韦达定理——方程的根之间的奥秘

luyuanhong

韦达定理——方程的根之间的奥秘

原创  韦达本达  韦达本达的数学花园  2026 年 1 月 5 日 15:49  广东

韦达听说读者们都非常想了解韦达定理，因为作为公众号名字的由来，目前却一篇文章都没有。因此，这篇文章，同时也是新年第一篇文章，就是关于韦达定理的，并且由韦达亲自讲述。

读者们想必记得在上初中时，老师教给我们解方程最暴力，也是最核心的方法就是直接代入求根公式。为了让大家体验一下这个公式的暴力，下面是公式的完整样貌：



是不是非常暴力？况且，这只是二次方程的根的求解方式，更不用提三次甚至四次方程的求根公式会有多么复杂。因此，我们在分析问题时，迫切地需要一个能够快速理清根之间的数量关系的一个公式或者定理。我们会发现，韦达定理在这方面十分拿手。下面就是韦达定理的形式和推理方式，涉及了代数基本定理的简单应用（后续会补充相关文章，敬请期待！）





根据这个结果，我们能找到大多数有关两根的关系的式子，十分有助于分析方程或巧妙解题。但是，韦达定理并不是只有二次形式的，高次方程的韦达定理也非常有效，证明方法和上述的类似，各位读者朋友们可以想想是怎么推导的。

下面，我们来介绍一下韦达本人。

弗朗索瓦·韦达（Francois Viète，1540—1603）是法国著名数学家，被认为是近代代数学的奠基人之一。他最重要的贡献在于首次系统地用字母表示未知数和已知量，使代数从具体数值计算走向一般形式的符号运算。韦达研究了一元多项式方程，发现了方程系数与其根之间的普遍关系，也就是我们刚刚讲完的韦达定理。他的工作为笛卡尔解析几何和近代代数的发展奠定了基础，也标志着数学表达方式的一次关键转变。虽然韦达并没有研究那些历史上十分著名的问题，但是他的创新仍然值得被铭记。

韦达定理虽然源自纯代数，但它所体现的“通过整体关系理解个体”的思想，在现实生活中并不陌生。很多时候，我们并不需要知道每一个具体结果，只要掌握它们之间的总体结构，就能做出判断。比如在经济或数据分析中，人们常常无法精确知道每个个体的行为，但可以通过平均值和总体关系来预测趋势，这与利用根的和与积来判断方程解的性质很相似。在工程和物理建模中，系统的参数往往以多项式形式出现，工程师更关心系统是否稳定、是否存在临界状态，而不是每一个解的精确数值，韦达定理提供了一种绕开复杂计算、直接判断性质的思路。即使在日常决策中，人们也常通过“总量”和“关系”来推断结果，而不是逐一列举所有可能。

总结一下：韦达定理的价值，正在于它提醒我们：在复杂问题面前，抓住结构，有时比追求细节更重要。

韦达本达的数学花园