浅谈微积分 2 ：看似无法计算的面积

luyuanhong

浅谈微积分 2 ：看似无法计算的面积

原创  华清  华清世界  2026 年 1 月 24 日 17:43  上海

Part I  天才的解法

在微积分这个东西被发明之前，古代数学家们已经凭借惊人的注意力（也就是所谓的“注意到……”），去尝试解决曲线求积问题。

其中贡献最杰出的一个数学家，是古希腊的阿基米德。在他的一本著作中，他提出了一种极其巧妙的方法来计算抛物线弓形的面积。

与我们之前讨论的矩形填充法不同，阿基米德并未选择矩形作为逼近的基本单元。他另辟蹊径，选择用一个“内接三角形”作为对抛物线弓形面积的初始逼近。

这个三角形的选取方式不是随便选的，而是有章法的：以抛物线割线（弓形的弦）为底，而顶点是该弦上离抛物线弧最远的那一点。

注：一个重要的几何性质，过此顶点的切线恰好与底边平行（在此不作证明，读者可以作为一道题目自行练习）。

完成第一次逼近后，原来的弓形区域被分成了这个大三角形和两个更小的弓形区域。阿基米德的迭代思想于此展开：

他在每一个新产生的、更小的弓形区域内，重复同样的操作——内接一个新的、面积最大的三角形。

如此循环往复，一系列的三角形被不断地填充到抛物线弓形之中，逐渐穷尽其内部空间。

这些相继内接的三角形面积之间存在着一个恒定的比例关系。

他通过复杂的几何推导证明，每一步新增加的所有三角形的面积之和，精确地等于前一步所增加的三角形面积的 1/4 。

若设初始大三角形的面积为 A ，则：

第一次迭代增加的面积是

A

第二次迭代增加的面积是

2 * (A/8) = A/4

第三次迭代增加的面积是

4 * (A/64) = A/16

（依此类推……）

因此，整个抛物线弓形的面积 S 就是一个无穷等比级数的和：

S = A + A/4 + A/16 + A/64 + … = A * [ 1 + 1/4 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + … ]

利用等比级数求和公式，阿基米德得出结论：

抛物线弓形的面积等于其内接最大三角形面积的 4/3 。

这是一个在没有代数符号和笛卡尔坐标系的时代取得的惊人成就。不过，这种方法的局限性也同样明显。它依赖于发现特定图形背后的几何关系。这种方法缺乏一个可以推广到任意曲线的“通解”。我们无法指望为每一条新的曲线都幸运地找到一个类似的级数。

数学需要一种更具普适性、更依赖于代数运算而非几何技巧的系统性方法。于是，一个更加天才的方法诞生了。

Part II  更天才的通用解法

为了解决阿基米德方法的特殊性，数学家们最终研究出了上文提到过的的“矩形填充法”，并将其从几何提升为代数算法。

这个过程的核心是由德国数学家波恩哈德·黎曼系统化的思想，后世称之为“黎曼和”。

我们将问题精确地定义为：计算由 y=x^2 、x 轴以及直线 x=b ( b>0 ）所围成的区域面积。通过将几何图形置于笛卡尔坐标系中，我们成功地将一个视觉问题转化为了一个可以用代数语言描述和操作的分析问题。

首先，我们将目标区间 [0,b] 分割成 n 个等宽的子区间。每个子区间的宽度为  Δx ，则：Δx = b/n

这些子区间的端点依次为：

x0=0 ，x1=Δx ，x2=2Δx ，…，xi=iΔx ，…，xn=nΔx 。

接下来，我们在每个子区间 [xi-1,xi] 上构造一个矩形来近似该条带下的面积。矩形的高度有多种确定方式，如取子区间左端点、右端点或中点处的函数值。为便于推导，我们将第 i 个矩形的高度设为 f(xi) ，则：

第 i 个子区间为 [(i-1)Δx , iΔx]

右端点为  xi = iΔx = i(b/n)

矩形高度为 f(xi) = (xi)^2 = (ib/n)^2=i^2 b^2/n^2

第 i 个矩形的面积为：

Si = f(xi)Δx = i^2 b^3/n^3

最后，将所有 n 个矩形的面积加起来，得到总面积的近似值，这个和就是黎曼和 Sn 。

注：为方便起见，本文及后续文章中，求和符号一律写作 Σ(i=1,n) 。

Sn = Σ(i=1,n) Si = Σ(i=1,n) (i^2 b^3/n^3)

