辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整版）

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整版）

作者：朱火华
日期：2026年1月29日

1. 引言

二维平面图的着色问题是图论经典难题，四色定理证实任意平面图均可通过四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，核心思路为将任意二维平面图（原图）转化为结构与功能等价的单中心轮图（新图），实现着色过程的规范化与简便化；其中辐边总和数既是新单中心轮图的辐边数、环上节点数与新图环边数，也等于二维平面图围内所有节点度数之和，为平面图着色提供系统化、可操作的理论与方法。

2. 辐边总和公式与图结构转换

辐边总和公式为纯代数体系，独立于传统图论欧拉公式，不受二维平面图经典定义限制，核心实现将任意平面图向单中心轮图的转化，且单中心轮图仅需4色即可完成着色，其着色结果可映射回原图。公式分为基础、简化、普适、重构四类，覆盖所有二维平面图类型，同时明确图结构双向转换的具体步骤。

2.1 辐边总和公式的三维代数构造范式

辐边总和公式适用于中心区域节点数≥0的各类二维平面图，包括两层及以上环加中心区域的标准平面图、中心区域为任意结构的平面图；计算时各轮构型辐边独立计算后求和，且所有二维平面图均可拆解为轮构型模块的叠加形式。

一、基础公式

适用于具有由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图
w = 6(n - m - 1) + (m - d)

参数定义：n为节点总数（n ≥ 4），m为外围节点数（m ≥ 2），d为第二层环节点数（d ≥ 2），w为辐边数（w ≥ 6）；
系数与修正说明：系数6源于最小解（n = 4，m = d = 2时，w = 6），“减1”为扣除围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1，最小解由两个1+3轮构型模块部分点边叠加而成；
特殊情形：若m = d（且m + d为≥4的偶数），则w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；若m = d = 3，则w = 6(n - 4)；

补充：两节点环内若无中心区域结构，退化为两节点直接连接。

二、简化公式

适用于单层环或多层环+中心区域结构的标准二维平面图，具备环上弦边自动化处理能力
w = n + 3d - 4 + z

参数定义：n = m + d为平面图节点总数（n≥2），m为外围节点数（m≥1），d为围内所有节点数（d≥1）；z为调整项，围内节点以树型为模，理论连接边数v = d - 1，实际连接边数k为d - 1到2d - 2的连续正整数，v < k时+z，v = k时z = 0；3d - 4为围内节点核心贡献项；

w=n+2d+k-3


弦边处理原理：通过拓扑形变将环上弦边等效转化为围内连接，该转化不改变图的着色属性；典型示例为四边形模块，其一条对角线可移至对侧两角，弦边连接直接转化为环上1个节点与围内1个节点的连接，完成弦边从环上到围内的无缝转化。

三、普适公式与虚拟环构建

适用于标准与非标准二维平面图，通过添加双层虚拟环实现所有平面图类型的统一计算，可处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构
w = 6(n新- 4)

参数定义：n原为原始二维平面图节点个数（n原≥ 0），双层虚拟环总节点数为6（每层3个节点），n新= n原+ 6为添加虚拟环后新图的节点总数；
虚拟环功能：双层虚拟环包裹原图，使新图成为实际存在的标准二维平面图，原图作为子结构包含于新图中；去掉虚拟环后，原图可继承新图着色结果，且色数≤4；

补充：公式自动处理双层虚拟环的连接边、内层环与原图的连接边，包括原图构型不连通时的虚拟连接边添加，且任意连接方式下w值恒定。

四、重构公式（等价生成）

由辐边总和数直接确定最终等价的单中心标准轮图规模，实现从代数计算到图结构的落地
⊙ = 1 + w

定义说明：1代表原图所有轮构型模块的中心节点经几何叠加生成的唯一中心等效体；w为该单中心轮图环上的节点数（与辐边数相等）。

2.2 原图与新图的结构转换

原图（任意二维平面图）与新图（单中心标准轮图）可实现双向结构转换，且转换过程保持结构与功能的完全等价，为着色结果的映射提供基础。

2.2.1 原图分解至新图的转换步骤

1.分解原图：若原图有N个围内节点，将其分解为N个变形轮构型，并记录各构型几何形状；
2.还原构型：通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型；
3.扇化处理：选取各标准轮构型环上一个节点一侧与边的连接处断开(分离操作)，借助边与辐边的伸缩形成扇形（中心节点为扇柄中的扇钉/点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）；
4.拼接成图：将所有扇形拼接为单中心轮图，拼接规则为一个扇形一侧的节点端与另一个扇形一侧的边端相连，所有扇形的扇柄以点片形式叠加。

2.2.2 新图还原至原图的转换步骤

1.分解新图：从新图的环上标记节点，将单中心轮图分解为n个扇形；
2.还原构型：将各扇形的两端重新连接，恢复为标准轮构型；
3.叠加复原：按照原图的初始变形状态，对标准轮构型进行部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图的结构等价性。

3. 新单中心轮图的最优着色问题

新单中心轮图的着色规则由其环上节点数的奇偶性决定，且色数恒≤4；若原图中存在任意一个奇轮构型模块，即便新图为偶环，也需采用4色方案，确保着色结果能无冲突映射回原图。

3.1 奇环着色规则（环上节点数n = 2m + 1）

环上节点用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心等效体使用第4种颜色，总颜色数为4。

3.2 偶环着色规则（环上节点数n = 2m）

环上节点用2种颜色交替着色m次，中心等效体使用第3种颜色，总颜色数为3。

3.3 核心约束

原图中若存在任意一个奇轮构型模块，无论新图环的奇偶性，均需采用4色着色方案，这是保证着色结果从新图向原图无冲突映射的关键条件。

3.4 概念区分

本文所指新单中心轮图，由原图所有轮构型扇化模块组装而成，与传统图论中的单中心轮图属于不同概念，其核心属性为色数恒≤4，适配平面图着色的核心需求。

4. 原图与新图的功能等价性

原图与新图的功能等价性是着色结果可双向映射的核心保障，主要通过颜色统一、冲突调和、直接替换三种机制实现，确保转换过程中着色属性不发生改变。

4.1 原图到新图的功能保持

原图分解为n个轮构型后，若各轮构型中心节点的着色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心等效体的颜色；其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换的方式，实现所有中心节点颜色的统一，确保新图与原图的功能等价。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射

新图分解为n个轮构型后，若新图中心等效体的颜色与原图各轮构型中心节点的颜色存在冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换的方式，调和颜色冲突，使新图中心节点颜色与原图保持一致，维持二者功能等价性。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色无任何冲突，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心节点的颜色替换，大幅简化着色流程，且不影响着色结果的有效性。

