对一道日本数学竞赛题的解法探究

luyuanhong

对一道日本数学竞赛题的解法探究

原创  魏泽夫  shu xue teacher  2026 年 1 月 14 日 15:15  吉林



shu xue teacher

王守恩

\(解方程:x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}\)

\(天马行空:x+\frac{x}{\sqrt{x^2-(a-1)}}=\sqrt{a}+\sqrt{a}\)

\(x=\sqrt{a},\frac{x}{\sqrt{x^2-(a-1)}}=\sqrt{a}\)

\(条件:{\sqrt{x^2-(a-1)}}=1=>x=\sqrt{a}\)

波斯猫猫

透过现象看本质
思路：显然y=x+x/（x^2-1）的导数
y`=1-1/（x^2-1）^（3/2），∴当x>1时，
零点x=√2是y=x+x/√（x^2-1）的最小值点.
又原方程可化为：x+x/√（x^2-1）
=√2+√2/√（√2^2-1）∴其解x=√2.
注：实际上，原方程的解x=√2是函数
y=x+x/√（x^2-1）在x>1的条件下，取
得最小值2√2时所对应的x的值（在外地，
手机输入）.

波斯猫猫

透过现象看本质，揭开面纱靠导数.

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换元法：原方程可化为

1+1/√（x^2-1）=2√2/x=y（y>1），

∴（y-1）^2（x^2-1）=1，且x^2y^2=8.

消去x整理得：y^4-2y^3-6y^2+16y-8=0，

即（y-2）^2（y^2+2y-2）=0.

∴y=2.故x=√2（x>1）.

注：本思路是通过求两曲线y=1+1/√（x^2-1）
和y=2√2/x在x>1的条件下的交点（实为切点）
的坐标而得其解.

波斯猫猫

换元法：原方程可化为

1+1/√（x^2-1）=2√2/x=y（y>1），

∴（y-1）^2（x^2-1）=1，且x^2y^2=8.

消去x整理得：y^4-2y^3-6y^2+16y-8=0，

即（y-2）^2（y^2+2y-2）=0.

∴y=2.故x=√2（x>1）.

注：本思路是通过求两曲线y=1+1/√（x^2-1）
和y=2√2/x在x>1的条件下的交点（实为切点）
的坐标而得其解.

波斯猫猫

换元法：令x=√2t，则原方程可化为：

1+1/√（2t^2-1）=2/t，化简整理得

（t-1）^2（t^2-2t-2）=0（1/√2<t<2），
显然t=1，∴x=√2.

注：本思路考虑消去x，而保留“x^2”，使
问题得以简化.

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对原作者解法1的改进
原方程平方得：
x^2+2x^2/√（x^2-1）+x^2/（x^2-1）=8，

即x^4/（x^2-1）+2x^2/√（x^2-1）-8=0.

解得x^2/√（x^2-1）=2，即x^2=2，或x=√2（x>0）.

注：原作者换元换早嘎点，多做一步x^2+x^2/（x^2-1）
=x^4/（x^2-1），其过程就得到了大大的简化.

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三角代换

因x>1，故可令x^2-1=（tana）^2（0<a<兀/2），

则x=1/cosa，代入原方程得：1/cosa+1/sina=2√2，

即sina+cosa=2√2sinacosa，∴1+sin2a=2（sin2a）^2，

解得sin2a=1，∴a=兀/4，即cosa=1/x=1/√2，或x=√2.

波斯猫猫

直接求解

原方程可化为：x^2/（x^2-1）=（2√2-x）^2，

化简整理得：（x-√2）^2（x-√2+√6）（x-√2-√6）=0，

∴x=√2±√6（增根），x=√2为原方程的解.