从抛物线到马鞍面，如何理解矩阵二次型？

luyuanhong

从抛物线到马鞍面，如何理解矩阵二次型？

你是否还记得中学数学里那个熟悉的抛物线 y=ax^2+bx+c ？它的开口方向由 a 决定，与 x 轴的交点由判别式 Δ 决定。这就引出了一个核心问题：如何判断一个多项式的值是恒正、恒负还是有正有负？

本文正是从这个简单的中学问题出发，将视野拓展到更广阔的领域。它展示了如何用矩阵语言来描述多变量的二次函数，并利用特征值、行列式和合同变换等线性代数工具，来解决更复杂维度的“开口方向”和“正负性”问题。

撰文 | 朱慧坚（广州南方学院数学与统计学院副教授）、丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授）

从一元二次函数说起



二元二次型的符号判别



一般二次型与合同变换



西尔维斯特惯性定律



正定性的判别法：特征值与主子式



应用掠影：最优化问题与动力系统




图片来源：Nicoguaro/wikipedia



完稿于从化温泉镇广州南方学院

原创  朱慧坚  丁玖  返朴  2026 年 1 月 27 日 08:00  北京