奥数题拆解：这个无穷小数 A 为啥是有理数？一道 1979 年安徽省中学生数学竞赛试题

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奥数题拆解：这个无穷小数 A 为啥是有理数？一道 1979 年安徽省中学生数学竞赛试题

原创  亲切的桃子  亲切的桃子  2025 年 12 月 21 日 19:45  浙江

抽屉原理本身并不难理解，最关键的一招是制造抽屉。——常庚哲（"中国奥数总教头"）

今天咱们来盘一道 1979 年的竞赛老题



咋证明 A 是有理数呢？

先把题目扒明白：

先读题：这个小数 A 长啥样？




A 组成规则和一个示例

划重点：有理数=循环小数！

咱都学过：有理数能写成循环小数（有限小数也算，后面补 0 就行）。

所以这题的核心，就是证明 A 是循环小数！

关于该知识点的证明可见：

卓里奇数学分析｜习题 3.1 有理数与循环小数是等价的？

关键规律：“两位一组”定生死



换句话说：只要某一组“奇偶组合”重复出现，后面的数字就会跟着循环！

再抠细节：那“奇偶组合”有多少种？



最后一步：应用抽屉原理

A 是无穷小数，会产生这样无穷多组“两位奇偶组合”，但上面我们研究的，总共就只有 25 种不同的组合。

按照“抽屉原理”：在前 26 组组合里，必然会有两组是一模一样的！

一旦某个组合重复出现，后面的数字就会跟着之前的路子重新产生——所以 A 是循环小数，自然就是有理数啦~


抽屉原理，又名鸽巢原理，10 只鸽子放进 9 个鸽笼，那么一定有一个鸽笼放进了至少两只鸽子。

总结一下（解题思路）

1. 要证 A 是有理数 → 需证 A 是循环小数；

2. A 的每一位由前两位决定 → 两位组合重复则循环；

3. 两位组合只有 25  → 无穷多组里必重复 → A 循环→ A 是有理数。

亲切的桃子