5. 结论

本文提出的辐边总和公式，通过虚拟环包裹、轮构型分解与叠加、单中心轮图转化的核心逻辑，实现了任意二维平面图向单中心轮图的规范化转换，且原图与新图具备可分可合的双向结构转换能力与完全的结构、功能等价性。

该公式以纯代数形式构建，独立于传统欧拉公式体系，四类公式覆盖所有标准与非标准二维平面图，可处理环上弦边、孔洞、亏格曲面等复杂结构，结合单中心轮图的奇偶性着色规则（色数恒≤4），为平面图着色提供了系统化、可操作的理论框架与实践方法。

新单中心轮图的着色结果可无冲突映射回原图，且核心约束（奇轮构型模块强制4色）确保了映射的有效性，最终验证了四色定理在二维平面图着色中的适用性，为图论着色问题的研究提供了新的思路与方法。

重要注记：本公式仅适用于二维平面图，对K5、K3.3等非平面图不具备适用性。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

朱明君

辐边总和公式体系
一、标准二维平面图
基础公式一：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的平面图。
其中n = m + d + c
n：总节点数（n ≥ 4）
m：外围环上节点数（m ≥ 2）
d：由外向内第二层环上节点数（d ≥ 2）
c：第二层环内的所有节点数
w：辐边总数
综合公式二：w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z
适用于单层或多层外环加中心区结构。
其中n = m + d
n为二维平面图中节点个数（n ≥ 2）
m为外围节点个数（m ≥ 1）
d为围内所有节点个数（d ≥ 1）
调整项为z，围内节点个数以树型为模。
理论连接边数为v = 2d - 3，实际连接边数k为以树型为模=d - 1到3d - 5的连续正整数。
若v < k，则+z；若v > k，则 - z；若v = k，则z = 0。
简化公式三：w = n + 3d - 4 + z
其中n = m + d
n为二维平面图中节点个数（n ≥ 2）
m为外围节点个数（m ≥ 1）
d为围内所有节点个数（d ≥ 1）
调整项为z，围内节点个数以树型为模。
理论连接边数为v = d - 1，实际连接边数k为d - 1到3d - 5的连续正整数，即(d - 1) ≤ k ≤ (3d - 5)。
若v < k，则+z；若v = k，则z = 0。
其中3d - 4为围内节点核心贡献项。
二、非标准二维平面图（含孔洞）
定义：两层及以上环加中心结构，且孔洞为边数≥4的多边形。
修正项z：
外围孔洞：z外 = N外 - 3v外（N为边数和，v为孔洞个数）
围内孔洞：z内 = 2(N内 - 3v内)
修正公式：
1，w = 6(n - m - 1) + (m - d) - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]
2，w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]
3，w = n + 3d - 4 + z - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]
三、普适公式（覆盖所有类型）
标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点6，每层3个）统一处理。
普适公式：w = 6(n新 - 4)，其中n新 = n原 + 6。
四、多面体的处理
多面体可经展开、剪面、透视、三角剖分转为二维平面图，并视其结构选用上述公式：
双环 + 中心：用基础公式。
单层环 + 中心：用基础公式 ± 修正项z。
无环结构作为子结构均被涵盖。
五、基于n, m, d的基本公式
三角形个数a = (n - 2) + (n - m) = 2n - m - 2
总边数e = 2n + (n - m - 3) = 3n - m - 3
共享边个数P = 2n + (n - m - 3) - m = 3n - 2m - 3
节点度数之和R = 6n - 2m - 6
六、基于w, m, d的导出公式
三角形个数a = (w + 2m + d) / 3
总边数e = (w + 3m + d) / 2
共享边个数P = (w + m + d) / 2
节点度数之和R = w + 3m + d
七、特殊对称情形（m = d = n / 2）
辐边总数w = e + (n/2 - 3)
总边数e = w - (n/2 - 3)
八、含孔洞情形的修正公式
对于有孔洞的二维平面图，其中每个孔洞为边数≥4的多边形，则：
修正项：z = N - v，其中N为所有孔洞边数总和，v为孔洞个数
三边形个数修正公式：
a = (n - 2) + (n - m) - (N - 2v)
a = (w + 2m + d) / 3 - (N - 2v)
边的个数修正公式：
e = 2n + (n - m - 3) - (N - 3v)
e = (w + 3m + d) / 2 - (N - 3v)

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2026年1月29日

1. 引言

1.二维平面图的着色问题是图论经典难题，四色定理证实任意平面图均可通过四种颜色完成着色：平面图着色是图论的核心研究问题之一，而四色定理是该领域的经典结论，仅需四种颜色就能对任意二维平面图进行无邻接同色的着色，这是本文研究的基础前提。
2.本文提出辐边总和公式，核心思路为将任意二维平面图（原图）转化为结构与功能等价的单中心轮图（新图），实现着色过程的规范化与简便化：这是本文的核心研究成果与研究思路，通过“原图转等价单中心轮图”的核心方法，解决传统着色方法复杂的问题，让着色步骤有统一标准、操作更简单。
3.其中辐边总和数既是新单中心轮图的辐边数、环上节点数与新图环边数，也等于二维平面图围内所有节点度数之和，为平面图着色提供系统化、可操作的理论与方法：定义了“辐边总和数”的双重核心属性，既关联新轮图的核心结构参数（辐边、环节点、环边数），又关联原图的节点度数特征，这一数值是连接原图与新图、实现着色的关键纽带，也让本研究有了具体可落地的理论和操作方法。

2. 辐边总和公式与图结构转换

1.辐边总和公式为纯代数体系，独立于传统图论欧拉公式，不受二维平面图经典定义限制：明确辐边总和公式的本质是纯代数计算体系，与传统图论中描述节点、边、面拓扑关系的欧拉公式无关联，且突破了传统二维平面图定义的约束，适用范围更广。
2.核心实现将任意平面图向单中心轮图的转化，且单中心轮图仅需4色即可完成着色，其着色结果可映射回原图：再次强调公式的核心功能是实现“任意平面图到单中心轮图”的转化，且转化后的新图满足四色定理，更关键的是新图的着色结果能反向应用到原图，这是实现原图着色的核心逻辑。
3.公式分为基础、简化、普适、重构四类，覆盖所有二维平面图类型，同时明确图结构双向转换的具体步骤：说明辐边总和公式的体系构成，四类公式针对不同类型的平面图设计，实现全覆盖，且本文会明确原图（任意平面图）与新图（单中心轮图）相互转换的具体步骤，为着色落地提供操作依据。

