数学史上那些“不讲理”的迷人难题

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数学史上那些“不讲理”的迷人难题

原创  慢慢学习慢慢谈  慢慢学习慢慢谈  2026 年 1 月 15 日 11:58  河北

“让我们安心承认有限性的局限乐观地劳作吧。”因为最难的悖或许正是人生——它从不自我解释，却不能停止求索解的姿势。

在每一个学习逻辑或数学的人心中，或许都曾坚信：逻辑是理性的骨架，数学是真理的堡垒。我们都默认自己生活在这样一个有序、自洽的世界里。然而，当历史的灯光照亮思想的暗角，人们惊恐地发现，这座理性大厦的地下室里，竟藏着几条灰质狞笑的裂缝。它们不常现身，可一旦被触及，就足以让整座建筑为之震颤。这些裂缝，就是“悖论”。

一、说谎者的悖论

要谈悖论，必须从最古老、最纯粹的那个说起。

公元前 6 世纪，希腊克里特岛上的哲学家埃庇米尼得斯说了一句石破天惊的话：

“所有克里特人都是说谎者。”

问题来了：说这句话的他，自己就是个克里特人。

如果他这句话是真的 ——那就意味着“所有克里特人都在说谎”是个事实。然而，作为克里特人的他，却说出了这句“真话”。这岂不是和“所有人都在说谎”矛盾？

如果这句话是假的 ——那么“不是所有克里特人都在说谎”，至少有人说过真话。这个“真话”有没有可能就是他刚刚说的这句呢？好像也未必导致直接矛盾，但那种自指（自己描述自己）带来的眩晕感已经足够强烈。

后来，麦加拉学派的欧布里德将其提炼成更尖锐的版本：

“我正在说的这句话是假的。”

逻辑的死循环扑面而来：若它为真，则它声称的“我假”为真，于是它假；若它为假，则“我假”不成立，于是它真。 无论怎么选，都会掉进自己设下的逻辑陷阱。

这个看似语言游戏的“说谎者悖论”，第一次向人类揭示：自指，这个看似无害的能力，可能蕴含着毁灭逻辑地基的炸药。

二、罗素的理发师

如果说“说谎者悖论”还带着些哲学思辨的色彩，那么进入 20 世纪，悖论直接动摇了整个现代数学的基石。

1901 年，英国哲学家、数学家伯特兰·罗素在思考集合论时，构造了一个简洁而致命的集合：所有“不属于自身”的集合的集合。 用符号写就是：



然后，罗素提出了那个著名的问题：这个集合 R ，它属于它自己吗？



为了让这个抽象的悖论更易理解，罗素在 1919 年讲了一个关于乡村理发师的故事：

某村理发师宣布：“我只给村里所有不自己刮胡子的人刮胡子。”

那么问题来了：这位理发师给自己刮胡子吗？

● 如果他给自己刮，那他属于“自己刮胡子的人”，按规矩，他就不该给自己刮。

● 如果他不给自己刮，那他就属于“不自己刮胡子的人”，按规矩，他就应该给自己刮。

左右为难，自相矛盾。

罗素悖论的可怕之处在于，它只用到了集合论最原始、最基本的三个概念：“集合”、“元素”和“属于”。 这等于说，在数学家认为最坚实的地基上，发现了无法自圆其说的根本矛盾。当时正在用集合论构建算术体系的大逻辑学家弗雷格，收到罗素的信后近乎崩溃，在著作付印前无奈补遗：“一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于在他的工作即将完成时，其基础崩溃了。”

三、理查德悖论

当定义追逐定义

同样在 1905 年，法国中学教师理查德发现了一个与“可定义性”相关的悖论。

想象我们用有限的法语词汇（或英语、中文词汇）来定义的实数 。比如“2 的平方根”、“圆的周长与直径之比”等。这些定义是有穷的，因此所有“能用有限词汇定义的实数”构成的集合，理论上是可以按一定规则（如先按字数，再按字典序）一个一个排列出来的——它是一个 可数集 。

现在，理查德运用康托尔的“对角线方法”：他构造一个新实数，让它的第 n 位小数，与这个列表中第 n 个实数的第 n 位小数不同（比如前者是 8 或 9 就加 1 ，否则设定为某个特定值）。

这个新实数，显然不在原来的列表里。

但矛盾来了：描述这个新实数的规则——“与列表中第 n 个数的第 n 位不同”——本身，就是一个有限词汇的描述！ 所以，这个新数按理说应该出现在最初的列表里。

一个实数，既被证明在列表外，又被逻辑推导应在列表内。

理查德悖论揭示了“可定义性”这个概念本身的微妙与危险。它模糊了数学与语言的边界，指出当我们试图用语言去框定、枚举数学对象时，可能会陷入自我指涉的怪圈。它后来对哥德尔证明“不完全性定理”产生了直接影响。

四、布拉利-福蒂悖论

无法找到的最大数

早在 1897 年，意大利数学家布拉利-福蒂就已经在康托尔的序数理论（讨论“顺序”的无穷）中发现了问题。

简单理解序数：自然数 1, 2, 3 ... 按顺序排列，最后一个序数是 ω（表示“所有自然数”）。但序数可以继续延伸：ω+1 , ω+2 ，… 如此无穷。

布拉利-福蒂考虑：如果把所有序数放在一起，构成一个集合 Ω ，那么 Ω 本身也有一个序数，称之为 Ω 。

矛盾随之而来：既然 Ω 包含了所有序数，那么这个序数 Ω 本身也必须是 Ω 的一个元素。但是，任何序数集合的序数，按定义都应该大于该集合的每一个元素。这就意味着： 序数 Ω 必须大于它自己 。这显然不可能。

这个悖论说明，“所有序数的集合”这个概念本身就有问题——它太大了，大到无法被当作一个常规的、“良性”的集合来处理。

五、良序与选择公理

选择的困境

面对悖论的冲击，数学家必须重建更严谨的集合论。策梅罗等人提出了 ZF（策梅罗-弗兰克尔）公理系统。然而，其中一条公理—— 选择公理 ，引发了至今未歇的争论。

选择公理说：给定任意一组非空的集合，我们总可以从每一个集合中选出一个元素，组成一个新集合。

听起来很自然？对于有限个集合，这当然没问题。但对于无穷多个集合，尤其是不可数无穷多个集合时，麻烦就来了。

关键在于，这个选择行为没有给出具体的“选择规则”。 罗素用一个生动的比喻说明了这种困境：假设你有无穷多双袜子（左右完全一样）。你能从每双袜子里选出一只吗？鞋子好办，因为你可以定规则“永远选左脚的”，但袜子左右没区别，你必须没有任何规则地、凭空从每双里“指认”一只。这还能叫“数学构造”吗？

选择公理等价于一个著名断言： 任何集合都可以被良序化 （即重新排列，使其每个子集都有“最小元”）。康托尔相信这是对的，但无法证明。

问题是，承认选择公理虽然能证明许多重要定理，但同时也会推导出一些反直觉的结论，比如著名的巴拿赫-塔尔斯基“分球怪论” ：一个实心球，可以分割成有限多块，然后仅通过旋转和平移，重新组装成两个和原来一样大的球！这严重违背物理世界的直观。

因此，很多数学家对选择公理持保留态度。哥德尔和科恩后来的工作表明， 选择公理和连续统假设都在现有集合论公理体系下“不可判定” ——既不能被证明，也不能被证伪。这意味着，你可以选择一个没有选择公理的数学世界，也可以选择一个有选择公理（并接受其古怪推论）的数学世界。

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