面的总数，其数量与图的结构紧密相关。

6.  e：总边数  
    图中所有边的总和，包括辐边、环内边以及其他所有连接节点的线段。

7.  P：共享边个数  
    指在图的面构成中，被两个或多个面共同分享的边的数量。共享边的存在是图结构紧凑性的体现，也是计算面数等拓扑性质的重要参数。

8.  R：节点度数之和  
    图中所有节点的度数（即每个节点所连接的边数）的总和。根据图论基本定理，节点度数之和等于总边数的两倍。

二、标准二维平面图

定义： 标准二维平面图特指具有明确层级结构的平面图，其特征为由外向内至少包含两层闭合环（外围环和第二层环），并在最内层环内部形成一个中心区域。这种结构常见于规则的网格图、某些多面体的平面投影或特定设计的网络结构。

基础公式：  
辐边总数的基础计算公式为：  
w = 6(n - m - 1) + (m - d)  

参数与特例说明：  
此处的参数n, m, d沿用核心参数定义中的说明。该公式的推导基于对标准结构下节点、边、面之间关系的深入分析，特别是通过对中心区域、各层环节点数量及其连接方式的归纳总结得出。例如，当m = d时，公式简化为w = 6(n - m - 1)，表明在外围环与第二层环节点数相等的情况下，辐边总数主要由总节点数与外围节点数决定。

三、非标准二维平面图（含孔洞）

定义： 非标准二维平面图同样具备两层及以上的环加中心区域的基本结构，但其与标准平面图的关键区别在于，图中存在一个或多个孔洞。这些孔洞被定义为边数≥4的多边形区域，它们破坏了平面的连通性，使得中心区域或环之间出现“空缺”。

修正项 z 的引入与计算：  
由于孔洞的存在，标准公式不再适用，需要引入修正项z来 account for 孔洞对辐边总数的影响。根据孔洞所处位置的不同，修正项分为：

1.  外围孔洞修正项 z外：  
    当孔洞位于平面图的外围区域时，其修正公式为：  
    z外 = N外 - 3v外  
    其中，N外表示所有外围孔洞的边数总和，v外表示外围孔洞的个数。这里以三角形（3边）作为基准，每增加一条边（相对于三角形），就需要对辐边数进行相应修正。

2.  围内孔洞修正项 z内：  
    当孔洞位于平面图的内部（即各环之间或中心区域内部）时，其修正公式为：  
    z内 = 2(N内 - 3v内)  
    其中，N内表示所有围内孔洞的边数总和，v内表示围内孔洞的个数。围内孔洞的修正系数为2，反映了其对内部连接结构的更大影响。

修正公式：  
综合考虑外围和围内孔洞的影响，非标准二维平面图的辐边总数公式修正为：  
w = 6(n - m - 1) + (m - d) - [ (N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内) ]  
公式中的减号表示孔洞的存在会减少辐边的数量，因为孔洞区域无法像正常区域那样产生和连接辐边。

四、单层外围环加中心区域结构（含孔洞）

理论基准：  
对于仅具有单层外围环（即不存在第二层环，或第二层环退化为中心区域的一部分）并包含中心区域的平面图，其辐边计算需要新的理论基准。这里以三边形（三角形）为基本连接模块，定义理论连接边数为：  
e理论 = 2d - 3  
其中，d为围内节点数，即中心区域及可能存在的内环节点的总数。该公式表示在理想的三角剖分情况下，d个围内节点所需的连接边数。

修正项 z 的确定：  
通过比较围内节点的实际连接边数a与理论连接边数e理论，来确定修正项z：
- 若实际连接边数a > e理论（即实际连接比理想三角剖分更密集），则需要 +z，z = a - e理论；
- 若实际连接边数a  a（即实际连接比树型更稀疏，边数不足），则 -z，z = e理论 - a；
  - 若 e理论 = a（即恰好为树型结构），则 z=0。

重要提示：  
本公式体系的所有公式均严格限定适用于平面图。平面图是指可以画在平面上，且除节点处外，边与边之间没有交叉的图。对于非平面图，如Kn全阶图中的K5（5个节点的完全图）、K3,3（两个3节点集合间的完全二分图）等，由于其固有的交叉特性，本体系的公式将不再适用。在应用时，需首先确认研究对象的平面性。