2.1 辐边总和公式的三维代数构造范式

1.辐边总和公式适用于中心区域节点数≥0的各类二维平面图，包括两层及以上环加中心区域的标准平面图、中心区域为任意结构的平面图：明确公式的整体适用范围，只要是中心区域节点数为0或正整数的二维平面图，无论是否为标准多层环结构、中心区域结构是否复杂，均能适用。
2.计算时各轮构型辐边独立计算后求和，且所有二维平面图均可拆解为轮构型模块的叠加形式：给出公式的核心计算原则之一，将平面图拆解为基础的“轮构型模块”，先单独计算每个模块的辐边数，再求和得到整体数值；同时指出“轮构型模块叠加”是所有二维平面图的通用结构特征，这是拆解计算的理论基础。

一、基础公式

1.适用于具有由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图：明确基础公式的适用对象——结构规则的标准二维平面图，需满足“多层环（至少两层）+中心区域”的结构特征，由外到内环结构清晰。
2.w = 6(n - m - 1) + (m - d)：给出基础公式的代数表达式，w为核心的辐边总和数，是后续计算与着色的关键。
3.参数定义：n为节点总数（n ≥ 4），m为外围节点数（m ≥ 2），d为第二层环节点数（d ≥ 2），w为辐边数（w ≥ 6）：逐一定义公式中各参数的含义与取值范围，所有参数均为正整数，且有最低取值要求，保证公式的有效性。
4.系数与修正说明：系数6源于最小解（n = 4，m = d = 2时，w = 6），“减1”为扣除围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1：解释公式中核心系数“6”和常数项“-1”的由来，系数6是公式的最小有效解对应的数值，“减1”是为了扣除中心区域的一个基准参考值，同时明确公式的前提是平面图中所有顶点的度数（连接的边数）至少为1。
5.最小解由两个1+3轮构型模块部分点边叠加而成：补充说明公式最小解（n=4，m=d=2，w=6）的结构来源，由两个“1个中心节点+3个环节点”的基础轮构型模块，通过部分节点和边的叠加融合形成，印证了“平面图由轮构型模块叠加而成”的核心观点。
6.特殊情形：若m = d（且m + d为≥4的偶数），则w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))：给出基础公式的第一种特殊应用场景，当外围节点数与第二层环节点数相等，且二者之和为不小于4的偶数时，公式可简化，去掉修正项（m-d），计算更简便。
7.若m = d = 3，则w = 6(n - 4)：给出基础公式的第二种特殊场景，当m和d均为3时，公式进一步简化为更简洁的形式，为后续普适公式的推导奠定基础。
8.补充：两节点环内若无中心区域结构，退化为两节点直接连接：针对基础公式适用的多层环结构，补充一种边界情况，若某一环仅两个节点，且环内无中心区域，该结构无需按环结构计算，直接视为两个节点的简单连接即可。

二、简化公式

1.适用于单层环或多层环+中心区域结构的标准二维平面图，具备环上弦边自动化处理能力：明确简化公式的适用对象，比基础公式更广泛，涵盖单层环、多层环的标准平面图，且新增核心能力——可自动处理环上的弦边（环上非相邻节点的连接边），解决了复杂环结构的计算问题。
2.w = n + 3d - 4 + z：给出简化公式的代数表达式，新增调整项z，适配不同围内结构的计算。
3.参数定义：n = m + d为平面图节点总数（n≥2），m为外围节点数（m≥1），d为围内所有节点数（d≥1）：定义公式核心参数，节点总数n直接拆分为外围节点数m和围内节点数d，取值范围进一步降低，适配单层环等简单结构。
4.z为调整项，围内节点以树型为模，理论连接边数v = d - 1，实际连接边数k为d - 1到2d - 2的连续正整数，v < k时+z，v = k时z = 0：详细定义调整项z的含义、取值规则，以“树型结构”为围内节点的基础连接模型（树型结构边数最少，为d-1），若实际连接边数多于理论值，需加调整项z，实际等于理论值时，z为0，公式简化。
5.3d - 4为围内节点核心贡献项：指出公式中3d-4的核心作用，这一数值是围内节点对整体辐边总和数的基础贡献，是简化公式的核心计算项。
6.弦边处理原理：通过拓扑形变将环上弦边等效转化为围内连接，该转化不改变图的着色属性：解释简化公式处理弦边的核心原理，通过拓扑变形（仅改变边的位置，不改变节点邻接关系），将环上的弦边转化为“环节点与围内节点的连接边”，且这种转化不会改变图的着色结果，保证计算后着色的有效性。
7.典型示例为四边形模块，其一条对角线可移至对侧两角，弦边连接直接转化为环上1个节点与围内1个节点的连接，完成弦边从环上到围内的无缝转化：用具体的四边形结构举例，直观说明弦边的转化过程，四边形的对角线（弦边）可通过拓扑形变，变成环上一个节点和围内一个节点的连接边，让抽象的转化原理变得具体可理解。

三、普适公式与虚拟环构建

1.适用于标准与非标准二维平面图，通过添加双层虚拟环实现所有平面图类型的统一计算，可处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构：明确普适公式的适用范围为所有二维平面图（标准+非标准），是四类公式中适用范围最广的，核心方法是“添加双层虚拟环”，实现所有平面图的统一计算标准，甚至能处理带孔洞、亏格曲面、多面体等复杂屏蔽结构的平面图。
2.w = 6(n_{\text{新}} - 4)：给出普适公式的代数表达式，形式最简，仅与添加虚拟环后的新节点数相关。
3.参数定义：n原为原始二维平面图节点个数（n原≥ 0），双层虚拟环总节点数为6（每层3个节点），n新= n原+ 6为添加虚拟环后新图的节点总数：定义公式参数，明确原始节点数n_原的取值范围可包含0（无原始节点的空结构），双层虚拟环的固定节点数为6（3+3结构），新节点数为原始节点数加6，是固定计算规则。
4.虚拟环功能：双层虚拟环包裹原图，使新图成为实际存在的标准二维平面图，原图作为子结构包含于新图中：解释虚拟环的核心功能，通过“包裹原图”让非标准、复杂结构的原图，转化为结构规则、实际存在的标准平面图，且原图完整保留在新图中，为后续着色结果映射提供基础。
5.去掉虚拟环后，原图可继承新图着色结果，且色数≤4：这是虚拟环的核心价值，新图的着色结果可直接传递给原图，去掉虚拟环后原图的着色结果依然有效，且保证原图的着色数不超过4，符合四色定理。
6.补充：公式自动处理双层虚拟环的连接边、内层环与原图的连接边，包括原图构型不连通时的虚拟连接边添加，且任意连接方式下w值恒定：补充说明普适公式的自动化计算能力，无需人工处理虚拟环与原图、虚拟环内部的连接边，即使原图是不连通的结构，公式也会自动添加虚拟连接边，且无论连接方式如何，最终计算出的辐边总和数w是固定不变的，保证了计算结果的唯一性。

