【数学家的故事】康托尔：俄国数学家，集合论创始人，有限生命中的无穷

luyuanhong

【数学家的故事】康托尔：俄国数学家，集合论创始人，有限生命中的无穷

原创 黑白  黑白读书笔记  2026 年 1 月 12 日 21:21  吉林



1884 年春天，柏林大学的数学教授利奥波德·克罗内克在讲台上愤怒地挥着手稿：“这不是数学，这是神秘主义！我们应该把康托尔关进精神病院！”此时，41 岁的格奥尔格·康托尔正躺在哈雷大学的诊所里，经历着第一次精神崩溃。

01  圣彼得堡商人之子的数学觉醒

1845 年，康托尔出生于俄国圣彼得堡，父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。

这个家庭同时流淌着务实与艺术的血液，父亲期望他成为工程师，母亲教他弹奏钢琴。

这两种特质将诡异地在康托尔身上融合，他将以工程师般的严谨，构建关于无穷的最艺术化的理论。

1856 年，在康托尔 11 岁时，全家迁往德国的法兰克福，先后在达姆施塔特和威斯巴登的预科学校接受教育。

少年时期，他就展现出对“无限”的特殊敏感。他在信中告诉父亲：“当我凝视星空时，困扰我的不是它们有多少颗，而是‘有多少’这个概念本身，它有没有边界？”

1862 年，康托尔进入苏黎世大学学习工科，翌年便转入柏林大学攻读数学和神学，师从库默尔、魏尔斯特拉斯和克罗内克。

克罗内克当时已是欧洲数学界的权威，他的名言“上帝创造了整数，其余都是人的工作”反映了他保守的数学哲学：只承认可以用有限步骤构造的对象。

没人想到，他最聪明的学生将成为这一信条最彻底的颠覆者。

02  闯入“无穷”禁区的数学革命

1867 年，在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程 ax^2+by^2+cz^2=0 求解问题的论文获博士学位。

毕业后，受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究。

他在哈雷大学任教（1869-1913 年）的初期，证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数，1872 年成为该校副教授。

1873 年，28 岁的康托尔证明了一个看似简单的结论：实数的数量比整数多，即使两者都是无穷的。

他的证明方法——对角线法——优雅如诗：

假设所有实数都能与整数一一对应，构造一个“新”实数，使其小数点后第 n 位不同于列表中第 n 个实数的第 n 位，这个新实数不在列表中，矛盾！

这意味着无穷有不同的“等级”。

康托尔将整数的无穷称为“可数无穷”（，阿列夫零），实数的无穷称为“连续统”（c）。

他提出了著名的连续统假设：在和 c 之间不存在其他等级的无穷。

这个问题将困扰数学界一个世纪，直到柯恩在 1963 年证明它在现有公理体系中既不能被证实也不能被证伪。

但康托尔走得更远。1874 年，在蜜月旅行中，他写信给朋友：“我有一个惊人的发现——无穷可以相加、相乘，甚至可以求幂。”

他建立了完整的超穷数理论：,,,... 构成了无穷的阶梯；2^ = c ；这些超穷数服从精心设计的算术规则。

他的妻子后来回忆：“我们的蜜月里，乔治常常突然停下，在菜单背面写下符号。他说自己在听‘无穷的交响乐’。”

03  与克罗内克的十年战争

康托尔的理论遭到了以克罗内克为首的数学界的猛烈攻击。

这场冲突不仅是学术的，更是哲学的、个人的。

克罗内克公开宣称：“康托尔是科学的腐蚀者，年轻人的误导者。”

他利用自己的影响力，阻止康托尔在柏林大学获得职位，拒绝在重要期刊上发表他的论文，在会议上嘲讽他的工作“比神秘主义更糟”。

康托尔则反击克罗内克是“狭隘的独裁者”。

他在信中写道：“数学的本质在于其自由。如果只能讨论构造出来的东西，我们就会禁止谈论 π 、e 、甚至 √2 ！”

这场战争对康托尔造成了深远伤害。

1884 年，在连续工作三天试图证明连续统假设后，他第一次精神崩溃，一度患精神分裂症。

在诊所里，他既思考无穷集合，又坚信有人要毒害他。

医生记录：“病人声称自己能同时思考两个矛盾命题——他说这在集合论中是完全允许的。”

04  在天才与疯子的边界线上

随后的三十年，康托尔的人生在数学灵感和精神崩溃间剧烈摆动。

清醒时，他创立集合论基本概念：幂集、序型、良序原理，1884 年提出“康托尔-伯恩斯坦定理”：如果 A 不比 B 大且 B 不比 A 大，则 A 与 B 等势。

发现著名的“康托尔集”：一个长度为零却包含无数点的分形结构（后来成为混沌理论的基础）。

崩溃时，他多次住进精神病院，相信莎士比亚戏剧实际是弗朗西斯·培根所写，投入数年“证明”。

他还声称自己与上帝直接交流，获得了关于无穷的启示，晚年转向神学，试图证明三位一体与超穷数理论的联系。

1899 年，康托尔的幼子突然去世，这成为压垮他的最后一根稻草。

他在给朋友的信中写道：“我失去了有限世界中最爱的人，这让我更确信无限世界的真实。”

05  启示

1918 年 1 月 6 日，康托尔在德国哈雷维滕贝格大学附属精神病院去世。

他的墓碑上只刻着名字和生卒年份，没有任何数学符号，尽管他曾经希望刻上符号。

1904 年，年轻的英国哲学家伯特兰·罗素在康托尔的工作中发现了著名的罗素悖论，引发了数学基础的危机。

讽刺的是，这个基于康托尔集合论的悖论，反而迫使数学界认真对待他的工作。

1904 年，希尔伯特在国际数学家大会上公开捍卫他：“没有人能把我们从康托尔创造的天堂中驱逐出去！”

康托尔的影响是深远的，在数学基础中，集合论成为整个现代数学的共同语言。

在哲学上，他提出的“实无穷”（实际存在的无穷）与“潜无穷”（不断增长的无穷）的区分，重塑了人类对无限的理解。

2018 年，在康托尔逝世百年之际，德国数学家协会在哈雷大学立起新的纪念碑。碑文刻着他最著名的话：

“数学的本质在于其自由。”

黑白读书笔记