【数学家的故事】希尔伯特：“我们必须知道，我们必将知道”

luyuanhong

【数学家的故事】希尔伯特：“我们必须知道，我们必将知道”

原创  黑白  黑白读书笔记  2025 年 12 月 8 日 19:21  吉林



1900 年 8 月 8 日，巴黎国际数学家大会，一位 38 岁的德国教授登上讲台。他本应作例行报告，却抛出了 23 个数学问题，如同一幅精心绘制的地图，为整个 20 世纪的数学探险指明了方向。他是大卫·希尔伯特。

01  哥廷根的太阳：如何从普通教授成为数学领袖

1862 年，希尔伯特出生于东普鲁士的柯尼斯堡，父亲是一位法官。8 岁那年，进入皇家腓特烈学院读书，与那些数学史上的神童们不同，希尔伯特的表现极为普通。甚至一度被老师和同学认为是个反应迟钝的“笨孩子”。

1879 年，希尔伯特从威廉中学高中毕业，在高中时期，他才建立起自己对数学的兴趣。

1880 年，进入柯尼斯堡大学开始全身心攻读数学，在这里，他遇到了两位对他一生都产生重要影响的同学：赫尔曼·闵可夫斯基和阿道夫·胡尔维茨。

1884 年获得柯尼斯堡大学博士学位，1885 年赴莱比锡大学和巴黎大学访问，而后在柯尼斯堡大学担任讲师，逐步晋升至副教授、教授。

1895 年，33 岁的他受邀来到哥廷根大学——当时的世界数学中心。

希尔伯特的崛起始于对代数不变量理论的突破性工作。

当数学界普遍认为主要问题已解决时，希尔伯特用全新的非构造性方法证明了“不变量的基有限定理”，震惊同行。他的一句名言从此流传：“这不是证明，这是神学！”针对的是那种冗长而缺乏思想性的推导。

他的研究风格极具特色：从具体问题入手，提炼一般原理，最后构建宏大理论。这种“希尔伯特式”的方法，使他先后在代数数论（《数论报告》）、几何基础（《几何基础》）、积分方程和物理学基础等领域做出开创性贡献。

02  23 个问题：为 20 世纪数学绘制“航海图”

1900 年的巴黎演讲是科学史上罕见的战略性思考。希尔伯特没有展示自己的最新成果，而是俯视整个数学版图，提出了23个待解决的核心问题：

1. 连续统假设

2. 算术公理的相容性

3. 两等底等高四面体体积相等问题

4. 直线作为两点间最短距离的问题

5. 李群的连续变换群概念

6. 物理公理的数学处理

7. 某些数的无理性和超越性

8. 素数分布问题

9. 任意数域中最一般的互反律证明

10. 丢番图方程可解性判定

    ……  

直至第 23 个问题——变分法的进一步发展。

这些问题犹如 23 座灯塔，吸引了柯尔莫哥洛夫、哥德尔、外尔等几代最聪明的头脑。

截至今日，约一半问题已基本解决，部分问题催生了全新分支，少数问题仍是未解之谜。

03  形式主义宣言：让数学成为“无意义的符号游戏”

20 世纪 20 年代，数学基础危机爆发：集合论悖论动摇了整个大厦的根基。希尔伯特提出了雄心勃勃的“形式主义纲领”：

形式化：将数学全部公理化，转化为纯粹符号系统

有限性：只用有限步骤证明

相容性证明：用有限方法证明该系统不会产生矛盾

完备性：所有真命题都可在此系统内证明

“我们必须知道，我们必将知道！”（Wir müssen wissen, wir werden wissen.）这句话后来刻在他的墓碑上。

这一纲领的核心，是将数学从“内容科学”转变为“形式科学”，从而一劳永逸地确保其可靠性。为此，希尔伯特发展了元数学（证明论），这是人类第一次系统研究“关于证明的证明”。

04  哥德尔的惊雷：理想国的裂缝

1930 年，希尔伯特即将退休，准备安享形式主义的胜利。

然而在柯尼斯堡的一次会议上，一位 24 岁的年轻人库尔特·哥德尔平静地宣布：在任何包含初等算术的形式系统中，存在既不能证明也不能证伪的命题。

这就是著名的哥德尔不完备性定理。它直接击中了希尔伯特纲领的心脏：

相容性无法在系统内部证明；系统必然不完备

当助手将消息带给希尔伯特时，他起初愤怒拒绝相信。据目击者回忆，那几天哥廷根的数学讨论“笼罩在葬礼般的气氛中”。希尔伯特最终调整了纲领，但数学绝对确定性的梦想，已然破碎。

这不仅是数学的转折点：一个毕生相信“一切问题皆有解”的人，在晚年遭遇了根本性的“无解”；一位致力于建立完美系统的建筑师，发现自己设计的宫殿存在不可避免的裂缝。

05  哥廷根的黄昏：在黑暗中坚守理性

1933 年纳粹上台，哥廷根学派遭受灭顶之灾。

犹太裔同事和学生被驱逐，包括他的得意门生埃米·诺特。希尔伯特是少数公开抗议的德国科学家之一。

在纳粹教育部长问“哥廷根的数学现在怎么样了”时，他著名地回答：“哥廷根没有数学了。”这句话既是对现实的陈述，也是最后的抗争。

他于 1943 年在孤寂中去世，葬礼只有十几人参加，世界正在战火中燃烧他珍视的一切理性价值。

06  遗产：问题比答案更重要

希尔伯特的墓碑上除了那句名言，只有一个名字和日期。但他的遗产远超个人成就：

问题导向的研究范式：他证明了提出正确问题比解决问题更重要。

数学的统一视野：他坚持数学是不可分割的整体。

形式化思维：虽然纲领未完全实现，但形式化已成为现代数学的通用语言。

哥廷根精神：开放、合作、追求根本问题的学术文化。

希尔伯特的一生，是数学从古典走向现代的缩影。

他继承了 19 世纪对数学确定性的信仰，试图为整个学科建立终极基础。

他预见了 20 世纪数学的爆炸性发展，用 23 个问题引导了方向。

他亲历了理性主义的危机，见证了绝对确定性的幻灭。

今天，当我们使用希尔伯特空间（量子力学的数学基础）、学习希尔伯特曲线、或是研究他的零点定理时，我们仍在与他对话。

他留给我们的，不仅是一系列问题和方法，更是一种精神：即使知道可能有根本的局限，依然要追问到底；即使理想国终将崩塌，也要在崩塌前画出最完美的蓝图。

黑白读书笔记