四、重构公式（等价生成）

1.由辐边总和数直接确定最终等价的单中心标准轮图规模，实现从代数计算到图结构的落地：明确重构公式的核心功能，架起“代数计算”与“图结构”的桥梁，通过已计算出的辐边总和数w，直接确定最终等价的单中心轮图的大小，让抽象的代数数值转化为具体的图结构。
2.⊙ = 1 + w：给出重构公式的表达式，⊙代表最终的单中心标准轮图。
3.定义说明：1代表原图所有轮构型模块的中心节点经几何叠加生成的唯一中心等效体；w为该单中心轮图环上的节点数（与辐边数相等）：解释公式中各符号的含义，“1”是所有原图轮构型模块的中心节点融合后形成的唯一中心等效体（新图的唯一中心），w既是新图的环上节点数，也是新图的辐边数，实现了“数”与“形”的一一对应。

2.2 原图与新图的结构转换

1.原图（任意二维平面图）与新图（单中心标准轮图）可实现双向结构转换，且转换过程保持结构与功能的完全等价，为着色结果的映射提供基础：明确原图与新图的转换特性——双向可转，且转换不会改变二者的核心结构（节点、边的邻接关系）和功能（着色属性），这是新图着色结果能映射回原图、原图结构能转化为新图的核心前提。

2.2.1 原图分解至新图的转换步骤

1.分解原图：若原图有N个围内节点，将其分解为N个变形轮构型，并记录各构型几何形状：第一步是拆解原图，按围内节点数拆解为对应数量的“变形轮构型”（非标准的轮构型，是原图的基础结构单元），同时记录各构型的形状，保证后续还原的准确性。
2.还原构型：通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型：第二步是还原基础单元，通过“皮筋伸缩”式的拓扑形变（仅改变边的长度、形状，不改变节点连接关系），将所有变形轮构型转化为结构规则的标准轮构型。
3.扇化处理：选取各标准轮构型环上一个节点一侧与边的连接处断开(分离操作)，借助边与辐边的伸缩形成扇形（中心节点为扇柄中的扇钉/点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）：第三步是将标准轮构型处理为可拼接的“扇形结构”，通过断开环上的一个连接点，将轮构型展开为扇形，并定义扇形各部分与轮构型的对应关系，为后续拼接做准备。
4.拼接成图：将所有扇形拼接为单中心轮图，拼接规则为一个扇形一侧的节点端与另一个扇形一侧的边端相连，所有扇形的扇柄以点片形式叠加：第四步是拼接形成新图，按固定规则将所有扇形拼接为一个整体，且所有扇形的中心部分（扇柄）融合为一个唯一的中心等效体，最终形成单中心标准轮图。

2.2.2 新图还原至原图的转换步骤

1.分解新图：从新图的环上标记节点，将单中心轮图分解为n个扇形：第一步是拆解新图，按原图的扇形数量，在新图环上标记对应节点，将单中心轮图拆解为n个扇形，与原图拆解后的扇形数量一致。
2.还原构型：将各扇形的两端重新连接，恢复为标准轮构型：第二步是将扇形还原为标准轮构型，将扇化处理时断开的连接点重新连接，恢复每个扇形的标准轮构型结构。
3.叠加复原：按照原图的初始变形状态，对标准轮构型进行部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图的结构等价性：第三步是还原原图，按原图初始的几何形状，对所有标准轮构型进行部分或全部的节点、边叠加融合，最终恢复原图的完整结构，且保证与新图的结构、功能等价。

3. 新单中心轮图的最优着色问题

1.新单中心轮图的着色规则由其环上节点数的奇偶性决定，且色数恒≤4：明确新单中心轮图的核心着色规则——由环上节点数的奇偶性决定，且无论奇偶，着色数都不超过4，符合四色定理。
2.若原图中存在任意一个奇轮构型模块，即便新图为偶环，也需采用4色方案，确保着色结果能无冲突映射回原图：给出着色的核心约束条件，若原图中存在任意一个“奇轮构型”（环上节点数为奇数的轮构型），即使新图是偶环（环上节点数为偶数），也必须用4色着色，这是保证新图着色结果映射回原图后无邻接同色的关键。

3.1 奇环着色规则（环上节点数n = 2m + 1）

1.环上节点用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心等效体使用第4种颜色，总颜色数为4：明确奇环新图的着色步骤，先给环上节点用2种颜色交替着色，因节点数为奇数，会剩余1个节点，需用第3种颜色，中心等效体用第4种颜色，最终用4色完成着色。

3.2 偶环着色规则（环上节点数n = 2m）

1.环上节点用2种颜色交替着色m次，中心等效体使用第3种颜色，总颜色数为3：明确偶环新图的着色步骤，环上节点数为偶数，用2种颜色交替着色即可实现无邻接同色，中心等效体用第3种颜色，仅需3色即可完成着色。

3.3 核心约束

1.原图中若存在任意一个奇轮构型模块，无论新图环的奇偶性，均需采用4色着色方案，这是保证着色结果从新图向原图无冲突映射的关键条件：再次强调着色的核心约束，将约束与着色结果的映射有效性绑定，说明该约束的不可替代性，是原图无冲突着色的必要条件。

3.4 概念区分

1.本文所指新单中心轮图，由原图所有轮构型扇化模块组装而成，与传统图论中的单中心轮图属于不同概念：明确本文中“新单中心轮图”的独特性，其由原图的轮构型模块拼接而成，是与原图等价的结构，和传统图论中单纯的单中心轮图（无原图关联）不是同一概念。
2.其核心属性为色数恒≤4，适配平面图着色的核心需求：指出新单中心轮图的核心专属属性——色数不超过4，这一属性是为了适配平面图着色的需求而设计，也是其与传统单中心轮图的核心区别之一。

4. 原图与新图的功能等价性

1.原图与新图的功能等价性是着色结果可双向映射的核心保障，主要通过颜色统一、冲突调和、直接替换三种机制实现，确保转换过程中着色属性不发生改变：明确原图与新图功能等价的核心价值——保障着色结果双向映射，且给出实现功能等价的三种具体机制，这三种机制能保证转换过程中，图的着色属性（邻接节点不同色的要求）不发生任何改变。