八、基于n, m, d的基本公式推导与应用

除了核心的辐边总数w，其他关键参数如三角形个数a、总边数e、共享边个数P和节点度数之和R，也可以通过n, m, d这三个基本参数直接计算：

1.  三角形个数 a：  
    a = (n - 2) + (n - m) = 2n - m - 2  
    推导思路：(n - 2)通常与树结构的某种特性相关，而(n - m)代表了中心区域及内层节点对三角形数量的贡献，两者之和给出总三角形数。

2.  总边数 e：  
    e = 2n + (n - m - 3) = 3n - m - 3  
    推导思路：2n可能来源于某种基础边数假设，(n - m - 3)则是对中心区域和环结构边数的调整项。

3.  共享边个数 P：  
    P = 2n + (n - m - 3) - m = 3n - 2m - 3  
    推导思路：总边数e减去外围环的边数m（外围环边通常不共享或有特定共享方式），得到共享边的数量。

4.  节点度数之和 R：  
    R = 6n - 2m - 6  
    推导思路：根据图论中节点度数之和等于总边数两倍的定理，R = 2e = 2*(3n - m - 3) = 6n - 2m - 6，与上式e的结果一致。

九、基于w, m, d的导出公式

当已知辐边总数w，以及m和d时，可以导出a, e, P, R的计算公式：

1.  三角形个数 a：  
    a = (w + 2m + d) / 3

2.  总边数 e：  
    e = (w + 3m + d) / 2

3.  共享边个数 P：  
    P = (w + m + d) / 2

4.  节点度数之和 R：  
    R = w + 3m + d  
    （显然，R = 2e，与 e = (w + 3m + d)/2 相符）

十、基础公式与导出公式的一致性验证

以标准二维平面图的基础公式w = 6(n - m - 1) + (m - d)为出发点，代入基于w的导出公式，验证其与基于n, m, d的基本公式的一致性：

1.  a的验证：  
    a = {[6(n - m - 1) + (m - d)] + 2m + d} / 3  
    = [6n - 6m - 6 + m - d + 2m + d] / 3  
    = [6n - 3m - 6] / 3  
    = 2n - m - 2  
    与基于n, m, d的a公式完全一致。

2.  e的验证：  
    e = {[6(n - m - 1) + (m - d)] + 3m + d} / 2  
    = [6n - 6m - 6 + m - d + 3m + d] / 2  
    = [6n - 2m - 6] / 2  
    = 3n - m - 3  
    与基于n, m, d的e公式完全一致。

3.  P的验证：  
    P = {[6(n - m - 1) + (m - d)] + m + d} / 2  
    = [6n - 6m - 6 + m - d + m + d] / 2  
    = [6n - 4m - 6] / 2  
    = 3n - 2m - 3  
    与基于n, m, d的P公式完全一致。

4.  R的验证：  
    R = [6(n - m - 1) + (m - d)] + 3m + d  
    = 6n - 6m - 6 + m - d + 3m + d  
    = 6n - 2m - 6  
    与基于n, m, d的R公式完全一致。  
    上述验证充分证明了公式体系内部的自洽性。

十一、特殊对称情形（m = d = n / 2）

当平面图具有高度对称性，即外围节点数m等于第二层环节点数d，且均为总节点数n的一半（m = d = n/2，此时n必须为偶数）时，可以得到简化的公式：

1.  辐边总数 w：  
    w = 6(n - n/2 - 1) = 6(n/2 - 1) = 3n - 6

2.  总边数 e：  
    e = 3n - n/2 - 3 = (5n)/2 - 3

3.  w与e的关系：  
    w = 3n - 6  
    e = (5n/2) - 3  
    则 w = e + (n/2 - 3)，或 e = w - (n/2 - 3)  
    这些关系揭示了在对称结构下，辐边总数与总边数之间的简洁联系。

十二、含孔洞情形的修正公式（补充与扩展）

对于含有孔洞（边数≥4的多边形）的二维平面图，除了辐边总数w需要修正外，三角形个数a和总边数e也需要进行相应修正。

修正项：  
统一用z = N - 3v表示孔洞对参数的基础修正，其中N为所有孔洞边数总和，v为孔洞个数。

1.  三角形个数修正公式：  
    a = (n - 2) + (n - m) - (N - 2v)  
    或 a = w - [3(n - m - 2) + 2] - (N - 2v)  
    推导思路：原