一个数学家对学生时代的回顾

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一个数学家对学生时代的回顾

作者  Grothendieck  数学家  2025 年 12 月 26 日 08:00  北京


Alexander Grothendieck

当我还是孩童的时候，我爱极了上学。教我们阅读、写作、计算和唱歌的是同一个老师（音乐课时他总是用一把小提琴来给我们伴奏），也是他让我们认识了史前人类还有火的发现。在我的记忆中那时从来没有人会对学校感到厌烦。数字、单词、符号还有音调，它们都有着奇幻的魔力。以及歌曲和小诗当中的韵脚也一样。似乎在每一个韵脚里都蕴藏着一个高于单词的秘密。

一直以来我都是这样认为的，直到有一天某个人对我解释说这其实是个相当简单的玩意儿；当我们用同样的元音来为连续所谈论的两个动作结尾时，就那么简简单单地一下子，就像是中了魔法一般，韵脚就变成了诗句。多么大的一个启示呀！

在家里的时候，总是会有一个担保人围着我转，一个又一个星期、一个又一个月，我完全活在作诗的乐趣中。有些时候，我甚至只愿意说有韵脚的话语。还好那都已经是过去的事了，庆幸呀！可即使在今天，我也时不时地要写写诗——只是如果韵脚没有自然而然地到来，我绝对不会强行地去寻找了。

还有一次，有一个比我大的朋友来教我负数，他已经上高中了。这是另外一个非常有意思的游戏，只是我更快地就觉得厌烦了。还有填字游戏——我会花上许多天甚至是许多个星期来构造，并且会组合得越来越交错难分。这个游戏集合了形式、符号还有单词的魔力。可是对它的激情也最终离开了我，悄无声息地，没有留下任何痕迹。

进入中学以后，我先在德国上了一年学，后来又去了法国，我是个好学生，但还算不上一个“星光灿灿的学生”。我毫不吝惜地全情投入到最感兴趣的课程当中，而总是避免不了会冷落了不怎么吸引我的那些，对于这些课老师的评价我实在关心得太少。

1940 年，我在法国上高中的第一年，我和母亲被囚禁在里厄克罗的集中营里，在芒得附近。这就是战争，我们是外人——就像人们所说的，是“不被期望到来的人”。尽管依旧是“不被期望到来的”，然而集中营的行政管理部门对里面的孩子们都是睁一只眼闭一只眼。我们几乎可以随随便便地进进出出。我是其中最年长的，只有我一个人已经上了高中，不管刮风下雪，我总是会穿着老是进水的防水鞋走四五公里去学校。

我如今依旧记得第一次数学测验，那次测验老师给了我一个很低的分数，因为在证明“全等三角形的三种情形”其中一种时，我没有按照书本上说的方法，而他则是相当虔诚地奉为标准。

然而，我清楚地知道我的证明虽没有比书上的方法更有说服力却也不会在这方面显得缺乏，并且我也是一直忠于其证明思想的，即借助于没完没了的“用某一种方法使某个图形转化成另一种图形”的老传统。

显而易见，这个教导我的人自觉没有能力运用其自身的智慧之光来评判（此处，论证有效）。他必须参考某一权威，在这种情况下通常都会是某一本书。类似的处理方式都会让我很震惊，因为它们总会让我想起这件小事。此后并且直至今日，我还相当频繁地可以看到这种处理方式，没有丝毫变化，毕竟规则几乎总是通用的。

这方面其实有很多要说的——在《收获与播种》中，我借助于许多不同的形式不止一次地谈及过这个话题。但是即使是今天，不管我愿不愿意，每次当我与之遭遇时，我就会经历到窘迫……

战争的最后几年，我母亲依旧被监禁在集中营里，而我则住到了“瑞士援救”的一个儿童之家。“瑞士援救”是专门为逃难儿童设立的，位于里酿的尚邦。我们中大部分都是犹太人，当我们被告知盖世太保（德国的秘密警察）的大搜捕将要展开时，我们就会两三个人聚在一起组成一个小团队，在树林里躲上一两个晚上，很少意识到这样做只因为我们是犹太人。在这块地域上，满是躲藏在赛文地区的犹太人，许多人都是多亏了当地居民的团结保护才得以幸存下来。

在西文诺勒中学（我上学的地方）尤其让我觉得吃惊的是，我的那些同学们对他们所学的一点兴趣也没有。至于我，在每一学年初，我就开始啃食课本，想着这一次我们终于要学一些真正有意思的东西了；然后在剩下的时间里我就可以更加随心所欲的运用我的时间了，在这漫长的三个月里，预计的课程会不可避免地展开。我们的老师和所有的老师一样都那么热情。

福赫戴勒先生是我们的自然历史老师，他通情达理而且极具才智。可是，由于他无法做到“严厉冷酷”，他总是遭受疯狂的起哄，以至于到了年末，他甚至变得无法继续上课了，他那柔弱的嗓音被一片哄闹声所覆盖。就是因为这个，如果我是如此打算的话，我才没有成为一个生物学家！

我花费不少的时间来解决一些数学问题，甚至是在课堂上（嘘……）很快，书上的知识就不能使我满足。可能书本上的知识总是太过于类似了，在很大程度上是这样；而我尤其觉得是因为它们都是从天上掉下来的，像这样排成队一个接着一个，没有说清楚它们从哪里来又要到哪里去。这是书的问题，不是我的。