4.1 原图到新图的功能保持

1.原图分解为n个轮构型后，若各轮构型中心节点的着色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心等效体的颜色：当原图各轮构型的中心节点颜色不同时，确定新图中心等效体颜色的规则——选取占比最高的颜色，保证中心颜色的代表性。
2.其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换的方式，实现所有中心节点颜色的统一，确保新图与原图的功能等价：针对颜色不同的剩余轮构型，通过“环节点与中心节点颜色互换”的方式，让所有轮构型的中心节点颜色与新图中心等效体颜色一致，实现颜色统一，保证新图与原图的功能等价。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射

1.新图分解为n个轮构型后，若新图中心等效体的颜色与原图各轮构型中心节点的颜色存在冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换的方式，调和颜色冲突：当新图中心颜色与原图中心节点颜色冲突时，采用“新图中心与环节点颜色互换”的方式，解决颜色冲突问题。
2.使新图中心节点颜色与原图保持一致，维持二者功能等价性：通过颜色互换，让新图中心颜色与原图中心节点颜色匹配，保证着色结果映射时，原图的邻接节点颜色无冲突，维持二者的功能等价。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

1.在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色无任何冲突，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心节点的颜色替换：给出双向转换中着色的简化操作规则，当颜色无冲突时，无需执行复杂的颜色互换，直接替换中心节点颜色即可，简化着色流程。
2.大幅简化着色流程，且不影响着色结果的有效性：说明该简化机制的价值，在保证着色结果有效的前提下，大幅减少操作步骤，提升着色效率。

5. 结论

1.本文提出的辐边总和公式，通过虚拟环包裹、轮构型分解与叠加、单中心轮图转化的核心逻辑，实现了任意二维平面图向单中心轮图的规范化转换：总结本文核心公式的实现逻辑，通过“虚拟环、轮构型分解叠加、单中心轮图转化”三大核心步骤，实现了任意平面图到单中心轮图的标准化、规范化转换。
2.且原图与新图具备可分可合的双向结构转换能力与完全的结构、功能等价性：总结原图与新图的核心转换特性，双向可分可合，且结构、功能完全等价，这是整个理论体系的核心基础。
3.该公式以纯代数形式构建，独立于传统欧拉公式体系，四类公式覆盖所有标准与非标准二维平面图，可处理环上弦边、孔洞、亏格曲面等复杂结构：总结辐边总和公式的体系特征，纯代数构造、独立于欧拉公式、四类公式全覆盖、可处理各类复杂结构，体现了公式的通用性与实用性。
4.结合单中心轮图的奇偶性着色规则（色数恒≤4），为平面图着色提供了系统化、可操作的理论框架与实践方法：总结公式的应用价值，与新图的着色规则结合后，形成了一套完整、可落地的平面图着色理论框架和操作方法，解决了传统方法的痛点。
5.新单中心轮图的着色结果可无冲突映射回原图，且核心约束（奇轮构型模块强制4色）确保了映射的有效性：总结着色结果映射的有效性，新图着色结果可无冲突传递给原图，且核心约束保证了这种映射的准确性，是着色落地的关键。
6.最终验证了四色定理在二维平面图着色中的适用性，为图论着色问题的研究提供了新的思路与方法：总结本文研究的理论价值，通过实际的着色方法与过程，再次验证了四色定理的适用性，同时为图论着色问题的后续研究提供了全新的思路和方法。
7.重要注记：本公式仅适用于二维平面图，对K5、K3.3等非平面图不具备适用性：补充说明公式的适用边界，明确公式仅针对二维平面图，对K5（5个节点全连接）、K3.3（二部图，3+3节点交叉连接）等经典非平面图不适用，保证公式的严谨性。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理
（关键词是对本文核心研究对象、方法、问题的高度概括，便于检索与理解论文核心内容）

朱明君

辐边总和公式体系（精准规整版）

本体系为平面图（含二维平面图、多面体转化平面图）提供统一的辐边总数计算方法，适用于任意结构特征的平面图。体系包含基础、综合、简化、普适四大类公式，以总节点数n、外围节点数m、围内节点数d为核心参数，逻辑自洽、覆盖全面，可作为平面图辐边计算的标准化工具集。

&#160;

一、标准二维平面图（无孔洞）

1. 基础公式一（双层及以上环+中心结构）

w = 6(n - m - 1) + (m - d)

- 适用：由外向内至少两层环加中心区域的规则结构。
- 参数：n ≥ 4，m ≥ 2，d ≥ 2。
- 关系：n = m + d + c（c = 第二层环内部节点数）。
- 含义：m = 外围环节点数，d = 第二层环节点数。

2. 综合公式二（单层/多层外环+中心结构）

w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z

- 适用：单层或多层外环加中心区域的结构，考虑围内连接复杂度。
- 参数：n ≥ 4，m ≥ 2，d ≥ 2。
- 关系：n = m + d（d = 围内所有节点总数）。

调整项z（三角剖分模型）：

- 理论边数：v = 2d - 3
- 实际边数：k ∈ [d-1, 3d-5]（连续正整数）
- 计算：z = k - v
- 若k > v，取+z；若k < v，取-z；若k = v，则z = 0。

3. 简化公式三（通用结构，极简形式）

w = n + 3d - 4 + z

- 适用：所有标准二维平面图，结构约束更宽松。
- 参数：n ≥ 2，m ≥ 1，d ≥ 1。
- 关系：n = m + d。
- 核心项：3d - 4（围内节点对辐边数的核心贡献项）。

调整项z（树型模型）：

- 理论边数：v = d - 1（树型为围内最小边数模型）
- 实际边数：k ∈ [d-1, 3d-5]（连续正整数）
- 计算：z = k - v
- 若k > v，取+z；若k = v，则z = 0（无k < v情况）。

&#160;

二、非标准二维平面图（含孔洞）

1. 定义

- 结构：至少两层环+中心区域的平面图；
- 孔洞：所有孔洞均为边数≥4的多边形。

2. 孔洞修正项

z外 = N外 - 3v外
z内 = 2(N内 - 3v内)

- N外、N内：外围/围内所有孔洞的边数总和；
- v外、v内：外围/围内的孔洞个数。

3. 孔洞适配公式

在对应标准公式基础上，直接减去孔洞修正项之和，无需额外调整：
基础公式适配：w = 6(n-m-1)+(m-d)-(z外+z内)
综合公式适配：w = 6(n-m-1)+(m-d)±z-(z外+z内)
简化公式适配：w = n+3d-4+z-(z外+z内)

&#160;

三、普适公式（覆盖所有平面图）

统一规则

对任意平面图，添加双层虚拟环（每层3节点，总计新增6节点），新节点数为：
n新 = n原 + 6

核心公式

w = 6(n新 - 4) = 6(n原 + 2)

