虚数真实存在

luyuanhong

虚数真实存在

原创  Callaghan  物理学哲学  2025 年 12 月 15 日 07:01  陕西

虚数长期被视为计算工具，如今物理学家正证明它们描述了自然界的隐藏形态。



许多理科生可能想象滚下山坡的球或因摩擦打滑的汽车是物理学家研究的典型系统。但现代物理学的核心是寻找几乎不可见的事物：量子物理中的微小电子、材料科学中奇异金属内部的粒子，以及仅在巨型粒子对撞机中短暂存在的高能对应粒子。

为了掌握这些隐藏的现实基石，科学家求助于数学理论和形式主义。理想情况下，意外的实验观察引导物理学家提出新的数学理论，而该理论的研究又推动新的实验和观察。这一过程必然部分发生在物理学家脑海中——符号与数字将不可见的理论构想转化为可测量的物理世界。

然而有时，如虚数（即具有负平方值的数）的情况，数学会长期领先于实验。尽管虚数自 20 世纪 20 年代量子理论诞生之初便不可或缺，但科学家直到最近才在实验中找到其物理特征并实证其必要性。

2021 年 12 月和 2022 年 1 月，两组物理学家团队—— 一组是包括维也纳量子光学与量子信息研究所和中国南方科技大学的国际合作团队，另一组由中国科学技术大学（USTC）主导——证明：若量子力学缺少虚数，将导致对自然的错误描述。一个月前，加州大学圣巴巴拉分校的研究人员从实验数据中重建了量子波函数（另一种无法用实数完全描述的量）。这些案例中，物理学家让真实的物理世界揭示了曾被视为“虚幻”的属性。

对大多数人而言，“数”与计数相关联。“五”让人联想到手指（儿童常用手指辅助计数），“十二”则让人想到购买鸡蛋。数十年来，科学家认为某些动物也使用数字，因为黑猩猩或海豚等物种在计数实验中表现优异。

计数有其局限：仅能形成自然数。但自古代起，数学家便知其他类型数字的存在。例如有理数相当于分数，我们切生日蛋糕或分摊餐厅账单时会用到。无理数则是无限不循环小数，常通过开平方根得到（如对自然数 5 开平方）。虽然写下无限小数或对自然数开平方看似不如将披萨切成八等份或十二等份真实，但某些无理数（如 π ）仍可对应具体视觉。π 等于圆周长与直径之比——若沿圆周行走并数步数后回到起点，再除以直线穿越圆心到达对点的步数，即可得 π 值。此例虽显刻意，但测量常见物体的长度或体积通常产生无理数——自然界鲜少提供完美整数或精确分数。因此有理数与无理数统称为“实数”。

负数也可能令人困惑：不存在“负三枚鸡蛋”。但若将其视为某量的相反或倒数，物理世界仍提供实例。正负电荷对应明确可测的行为；摄氏温标下，负温度与正温度存在差异（前者对应冰而非液态水）。因此正负实数可被视为帮助追踪自然明确可见物理属性的符号。数百年来，虚数无法享有同等地位。

虚数在数学上的最简形式是负数的平方根。此定义立即引发对其物理相关性的质疑：若理解负数在现实中的含义已需额外步骤，如何想象自乘仍为负的数？例如 +4 可由 2 或 -2 平方得到。但 -4 如何成为平方？虚数引入虚数单位 i（即 -1 的平方根）解决此问题：-4 是 2i 或 -2i 的平方，模仿了 +4 的性质。虚数如同实数的镜像：任何实数附加 i 后，其平方会变为原平方的相反数。

西方数学家在 16 世纪 20 年代开始认真研究虚数。当时意大利博洛尼亚大学教授西皮奥内·德尔·费罗试图求解三次方程。其中一个版本（后称“不可约情形”）需对负数开平方。1545 年，意大利天文学家吉罗拉莫·卡尔达诺在《大术》中总结当时所有代数知识时，称此类三次方程无解。

近三十年后，意大利学者拉斐尔·邦贝利正式引入虚数单位i，称其为“più di meno”（“负之正”），本身即矛盾。17 世纪哲学家勒内·笛卡尔称其为“虚数”，认为几何中虚数对应的结构无法可视化或绘制。至 19 世纪，卡尔·弗里德里希·高斯和莱昂哈德·欧拉等学者研究包含实数与虚数的复数（如 3+4i ），发现复值函数的性质与仅产生实数的函数不同。

但他们仍对这类函数存在的哲学意义存疑。法国数学家奥古斯丁-路易·柯西写道，他“放弃”虚数单位“而无遗憾，因为我们不知该符号象征何意，亦不知赋予其何种意义”。

然而物理学中，虚数的奇异被其效用掩盖。例如虚数可描述电路中电流变化的阻力，或模拟某些振荡（如摆钟摆锤在摩擦中往复运动）。许多波动方程（如吉他弦振动或海岸水波）需要虚数，且这些数隐藏在高中三角学熟悉的正弦余弦函数中。