有一些非常自然而然的问题也是不能不提的。比如说，当一个三角形的三边长 a、b、c 已知，这个三角形就已知了（它的位置是抽象的），所以必须要有一个清晰的“公式”来解释，例如，三角形的面积与其三边的函数。对于已知六条棱长度的四面体也是这样——它的体积是多少呢？我想我得在这一类的问题上花费不少的精力，不过最终我都解决了。不管怎么说，当某个东西将我“抓住”的时候，我就会忘了我度过的时刻和日子，甚至是有忘记了其他一切的危险！（即使是现在情况依旧如此……）

在我们的数学书中，最让我觉得不满意的就是缺乏对有关几何曲线的长度，其面积，相关体积的概念的严格定义。等我一空下来，我保证一定要把这个空缺给补上。

1945~1948 年，我是蒙彼利埃大学的学生，在这里我度过了精力最充沛的一段时光。学院里的课程从来都不是为了满足我的需要而设立的。以下这一点我还从没有明明白白地说过，我总是觉得这些老师只知道重复他们的书本，和我在芒得中学的数学老师一模一样。

因此，我对去学院越来越敬而远之，当然不得已也得去，为的是了解正在进行的是哪些没完没了的“节目”。要说节目，书本自然是足够了，可是很明显这些书根本无法回答我所提出的问题。说实在的，它们甚至没有看到这些问题，它们看到的不比我中学书上的更多。

当它们列出一串涉及长度、面积和体积的有关简单积分，双重积分和三重积分的计算时（高至三维空间的被谨慎地规避了……）,对于给出一个内在定义的问题似乎没有被提出来，我的老师们没有想到，课本的作者们也没有想到。

由于那时候我在这方面的经历有限，我深切地觉得自己似乎是这个世界上唯一 一个对这些数学问题怀抱着好奇心的人。我就这样无时无刻不抱着这种难以解释的信念，在一种满是智慧的孤独中度过了几年，而这种孤独并不让我觉得压抑。事实上，我想在那段时光里，我从来没有认真地想过我是不是真的是这个敏感的世界里唯一 一个对自己所做的感兴趣的人。我有充足的精力来沉浸在自己给自己下的这个赌注中：构建一个完全能让自己满意的理论。

我的内心对于我会成功，会探究出事物的本质没有丝毫的怀疑，仅仅是因为我花费精力去探寻它们，渐渐地将它们呈现出的黑暗转化成明亮。人们常说，直觉的容积是不容置疑的。它只是现实的反映，虽然是此刻的幻象，却又是完全可以信赖的。就是这个事实我们得牢牢地抓住，其实很简单——可能，就像已经被抓住的有关“韵脚”的奇妙的事实一样，有一天会被“理解”一点点的。

1945 年到 1948 年间，我和我的母亲生活中距离蒙彼利埃十多公里的一个小村庄里。这个村庄叫麦哈尔戈（经过旺达尔戈），被大片大片的葡萄园所包围着。（1942 年，我的父亲就在奥兹维新集中营逝世了。）我们靠着我微薄的奖学金拮据地过着日子。

为了使家里收支平衡，我每年都会去干采摘葡萄的活，在这之后，我就会去卖别人浪费剩下的酒，我做的不好也不差（不过说起来，这是违反当时实行的法律的……）此外还有一个花园，虽然我从来没有在那里工作过，可是它却给我们提供了丰富的无花果、菠菜，到后来甚至还有土豆。

这些都是附近一个好心的居民种的。他的家坐落在一整片灿烂的罂粟花中。这是一段快乐的时光——尽管时不时地还是会显得捉襟见肘，比如说要换一副镜框了或者是一双新鞋甚至是买一根绳子。幸运的是，虽然母亲由于长时间生活中集中营里而变得体弱多病，可是我们有权获得了免费的医疗资助。要知道不然的话我们可绝对没有钱可以看得起病的……

起初，在十七岁我刚中学毕业的时候，我想这不过是几个星期的事。三年里我一直名列前茅。在大学二年级结束时，我甚至努力地找到了一种弄砸一门考试的方法——这是有关球体三角学的考试（是“深入天文学”选修课的考试），我犯了一个愚蠢的计算错误。（有必要承认，自从离开中学以后，我的计算能力就没有很好过……）

因为这个缘故，我不得不在蒙彼利埃再呆一年来完成我的本科学业而不能立马去巴黎——人们对我保证说，这是唯一一个我有机会去结识那些知道当时数学领域里什么被认为是重要的人的地方。我的情报提供者，苏拉先生，还向我保证说，最新的不断被提出的数学难题已经在二三十年前被一个名叫勒贝格的人解决了。他已经准确地发展出一套有关度量与积分的理论（一定是由于可笑的巧合！），这套理论给数学画上了一个完美的句号。

苏拉先生是我的差分计算课老师，他是一个满怀善意的人，我非常尊敬他。但我并没有因此就被他说服了。我的内心之前就已经有预感数学是在广度和深度上都是无限的一个事物。

难道大海有它的终点吗？一直以来我从来没有哪一个时刻有过“去找找这个叫勒贝格的人的书”的想法在脑中掠过，我也从来没有想过我有必要去把他的书捧在手里。在我的思想里，这样一本书中的内容和我要以我的方式开展的为了满足对于使我惊奇的某些事物的好奇心的工作之间没有丝毫的共同之处。

数学家