核心说明

只要是平面图，无论是否含孔洞、曲面、亏格、环上弦边，无论有环/无环、构型连通/非连通，无论是否为多面体转化图，仅需输入原图节点数n原，公式自动完成所有结构处理，无需手动区分类型、无任何额外调整项。

&#160;

四、多面体的平面转化处理

转化说明

多面体经展开→剪面→透视投影后可转化为平面图，归属于本体系的平面图范畴，无需单独定义公式。

公式选用

直接使用普适公式计算，仅需获取多面体原图的节点数，公式自动处理其所有结构特征，无额外手动操作。

&#160;

五、基于n, m, d的基础几何量（标准无孔洞）

基于核心参数直接推导平面图的三角剖分相关几何量，适用于标准无孔洞二维平面图：
a = 2n - m - 2 （三角形个数）
e = 3n - m - 3 （总边数）
P = 3n - 2m - 3 （共享边个数）
R = 6n - 2m - 6 （节点度数之和）

&#160;

六、基于w, m, d的导出几何量（标准无孔洞）

由辐边总数w逆推平面图的三角剖分相关几何量，为基础几何量公式的逆运算，适用于标准无孔洞二维平面图：
a = (w + 2m + d)/3
e = (w + 3m + d)/2
P = (w + m + d)/2
R = w + 3m + d

&#160;

七、特殊对称情形（m = d = n/2）

适用条件

平面图为高度对称结构，外围节点数等于围内节点数，满足n = 2m = 2d。

核心公式

w = 5n/2 - 4 + z

调整项z（树型模型）

v = n/2 - 1，k ∈ [n/2-1, 3n/2-5]，z = k - v

适用场景

规则六边形网格、对称拓扑设计、对称环式平面图等。

&#160;

体系核心汇总

公式选用对应说明

1.&#160;基础公式一：适用于多层环加中心的标准规则结构，核心输入为n、m、d（其中d为第二层环节点数），核心特点是适配规则结构，计算结果精准。
2.&#160;综合公式二：适用于单层或多层环加中心的结构，核心输入为n、m、d加上调整项z，核心特点是考虑围内连接的复杂度，适配范围更广。
3.&#160;简化公式三：适用于所有标准无孔洞的二维平面图，核心输入为n、m、d加上树型模型的调整项z，核心特点是形式极简，计算效率更高。
4.&#160;普适公式：适用于所有类型的平面图，核心输入仅需原图节点数n原，核心特点是全自动处理所有结构特征，无需手动分类判断。

核心优势

1.&#160;全覆盖：标准/非标准二维平面图、多面体转化平面图全部涵盖，适配任意结构特征；
2.&#160;自动化：普适公式仅需原图节点数，自动处理孔洞、亏格、弦边、连通性等所有结构特征；
3.&#160;一致性：所有公式逻辑自洽，参数定义清晰统一，无冲突无冗余；
4.&#160;实用性：兼顾精准计算与高效计算，可按需选用公式，适配图论研究、计算机图形学、网络拓扑分析等领域。

推荐使用策略

1.&#160;对于已知具体结构的标准无孔洞平面图：选用基础/综合/简化公式，获得更贴合结构的精准结果；
2.&#160;对于复杂结构、未知类型平面图，或多面体转化图：直接使用普适公式，避免繁琐的结构分类与判定；
3.&#160;对于含孔洞的非标准平面图：优先选用对应标准公式的孔洞适配版，或直接使用普适公式快速计算。

朱明君

辐边总和公式体系核心研究思路（学术摘要式）

本研究以二维平面图着色问题为切入点，提出一套以辐边总和数w为核心的构造性化归理论。该理论通过将任意复杂平面图的着色问题等价转化为结构规范的单中心轮图着色问题，构建了从w的代数计算到平面图系统化着色的完整方法论体系，既为四色定理提供了构造性证明，也给出了标准化的着色实操流程。其核心突破在于将传统拓扑着色难题拆解为辐边总和数的代数计算与标准轮图的规则着色两个独立子问题，实现了四色定理从存在性证明到构造性实现的关键跨越。

一、核心概念：辐边总和数w的双重定义与桥梁作用

研究初期从几何直观出发，将“辐边数”定义为原图所有轮构型辐条的总和，其值直接决定等价单中心轮图的规模（环上节点数）。后续研究发现，该数值恰等于原图中所有围内节点（非最外围环上的节点）的度数之和，即：
w = \sum_{v \in \text{围内}} \deg(v)
这一等价性的确立，实现了几何概念（辐边数）与图论概念（度数之和）的统一，使w成为连接原图拓扑结构与等价轮图几何构造的关键代数枢纽。基于此，复杂的平面图着色问题被转化为两个可操作核心步骤：精准计算w、构造并着色对应的单中心轮图。

二、公式体系的演进：从试验归纳到一般普适

辐边总和公式体系的构建遵循从具体试验到抽象公式、从特殊结构到一般情形的演进逻辑，历经三轮关键迭代形成完整体系：

1.&#160;基础公式的试错与修正
最初尝试以总节点数n与外围节点数m的线性组合表示w，发现简单比例关系均存在数值偏差。经多次试验，引入系数6并调整常数项得到初步形式w = 6(n - m - 1)，但该式仅在外围环与第二层环节点数相等时成立。后续通过加入结构修正项(m - d)，并将d明确定义为由外向内第二层环上的节点数，最终得到适用于标准多层环结构的基础公式：
w = 6(n - m - 1) + (m - d)
该公式为整个体系的构建奠定了基础。
2.&#160;调整项的引入与公式扩展
为适配平面图实际连接密度的动态变化，在基础公式中引入调整项z，得到综合公式：
w = 6(n - m - 1) + (m - d) \pm z
其中z以三角剖分状态为基准，量化实际边数偏离标准值的程度。同时，从树型连接基准出发独立推导，得到形式更简洁的简化公式：
w = n + 3d - 4 + z
两公式在d \geq 2时可通过代数转换实现等价，而简化公式的参数约束更宽松（允许d=1），成为理论体系中更通用的核心表达式。
3.&#160;虚拟环标准化与普适公式
为解决非标准平面图（含带孔洞、非连通结构等）的计算难题，提出双层虚拟环标准化操作：为任意原图统一添加由6个节点构成的双层虚拟环（每层3节点），将所有非标准结构嵌入标准分析框架。变换后新图总节点数满足n_{\text{新}} = n_{\text{原}} + 6，并推导出普适公式：
w = 6(n_{\text{新}} - 4)
该公式使任意平面图的w计算仅依赖变换后的总节点数，实现了理论体系的终极代数简化。