但所有这些情况下，虚数更多作为记账工具而非物理现实的基本组成部分。钟表或秤等测量设备从未显示虚数值。物理学家通常将含虚数的方程与不含虚数的方程分开处理，将臭名昭著的 i 仅视为索引或额外标签以组织推导过程——除非涉及量子力学的微小低温世界。

量子理论预测极小物体（如家中电线电流中的电子）或比冰箱内部冷数百万倍的物体的物理行为，且其中充满复数与虚数。

虚数从待解问题变为问题对应的解

量子力学诞生于 20 世纪 20 年代，距阿尔伯特·爱因斯坦关于时空与广义相对论的划时代工作仅十年，它几乎颠覆了物理学家对用数学描述物理现实的认知。一大冲击是量子态（描述遵循量子力学规律物体的基本方式）默认是复数的。换言之，最通用、最基本的量子描述包含虚数。

与电学和振荡理论不同，量子力学中物理学家无法仅从含虚数的方程中提取有用结论后便将其遗忘。当尝试用数学语言捕捉量子态时，这些看似不可能的负平方根是表述的核心部分。去除虚数将严重限制表述的准确性。

量子力学的发现与发展将虚数从待解问题提升为问题对应的解。正如诺贝尔物理学奖得主罗杰·彭罗斯在纪录片《我们为何在此？》（2017）中所言：“[虚数]始终存在。自时间伊始便存在。这些数字嵌入世界在最小、最基本层面的运行方式中。”

量子力学核心是复值的波函数，它反映量子研究者揭示的惊人基本真理——无论看似多么固态或粒子性，万物有时表现为波，反之亦然：波的电子可表现为粒子。

伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校物理学家史密莎·维什韦什瓦拉在即将出版的《两次革命：爱因斯坦的相对论与量子物理》中写道：“路易·德布罗意推测，光中看似迥异的波动性与粒子性或许不仅存在于光中，也存在于万物。或许构成我们的粒子物质可具有波动特性。”她补充说，这是量子理论创始人将复值波函数作为自然模型基石的驱动问题。

为确定描述某物理对象（如金属中运动的电子）的量子力学波函数的具体细节，研究人员求助于薛定谔方程。该方程以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（量子理论奠基人之一）命名，不仅考虑被描述的微观粒子，还考虑其环境。电子是否在寻求更稳定、能量更低的状态（如滚下陡坡的球）？是否因获得能量“踢击”而进行快速复杂运动（如强壮运动员掷出的螺旋足球）？薛定谔方程的数学形式允许纳入这些信息。因此该方程直接受粒子即时物理现实的启发，但其解始终是必然包含虚数的波函数。连薛定谔本人也为此困扰。1926 年他致信同事亨德里克·洛伦兹时说：“此处令人不快且确实应反对的是复数的使用。”

如今，距薛定谔首次表达担忧近一个世纪后，三支独立物理学家团队在实验室中“围捕”了虚数。

第一项实验中，加州大学圣巴巴拉分校（UCSB）和普林斯顿大学的研究团队针对量子波函数本身开展研究。他们在《自然》杂志发表的工作首次实现了从实验室测量中重建量子力学波函数。研究人员实验研究了半导体材料砷化镓受极快激光脉冲照射后的行为。具体而言，砷化镓会重新发射部分激光照射的光，UCSB 团队证明，这些光的特性不仅取决于材料内部粒子波函数的细节，尤其取决于这些波函数的虚部。

半导体如砷化镓处于导体与绝缘体之间的中间态——导体中电子形成被称为电流的移动电荷河，而绝缘体则将电子束缚过紧，无法形成电流。在半导体中，多数电子保持静止，但少数会开始移动，构成微小电流。这种导电的奇异特性在于，每个移动的电子会自动获得一个伙伴—— 一种携带正电的类粒子实体“空穴”。若将电子比作池塘中的水滴，空穴的存在与运动便如同水滴被移除后留下的空缺获得了自主生命。电子与空穴均遵循量子力学规律，因此物理学家描述它们的最佳方式是为每个粒子写下波函数。

每个波函数的重要组成部分是其相位，其中包含虚数。相位通常反映量子粒子在空间某路径行进时可能经历的相互作用。两个波函数可像水面上的两列波一样重叠并组合，由此产生的涟漪图案（在量子情况下告知科学家粒子最可能出现的位置）取决于波函数的相位。在 UCSB 与普林斯顿的实验中，砷化镓中空穴与电子的波函数相位也决定了材料能重新发射何种光。

为揭示这一关联，研究人员首先用近红外激光的快速脉冲为材料中的电子注入能量。这一能量提升使电子在材料中移动并产生伴随的空穴。物理学家用另一台激光短暂分离两类粒子。经过在半导体中短暂孤独运动后，电子-空穴对被允许重新结合。由于两类粒子单独运动时均获得能量，它们的重新结合会产生闪光。研究人员通过测量这种光（自然界中的具体实体）确定了该过程中涉及的空穴的虚数波函数相位。

