云大 2025 高代第一题：求 f(x)=x^3-x+2 与 g(x)=x^4+x-1 的最大公因式 (f(x),g(x))

dodonaomikiki

那么\(（ f(x)，  g(x) ）=多少  \)

dodonaomikiki

因为木有学过高等代数，这个外围的符号代表什么意义也不晓得！
希望有大师大咖老兄看到，
能帮忙一哈！
非常感谢！
非常感激！

wintex

dodonaomikiki 发表于 2026-4-3 08:23
因为木有学过高等代数，这个外围的符号代表什么意义也不晓得！
希望有大师大咖老兄看到，
能帮忙一哈！

最高公因式

wintex

6. 設 ( f(x) = x^3 - x + 2, g(x) = x^4 + x - 1 )，則 ( (f(x), g(x)) = 1 )
【詳解】
利用輾轉相除法：
[ x^4 + x - 1 = x(x^3 - x + 2) + (x^2 - x - 1) ]
[ x^3 - x + 2 = (x + 1)(x^2 - x - 1) + (x + 3) ]
[ x^2 - x - 1 = (x - 4)(x + 3) + 11 ]


二、求多項式 ( f(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8 ) 的所有有理根。
【詳解】
根據有理根判定定理，可能的有理根為 (\( \pm 1\), \( \pm 2\), \( \pm 4\), \( \pm 8 \))。
測試 ( x=2 )：( f(2) = 0 )，故 ( (x-2) ) 為因式。
利用綜合除法連續分解：
[ f(x) = (x-2)(x^4-3x^3+x^2+4) ]
[ f(x) = (x-2)^2(x^3-x^2-x-2) ]
[ f(x) = (x-2)^3(x^2+x+1) ]
剩餘部分 ( x^2+x+1=0 ) 的判別式 ( D = -3 < 0 )，無實根。
因此，該多項式的有理根僅有 ( x = 2 )

luyuanhong

楼上 wintex 的解答已收藏。

dodonaomikiki

\( 对Wintex老师提供的解答我想作一哈Latex，\\
提供另一种阅读形式\)



\(   6. 設 ( f(x) = x^3 - x + 2, g(x) = x^4 + x - 1 )，則 ( (f(x), g(x)) = 1 )\)

\(

【詳解】
利用輾轉相除法：           \\
[ x^4 + x - 1 = x(x^3 - x + 2) + (x^2 - x - 1) ]           \\
[ x^3 - x + 2 = (x + 1)(x^2 - x - 1) + (x + 3) ]           \\
[ x^2 - x - 1 = (x - 4)(x + 3) + 11 ]           \\


二、求多項式 ( f(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8 ) 的所有有理根。           \\
【詳解】           \\
根據有理根判定定理，可能的有理根為 ( \pm  1,    \pm 2,  \pm  3,   \pm  4       ）   \\
測試 ( x=2 )：( f(2) = 0 )，故 ( (x-2) ) 為因式。           \\
利用綜合除法連續分解：           \\
[ f(x) = (x-2)(x^4-3x^3+x^2+4) ]           \\
[ f(x) = (x-2)^2(x^3-x^2-x-2) ]           \\
[ f(x) = (x-2)^3(x^2+x+1) ]           \\
剩餘部分 ( x^2+x+1=0 ) 的判別式 ( D = -3 < 0 )，無實根。           \\
因此，該多項式的有理根僅有 ( x = 2 )           \\
...\)

dodonaomikiki

\(   6. 設 ( f(x) = x^3 - x + 2, g(x) = x^4 + x - 1 )，則 ( (f(x), g(x)) = 1 )\)

\(

【詳解】
利用輾轉相除法：           \\
[ x^4 + x - 1 = x(x^3 - x + 2) + (x^2 - x - 1) ]           \\
[ x^3 - x + 2 = (x + 1)(x^2 - x - 1) + (x + 3) ]           \\
[ x^2 - x - 1 = (x - 4)(x + 3) + 11 ]           \\

...\)


继续质疑：这题还是看不懂？
为何两者的最高公因式=1？

wintex

dodonaomikiki 发表于 2026-4-3 14:46
\(   6. 設 ( f(x) = x^3 - x + 2, g(x) = x^4 + x - 1 )，則 ( (f(x), g(x)) = 1 )\)

\(

這代表這兩個多項式**「互質」**。