三、标准化着色流程：从代数计算到拓扑映射

基于w的精确计算结果，建立四步标准化着色流程，实现从代数数值到平面图拓扑着色的无损映射：

1.&#160;计算w：根据原图的结构特征，择用基础公式、综合公式、简化公式或普适公式完成w的精准计算；
2.&#160;构造等价轮图：以w为环上节点数，构建单中心标准轮图W_{w+1}；
3.&#160;轮图规则着色：依据二元判定规则确定色数并完成着色：
- 若w为偶数且原图无任何奇轮构型模块，采用3色着色（环上节点2色交替，中心节点为第3色）；
- 若w为奇数或原图存在任意奇轮构型模块，采用4色着色。
4.&#160;逆映射回原图：通过逆变换将轮图的着色方案无冲突映射至原图，严格保证原图着色色数\leq 4。

四、理论突破与研究意义

本研究的核心学术贡献与实践价值体现在三方面：

1.&#160;拓扑问题代数化：通过辐边总和数w搭建拓扑结构与代数计算的桥梁，构建了覆盖所有平面图类型的统一公式体系，将复杂的拓扑分析转化为简单的算术计算；
2.&#160;四色定理构造性证明：提供了从原图到着色结果的完整计算与变换路径，突破了传统四色定理存在性证明的局限，实现了构造性证明的目标；
3.&#160;着色方法可操作化：建立的标准化着色流程清晰明确、逻辑严谨，易于算法化实现，为平面图着色问题提供了系统化的解决工具，具备较强的工程实践价值。

该体系突破了传统平面图着色研究的拓扑推理范式，通过“分解-归约-计算-映射”的研究思路，将复杂问题拆解为两个易解的独立子问题，为图论着色领域提供了全新的理论框架与实践方法，也为代数图论在拓扑问题中的应用提供了新的思路。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理；构造性方法；代数图论

朱明君

优化辐边总和公式体系核心研究思路

用户现在需要的是对这份学术摘要式的辐边总和公式体系核心研究思路做优化，保持原有结构和内容，让表述更严谨、流畅，学术性更强，同时修正一些小的表述细节，比如公式的排版、语句的衔接，还有一些术语的统一，比如“分剂试用”之前的笔误已经修正，这里保持现有内容即可。

首先，整体框架不变，还是摘要+四个部分（核心概念、公式演进、着色流程、理论突破）+关键词，优化语句的连贯性，让学术表述更精炼，比如一些连接词的调整，公式的标注更规范，还有部分语句的精简，避免重复。

然后，检查公式部分的排版，确保符号统一，比如n新、n原的标注，调整项z的说明，还有基础公式的推导表述更顺畅。

还要注意保持用户的核心内容，不删减关键的试错过程、公式演进、着色规则，只是优化表述，提升学术质感。# 辐边总和公式体系核心研究思路（学术摘要式）

本研究以二维平面图着色问题为切入点，提出一套以辐边总和数$$w$$为核心的构造性化归理论。该理论通过将任意复杂平面图的着色问题等价转化为结构规范的单中心轮图着色问题，构建了从$$w$$的代数计算到平面图系统化着色的完整方法论体系，既为四色定理提供了构造性证明，也给出了标准化的着色实操流程。其核心突破在于将传统拓扑着色难题拆解为辐边总和数的代数计算与标准轮图的规则着色两个独立子问题，实现了四色定理从存在性证明到构造性实现的关键跨越。

一、核心概念：辐边总和数$$w$$的双重定义与桥梁作用

研究初期从几何直观出发，将“辐边数”定义为原图所有轮构型辐条的总和，其值直接决定等价单中心轮图的规模（环上节点数）。后续研究发现，该数值恰等于原图中所有围内节点（非最外围环上的节点）的度数之和，即：

$$w = \sum_{v \in \text{围内}} \deg(v)$$

这一等价性的确立，实现了几何概念（辐边数）与图论概念（度数之和）的统一，使$$w$$成为连接原图拓扑结构与等价轮图几何构造的关键代数枢纽。基于此，复杂的平面图着色问题被转化为两个可操作核心步骤：精准计算$$w$$、构造并着色对应的单中心轮图。

二、公式体系的演进：从试验归纳到一般普适

辐边总和公式体系的构建遵循从具体试验到抽象公式、从特殊结构到一般情形的演进逻辑，历经三轮关键迭代形成完整体系：

1. 基础公式的试错与修正

最初尝试以总节点数$$n$$与外围节点数$$m$$的线性组合表示$$w$$，发现简单比例关系均存在数值偏差。经多次试验，引入系数6并调整常数项得到初步形式$$w = 6(n - m - 1)$$，但该式仅在外围环与第二层环节点数相等时成立。后续通过加入结构修正项$$(m - d)$$，并将$$d$$明确定义为由外向内第二层环上的节点数，最终得到适用于标准多层环结构的基础公式：

$$w = 6(n - m - 1) + (m - d)$$

该公式为整个体系的构建奠定了基础。

2. 调整项的引入与公式扩展

为适配平面图实际连接密度的动态变化，在基础公式中引入调整项$$z$$，得到综合公式：

$$w = 6(n - m - 1) + (m - d) \pm z$$

其中$$z$$以三角剖分状态为基准，量化实际边数偏离标准值的程度。同时，从树型连接基准出发独立推导，得到形式更简洁的简化公式：

$$w = n + 3d - 4 + z$$

两公式在$$d \geq 2$$时可通过代数转换实现等价，而简化公式的参数约束更宽松（允许$$d=1$$），成为理论体系中更通用的核心表达式。

3. 虚拟环标准化与普适公式

为解决非标准平面图（含带孔洞、非连通结构等）的计算难题，提出双层虚拟环标准化操作：为任意原图统一添加由6个节点构成的双层虚拟环（每层3节点），将所有非标准结构嵌入标准分析框架。变换后新图总节点数满足$$n_{\text{新}} = n_{\text{原}} + 6$$，并推导出普适公式：