与此同时，其他物理学家开始思考理论是否可重构以避免实数与虚数之间的表面冲突。这种观点认为，物理学家无需在实验室寻找虚数，只需找到仅需实数的不同标记系统。这类理论被称为“实量子力学”。

某些结论若没有虚数永远无法得出

历史上，实量子力学不仅有支持者，在数学证明与探究领域也取得过一些成功。理论家已证明，量子力学系统的某些性质确实可在不借助虚数的情况下被捕获。然而在近一年内，一系列新证明与实验表明，这种推理只能走到这一步。涉及量子计算机与量子化光的实验室实验现在强烈表明，虚数与复数在量子世界（因此也是我们的世界）中不可或缺。

这项理论工作由维也纳奥地利科学院的物理学家牵头，奥地利与中国实验室进行的实验对其进行了验证，其通过一种游戏般的方式探讨该问题。

在理论研究中，“玩家”是三位虚构的物理学家——爱丽丝、鲍勃与查理，他们以量子态为棋盘棋子，以一系列精密的量子操作为游戏步骤。游戏结束时，三人可比较量子态在游戏中获得的性质。维也纳物理学家证明，某些结论若没有虚数永远无法达成。这如同发现实量子理论无法帮助体育分析师预测篮球运动员在三分弧顶成功投篮后能为球队赢得三分。

这种对竞争性自然理论的游戏式检验在量子力学中已成为传统。其可追溯至北爱尔兰物理学家约翰·贝尔，他在 20 世纪 60 年代用类似方法证明，量子力学本身对于准确描述自然是真正必要的。当时物理学家将量子力学与可追溯至艾萨克·牛顿的经典物理学对决，发现前者在预测实验结果方面始终更胜一筹。

这种被称为“贝尔测试”的方法仅包含两位“玩家”——爱丽丝与鲍勃，他们若不通过量子理论视角便无法理解游戏后的结果。研究人员得出结论：经典物理学根本不是对世界的最佳描述。奥地利科学院物理学家、新贝尔游戏理论与实验研究的合著者米格尔·纳瓦斯库斯指出，其团队的工作提供了对实值与复值量子理论进行完全相同评估的方法。“若能进行该实验，”他说，“便将证伪实数量子物理学。”

在中国科学技术大学进行的实验中，贝尔游戏在量子计算机内展开，由微波脉冲控制被称作“量子比特”的超导单元。在纳瓦斯库斯参与的实验中，场地是光学装置，研究人员在此处理量子光——即一束可通过分束器等实验室设备改变的光子流。

无论哪种情况，任何放弃复数的量子物理版本都无法准确预测游戏结果。物理学家不仅推断虚数确实可出现在实验中，更显著的是，为正确理解量子领域的实验，必须考虑它们。

上述研究对量子力学及物理现实本质最深奥的构想具有重要启示，也是新型量子技术发展的重要里程碑。操控波函数及其相位是量子信息与量子计算的重要工具。因此，UCSB 实验可能推动这些领域的器件设计。“若考虑构建任何利用量子力学的设备，都需要非常了解其波函数参数，”UCSB 物理学博士生、该研究首席作者乔·科斯特洛在讨论工作时强调。

同样，当科学家编写处理量子信息的算法时，必须考虑使用复值量子态是否存在优势。USTC 与维也纳牵头的研究强烈表明答案是肯定的。量子计算机最终将远超传统计算机，因此开发最佳算法实践至关重要。在薛定谔哀叹虚数近百年后，物理学家发现它们可能以非常实用的方式发挥作用。

量子物理揭示我们对虚数的误解由来已久

罗杰·彭罗斯在《现实之路》（2004）中写道：“在数学思想的发展中，一个重要的初始驱动力始终是寻找能精确反映物理世界行为的数学结构。”他以此总结理论物理学的整体轨迹。他补充道：“在许多情况下，这种对数学一致性与优雅性的追求，将我们引向那些比最初结构更深刻、更广泛反映物理世界的数学结构与概念。”虚数已超越最初的占位符角色，转变了我们对现实的理解，照亮了这一宏大构想。

量子理论历史上曾挑战关于自然的诸多“常识”假设。例如，它改变了物理学家对实验者能否确切测量某物的看法，或物体只能被其附近其他物体影响的观点。量子理论初创时曾令包括爱因斯坦在内的许多科学界巨擘震惊——尽管爱因斯坦本人也为其奠定了基础。处理量子概念与探究量子系统始终伴随着可能揭示意外（最乐观情况）或怪异（最悲观情况）事物的可能性。如今量子物理揭示我们对虚数的误解由来已久。它们可能曾被视为仅存于物理学家与数学家头脑中的思维工具，但既然我们生活的现实世界确属量子世界，虚数在其中清晰可见便不足为奇。

物理学哲学