接下来是纯代数化简。由于 b 和 n 对于求和变量 i 来说是常数，可以提出：

Sn = (b^3/n^3) Σ(i=1,n)  i^2

另外，我们需要一个关键的求和公式——自然数平方和公式：

Σ(i=1,n) i^2 = 1^2+2^2+…+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

将此公式代入，得到：

Sn = (b^3/n^3)[n(n+1)(2n+1)/6]

通过对多项式进行整理，我们可以得到一个由 b 和 n 表达的形式：

Sn = b^3(1/6)[n/n(n+1)/n(2n+1)/n] = (b^3/6)(1 + 1/n)(2 + 1/n)

最后一步，我们需要引入极限的概念。当矩形的数量趋向于正无穷，也就是 n→∞

每个矩形的宽度趋向于 0 ，即 Δx→0

这些矩形面积之和 Sn 将无限精确地逼近曲线下的真实面积 S 。我们用 lim 符号表示极限，在 lim 下方写 x→a 。

注：为方便起见，本文及后续文章中，一律写作 lim(x→a) 。

S = lim(n→∞) Sn = lim(n→∞) [(b^3/6)  (1 + 1/n)(2 + 1/n)]

当 n→∞ 时，1/n→0 。因此：

S = (b^3/6)(1 + 0)(2 + 0) = b^3/3

我们得到了一个结论：由 y=x^2 、x 轴与直线 x=b (b>0) 所围成的区域面积恒等于 b^3/3 。

Part III  强大的工具

上一节所讲述的的计算过程，简单来说，可以用“分割、逼近、求和、取极限”这四步来概括。这实际上给出了一种可以应用于任何连续函数的通用方法，如今我们称其为定积分。

但是，没有人愿意看到自己的手稿中出现一大长串（真的很长）的、重复无数次的计算过程，只为了求出一条曲线和一段直线所围成的面积——毕竟迭代不是应该由人类完成的事情。因此，为了简洁地表达这一复杂的极限过程，17 世纪出了一位名叫戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的数学家，他引入了一套流传至今的符号体系。他将求和符号“Σ”拉长，写成了这个长得有些像撬棍的符号“∫”，以此表示：这是一个无穷项的、连续的求和过程。

在使用“∫”这个符号时，上一节的整个求解过程可以被表示为如下的表达式：

∫(0,b)  x^2 dx = b^3/3

现在我们来解读一下这个表达式：

∫ ：积分号，代表“无限求和”的过程。

0 和 b ：分别是积分的下限和上限，定义了求和的区间在 [0,b] 。

注：我们一般习惯把下限写在 ∫ 的右下角，把上限写在 ∫ 的右上角。本文及后续文章中，为方便起见，一律写作形如 ∫(0,b) 的形式。

x^2 ：被积函数，即我们要求面积的曲线方程 f(x) 。

dx ：无穷小量，代表了无穷细分的子区间宽度，其中 d 为微分算子。dx 由 Δx 在极限过程中演变而来。它表示，积分是针对变量 x 进行的操作。

这样，我们便可以给这个曲线下的面积一个严谨的数学计算式：如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上是连续且非负的，即：

如果 x∈[a,b] ，lim(x→x0) f(x) = f(x0) ，且 f(x)≥0

那么由曲线 y=f(x) 、x 轴以及两条垂直于 x 轴的直线 x=a 和 x=b 所围成的区域面积 S ，就等于 f(x) 在 [a,b] 上的定积分，即

S=∫(a,b) f(x) dx

定积分的几何意义是“有向面积”，也就是说，当曲线在 x 轴下方时，其对应的面积在积分中记为负值。

这一特性其实我们早就知道。在物理学的 v-t 图像中，图像与坐标轴围成的面积等于物体的位移。而众所周知，位移是一个矢量，即有方向的量。它代数化的值就等于 t 轴以上的面积减去 t 轴以下的面积。据此，我们可以反推出这一特性。

现在，我们能够初步系统地处理动态、连续、变化问题，开启了“高等数学”的大门。而微积分，则是我们的强大工具之一。我们拥有了一个解决面积、体积、弧长、瞬时速度、概率密度等一系列与“无限”和“变化”相关问题的方法。而这一切，都起源于一条抛物线，以及它看似无法计算的面积。

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