$$w = 6(n_{\text{新}} - 4)$$

该公式使任意平面图的$$w$$计算仅依赖变换后的总节点数，实现了理论体系的终极代数简化。

三、标准化着色流程：从代数计算到拓扑映射

基于$$w$$的精确计算结果，建立四步标准化着色流程，实现从代数数值到平面图拓扑着色的无损映射：

1. 计算$$w$$：根据原图的结构特征，择用基础公式、综合公式、简化公式或普适公式完成$$w$$的精准计算；

2. 构造等价轮图：以$$w$$为环上节点数，构建单中心标准轮图$$W_{w+1}$$；

3. 轮图规则着色：依据二元判定规则确定色数并完成着色：

  - 若$$w$$为偶数且原图无任何奇轮构型模块，采用3色着色（环上节点2色交替，中心节点为第3色）；

  - 若$$w$$为奇数或原图存在任意奇轮构型模块，采用4色着色。

4. 逆映射回原图：通过逆变换将轮图的着色方案无冲突映射至原图，严格保证原图着色色数$$\leq 4$$。

四、理论突破与研究意义

本研究的核心学术贡献与实践价值体现在三方面：

1. 拓扑问题代数化：通过辐边总和数$$w$$搭建拓扑结构与代数计算的桥梁，构建了覆盖所有平面图类型的统一公式体系，将复杂的拓扑分析转化为简单的算术计算；

2. 四色定理构造性证明：提供了从原图到着色结果的完整计算与变换路径，突破了传统四色定理存在性证明的局限，实现了构造性证明的目标；

3. 着色方法可操作化：建立的标准化着色流程清晰明确、逻辑严谨，易于算法化实现，为平面图着色问题提供了系统化的解决工具，具备较强的工程实践价值。

该体系突破了传统平面图着色研究的拓扑推理范式，通过“分解-归约-计算-映射”的研究思路，将复杂问题拆解为两个易解的独立子问题，为图论着色领域提供了全新的理论框架与实践方法，也为代数图论在拓扑问题中的应用提供了新的思路。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理；构造性方法；代数图论

朱明君

辐边总和公式体系核心研究思路（学术摘要式）

本研究以二维平面图着色问题为切入点，提出了一套以辐边总和数 w 为核心的构造性化归理论。该理论通过将任意复杂平面图的着色问题等价转化为结构规范的单中心轮图的着色问题，构建了从 w 的代数计算到平面图系统化着色的完整方法论体系，不仅为四色定理提供了构造性证明，还给出了标准化的着色流程。其核心突破在于将传统拓扑着色难题拆解为可代数计算的辐边总和数与规则轮图着色两个独立子问题，实现了从存在性证明到构造性实现的跨越。

一、核心概念：辐边总和数 w 的双重定义与桥梁作用

研究初期从几何直观出发，将“辐边数”定义为原图所有轮构型辐条的总和，其值直接决定等价单中心轮图的规模（环上节点数）。随后发现该数值恰等于原图中所有围内节点（不在最外围环上的节点）的度数之和，即：

w = \sum_{v \in \text{围内}} \deg(v)

这一等价性的确立，将几何概念（辐边数）与图论概念（度数之和）统一于同一变量 w，使其成为连接原图拓扑结构与等价轮图几何构造的关键代数枢纽。基于此，复杂着色问题被转化为两个可操作步骤：计算 w、构造并着色对应的单中心轮图。

二、公式体系的演进：从试验归纳到一般普适

公式体系的构建经历了从具体试验到一般公式的逐步抽象过程：

1. 基础公式的试错修正
      最初尝试用总节点数 n 与外围节点数 m 的线性组合表示 w，发现简单比例关系均存在偏差。经多次试验，引入系数 6 并调整常数项，得到初步形式 w = 6(n - m - 1)，但该式仅在外围环与第二层环节点数相等时成立。进一步加入结构修正项 (m - d)，并将 d 明确定义为由外向内第二层环上的节点数，最终得到适用于标准多层环结构的基础公式：
   w = 6(n - m - 1) + (m - d)
   该公式奠定了后续体系的基础。
2. 调整项的引入与公式扩展
      为适应实际连接密度变化，在基础公式中引入调整项 z，得到综合公式：
   w = 6(n - m - 1) + (m - d) \pm z
   其中 z 以三角剖分状态为基准，量化实际边数偏离标准值的程度。同时，从树型连接基准出发，独立推导出形式更简洁的简化公式：
   w = n + 3d - 4 + z
   两公式在 d \geq 2 时可通过代数转换等价，但简化公式参数约束更宽松（允许 d=1），成为理论体系更通用的核心表达式。
3. 虚拟环标准化与普适公式
      为处理非标准平面图（如带孔洞、非连通结构），提出双层虚拟环标准化操作：为任意原图统一添加一个 6 节点的双层虚拟环（每层 3 节点），将其嵌入标准框架。变换后新图总节点数 n_{\text{新}} = n_{\text{原}} + 6，并得到普适公式：
   w = 6(n_{\text{新}} - 4)
   该公式使任意平面图的 w 计算仅取决于变换后的节点数，实现了终极代数简化。

三、标准化着色流程：从代数到拓扑的映射

基于 w 的精确计算，建立四步着色流程：

1. 计算 w：根据原图结构选用相应公式（基础、综合、简化或普适公式）。
2. 构造等价轮图：构建以 w 为环上节点数的单中心标准轮图 W_{w+1}。
3. 轮图着色：依据二元规则确定色数：
   · 若 w 为偶数且原图中不存在任何奇轮构型模块，则用 3 色（环上 2 色交替，中心第 3 色）。
   · 若 w 为奇数或原图中存在任意奇轮构型模块，则必须使用 4 色。
4. 逆映射回原图：通过逆变换将轮图着色方案无冲突映射回原图，保证原图着色色数 ≤ 4。

四、理论突破与意义

本研究的核心贡献在于：

· 代数化：通过辐边总和数 w 将拓扑问题转化为可公式计算的代数问题，构建了覆盖所有平面图类型的统一公式体系。
· 构造性：提供了从原图到着色结果的具体计算与变换路径，实现了四色定理的构造性证明。
· 可操作性：着色流程清晰明确，易于算法实现，为平面图着色提供了系统化解决工具。

该体系突破了传统拓扑推理范式，将复杂问题分解为代数计算与规则着色两个易解子问题，为图论着色领域提供了全新的理论框架与实践方法。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理；构造性方法；代数图论

朱明君

总结
在辐边总和公式体系下：

新图色数 ≥ 原图色数 ：因虚拟环引入额外邻接约束，降低原图着色自由度，
总色数恒定 ≤4 ：由单中心轮图的着色简并性、四色定理全局覆盖及映射规则共同保障，
统一计算着色 ：以虚拟环为桥梁，通过代数驱动标准化着色流程，实现平面图着色的无条件普适性 与计算高效性

朱明君

&#9989; 结论 ：新图的着色方案需覆盖虚拟环引入的全局约束，故其色数 χ(新图) ≥ χ(原图)  46

朱明君

总结
辐边总和普适公式 w=6(n原+6-4)，以虚拟环标准化 （+6节点）和极简代数运算 （-4后×6）为核心：
无条件覆盖 任意平面图；
恒偶输出 w  直接驱动≤4色着色；
零结构分析成本 ，计算复杂度最优。
该公式标志着平面图着色理论从“结构解析”到“代数驱动”的终极进