微积分的代数重建：通过无穷小量与对偶数

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微积分的代数重建：通过无穷小量与对偶数

原创  Romqani Isa  数学晚风  2026 年 1 月 18 日 08:08  广东

微积分作为数学分析的核心分支，传统上建立在极限概念之上，通过逼近过程定义导数和积分。然而，从代数视角出发，我们可以引入无穷小量，构造特定的代数结构，以纯代数方式重构微积分的基本框架。这种方法不仅简化了推导过程，更揭示了微积分与代数学之间的深刻联系。本文将基于对偶数代数，系统阐述微积分的代数化理解，并补充关键数学细节以增强严谨性。

一、无穷小量的历史与代数化动机



二、对偶数代数的构造与性质



三、导数的代数定义与函数扩展



四、微积分基本规则的代数推导



五、高阶导数与积分的代数处理



六、与标准微积分的联系与应用



结语

通过无穷小量构造对偶数代数，以纯代数方式重建了微积分核心内容，揭示了导数作为局部线性近似的本质。这种方法不仅简化了推导，还强化了微积分与代数的联系，为理解连续变化提供了直观而严格的框架。尽管对偶数代数在严格性上需与传统分析衔接（如可微性保证扩展的唯一性），但其代数简洁性使其成为独立的教学和应用工具，体现了数学中抽象与统一的魅力。

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